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AIME数学邀请赛的历年晋级分数线是什么？考试形式是什么？

AIME，即美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination），是中国学生参与AMC系列数学竞赛的终极挑战赛。该竞赛由美国数学协会（MAA）主办，是美国数学竞赛体系中的一个重要环节。

一、AIME数学竞赛考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器使用：不允许使用计算器。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10和AMC 12类似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率。虽然微积分不在考查范围内，但解题时可以运用微积分方法。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程、二次方程的整数根

三、AIME的历年晋级分数线是什么？

AMC10 A卷 AMC10 B卷
年份 AIME晋级分数线 年份 AIME晋级分数线
2023 103.5 2023 105
2022 93 2022 94.5
2021（Fall） 96 2021（Fall） 96
2021(Spring） 103.5 2021(Spring） 102
2020 103.5 2020 102
2019 103.5 2019 108
2018 111 2018 108
2017 112.5 2017 120
2016 110 2016 110
2015 106.5 2015 120
2014 120 2014 120
2013 108 2013 120
2012 115.5 2012 120
AMC12 A卷 AMC12 B卷
年份 AIME晋级分数线 年份 AIME晋级分数线
2023 85.5 2023 88.5
2022 85.5 2022 81
2021（Fall） 91.5 2021（Fall） 84
2021(Spring） 93 2021(Spring） 91.5
2020 87 2020 87
2019 84 2019 94.5
2018 93 2018 99
2017 96 2017 100
2016 93 2016 100.5
2015 0 2015 100.5
2014 93 2014 100.5
2013 88.5 2013 93
2012 94.5 2012 99

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AIME是美国数学竞赛考试安排是什么？AIME竞赛的难度体现在哪？

AIME是美国数学竞赛体系中的一项重要考试，旨在选拔优秀的数学人才。以下是关于AIME的详细资格要求、考试安排、以及与AMC的区别和联系。

1. 如何获得AIME的资格？

AMC 10：邀请至少向得分最高的2.5%的考生发出。

AMC 12：邀请至少向得分最高的5%的考生发出。

具体截止分数：取决于每场比赛的难度。

2. AIME和其他数学竞赛的监考安排

监考人员：应由学校老师（最好是数学老师）或管理人员、学院或大学数学教师，或其他负责任的成年人（如数学俱乐部教练或图书管理员）担任。监考员不应与任何参与者有关系。

3. AIME结果的查看时间

AIME分数可在提交后24小时内在AMC平台上查看。

USAMO和USAJMO的资格赛和奖励报告将在3到4周内在AMC平台上提供。

4. AMC成绩与AIME资格的匹配

如果参加了多个AMC测试（A-date和B-date），系统将自动选择更高的分数用于AIME资格。

5. AIME考试地点安排

学生应尽可能在参加AMC 10或AMC 12的同一地点参加AIME。

如果需要更改考试地点，学生需与新的比赛经理安排，并填写“更改地点”表格。

6. AIME1与AIME2的选择

不能同时参加：考生只能选择AIME I或AIME II中的一场。

考试安排：AIME I通常在AIME II之前一周举行。

难度和晋级：两者题目难度相差不大，但AIME II的平均分通常略高于AIME I。

7. AIME成绩的用途

Top 30院校申请：通常需要AIME成绩达到7分以上。

Top 20院校申请：AIME成绩至少需要达到8分以上。

数学夏令营申请：AIME成绩达到9分左右会更具竞争力。

晋级USA(J)MO：通常需要在AIME中取得8-9分的成绩。

8. AIME竞赛的难度

题型差异：

AMC10/12：主要为选择题，可以通过排除法或猜测。

AIME：填空题，没有选择项，要求准确计算。

计算要求：

AMC10/12：有选择题选项，允许估算。

AIME：严格要求精确计算。

思维深度：

AMC10/12：涉及基础概念和直接应用。

AIME：要求更深入的数学理解和解决复杂问题的能力。

AIME的考试不仅考查学生的数学知识，还评估他们的计算能力和解决问题的技巧。通过AIME，学生可以展示其数学才能，并为未来的学术发展奠定坚实基础。

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谁有资格参加美国数学邀请赛AIME？晋级途径有哪些？

美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination，简称AIME）是美国数学竞赛体系中的重要环节，旨在选拔和培养数学能力突出的学生。AIME由美国数学竞赛AMC10和AMC12的成绩决定，表现优异的学生将受邀参加。

一、AIME数学竞赛参赛资格

通过AMC10/12晋级：

在AMC 10A/10B考生中，至少前2.5%的学生有资格参加AIME。

在AMC 12A/12B考生中，至少前5%的学生有资格参加AIME。

达到AIME分数线的学生将收到官方邮件邀请参加。

通过USAMTS晋级：

美国数学才能搜索（USAMTS）是另一途径。获得USAMTS前5%的金奖的学生可直接晋级AIME。

二、AIME数学竞赛赛事安排

考试时间：每年有两个日期，分别为AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参赛。

考试形式：个人赛，有15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

题型：答案为三位数的正整数（从000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

三、AIME数学竞赛晋级途径

通过AMC10/12成绩：

AIME成绩与AMC10/12成绩结合用于评估学生的数学潜力。

晋级USAJMO或USAMO的标准是将AIME得分乘以10，加上AMC10或AMC12的总分。

例如，AMC12得分为110，AIME得分为8，则USAMO指数分数为110 + 10×8 = 190。

通过USAMTS成绩：

通过USAMTS获得前5%的金奖可晋级AIME。

晋级关系与分数要求

AMC、AIME与USA(J)MO晋级关系：

AMC10/12成绩与AIME成绩共同决定USAJMO和USAMO资格。

USAJMO指数分数：AMC10分数 + 10×AIME分数。

USAMO指数分数：AMC12分数 + 10×AIME分数。

USA(J)MO的典型临界值通常在210到230之间。

申请角度：

AIME 7分以上为竞争性分数，9分左右适用于申请ROSS、SUMaC等数学夏令营。

重要提示

单场考试：学生只能选择参加AIME Ⅰ或AIME Ⅱ，不能同时参加，否则将被取消资格。

受邀确认：AIME是邀请赛，受邀学生需在规定时间内确认参加。

AIME不仅是对学生数学能力的认可，也是通向更高级别数学竞赛的桥梁。通过AIME的成绩，学生不仅可以展示自己的数学才能，还能为未来的学术和职业发展奠定坚实基础。

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AIME数学竞赛考试形式是什么？AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点？

AIME是美国数学邀请赛的一部分，旨在考查学生的高级数学能力，是AMC（美国数学竞赛）10和12的晋级考试。以下是关于AIME的考试形式、详细考察范围及其与AMC的异同点。

一、AIME考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时。

考察内容：代数、几何、数论和组合学，展示卓越数学所需的多种技能。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10/12相似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率，但允许使用微积分方法解题。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程

三、AIME与AMC10/12考试内容的异同

异同点分析：

AMC：主要考查基础数学知识和技能，适合广泛学生群体。

AIME：更侧重于综合能力和深度思考，需要学生在复杂情境中灵活应用知识。

AIME强调“最优化计算路径”的寻找，要求学生评估不同的解决方案，选择最有效的计算方式。

四、AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点

AMC10晋级AIME：

需补充的知识点较多，特别是代数和几何方面。

代数：复数、单位元、三角函数

几何：余弦定理

排列组合：递归、马尔可夫链

AMC12晋级AIME：

AIME考点与AMC12重合度高，但在几何、数论和组合方面有少量额外知识点。

几何：Bashing方法、根轴

数论：LTE定理、不定方程

五、近两年 AIME I 试题分析

试题分类：

代数与几何为核心：需要复杂计算。

数论与组合数学为核心：要求较强的逻辑思维能力和数学技巧。

通过这些详细的知识点和考试形式的了解，学生可以更好地准备AIME，以便在竞赛中展示出色的数学能力。

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2019年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

两个不同的点 $C$ 和 $D 美元位于直线$AB 美元的同一侧，因此 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 BAD$ 与 $AB=9，BC=AD=10$和 全等$CA=DB=17$。这两个三角形区域的交集有 area $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 2

睡莲叶$1,2,3，\ldots$一排躺在池塘上。一只青蛙从 pad 1 美元开始进行一系列跳跃。青蛙从任何 pad $k 美元 跳到 Pad $k+1 美元 或 Pad $k+2 美元 随机选择的可能性$\tfrac{1}{2}$，并且独立于其他跳跃。青蛙访问 pad 7 美元 的概率是 $\tfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数。查找 $p+q$.

问题 3

求满足以下方程组的正整数$（a，b，c，d，e，f，g）$元组数7 美元：\[abc=70\]\[cde=71\]\[efg=72.\]

问题 4

标准的六面公平骰子被掷四次。所有四个数的乘积都是完全平方的概率是 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对质数的正整数。查找 $m+n$.

问题 5

四名大使和每人的一名顾问将坐在一张圆桌旁，椅子12 美元上有编号12 美元，以便 1 美元 .每位大使必须坐在一把偶数的椅子上。每位顾问必须坐在其大使旁边的椅子上。在这种情况下，8 美元人们有$N 美元办法坐在谈判桌前。求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 6

在火星文明中，所有未指定 base 的对数都被假定为 base $b 美元，对于一些固定$b\ge2$的 。一名火星学生写下来，发现这个方程组只有一个实数解$x>1 美元。查找 $b 美元.\[3\log（\sqrt{x}\log x）=56\]\[\log_{\log x}（x）=54\]

问题 7

三角形$ABC$的边长为 $AB=120，BC=220$，和 $AC=180 美元。线 $\ell_A，\ell_B$， 和 $\ell_C$ 美元 分别平行于 $\overline{BC}，\overline{AC}$、 和 $\overline{AB}$，使得 $\ell_A，\ell_B$的交点 和 $\ell_C$ 美元 与 的内部 的$\三角形 ABC$交点分别是长度为 $55,45$、 和 15 美元的线段。求边位于线 $\ell_A，\ell_B$上的 三角形的周长 ，以及 $\ell_C$ 美元。

问题 8

多项式$f（z）=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$的实系数不超过 2019 美元，$ 和 $f\left（\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right）=2015+2019\sqrt3i$。求除以 1000 美元时 $f（1）$ 的余数。

问题 9

如果正整数$n$正好有$k 美元正正数，并且$n$能被 $k 美元整除，则调用 $k 美元-pretty 。$n$例如，18 美元是 6 美元-pretty。设 $S$ 为小于 $2019$ 20 美元-pretty 的正整数之和。查找 $\tfrac{S}{20}$.

问题 10

和 之间有一个唯一的角度$\theta$，因此，对于非负整数$n，$，当 是 的3 美元倍数时$n$，其$\tan（2^n\theta）$值为 正，否则为负。$0^\circ$ $90^\circ$的度测度$\theta$是 $\tfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.

问题 11

三角形$ABC$有边长$AB=7，BC=8，$，$CA=9.$圆$\omega_1$ 美元穿过$B 美元，在圆穿过时与线相切$C$，在圆$\omega_2$ 美元穿过时与线$AC 美元 $A.$ $AB 美元相切，在$A.$设$K$为圆的交点$\omega_1$ 美元，$\omega_2$ 美元不等于 $A.$ Then$AK=\tfrac{m}{n}，$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 12

for $n\ge1$ 调用一个有限正整数序列$（a_1，a_2，\ldots，a_n）$，如果 则进行递增，$a_i<a_{i+1}$并为 $a_i$ 进行除法$a_{i+1}$。$1\le i\le n-1$求渐进序列的数量，使序列中各项的总和等于360.美元

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2019年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

考虑整数 求 的位数之和 $N 美元。\[N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 位数字}.\]

问题 2

Jenn 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$中随机选择一个数字$J 美元。然后，Bela 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$ distinct from $J 美元中随机选择一个数字$B 美元。的值 $B - J$ is 至少2 美元具有可以用 形式表示的概率$\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

在 、 $PR=15 美元、 $QR=20 美元和 $PQ=25 美元中$\三角形 PQR$。点 $A 美元 和 $B 美元 躺在 $\overline{PQ}$上 ，点 $C$ 和 $D 美元 躺在 $\overline{QR}$上 ，点 $E 美元 和 $F$ 躺在 $\overline{PR}$上 ，其中 $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$。求 六边形 $ABCDEF 美元的面积。

问题 4

足球队有22 美元可用的球员。一组固定的11 美元球员开始比赛，而另一11 美元组球员则作为替补。在比赛中，教练可以进行多达数量的3 美元换人，其中比赛中的任何一名11 美元球员被一名替补球员换下。从游戏中被移除的玩家不得重新进入游戏，但稍后可以替换进入游戏的替补球员。不能同时发生两个换人。参与的球员和换人的顺序很重要。设 $n$ 为教练在比赛中可以进行换人的方式数（包括不换人的可能性）。求除以 1000 美元时 $n$ 的余数。

问题 5

移动的粒子从该点$（4,4）$开始移动，直到它第一次碰到其中一个坐标轴。当粒子位于点 $（a，b）$处时，它会随机移动到点 、 $（a，b-1）$或 $（a-1，b-1）$中的一个点，每个点$（a-1，b）$的概率$\tfrac{1}{3}$与 之前的移动无关。它击中坐标轴 的$（0,0）$概率为 $\tfrac{m}{3^n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，$m 美元不能被 3 美元整除。查找 $m + n$.

问题 6

在凸四边形$KLMN 美元中，边$\overline{MN}$垂直于对角线 $\overline{KM}$，边$\overline{KL}$垂直于对角线 $\overline{LN}$，$MN = 65 美元和 $KL = 28 美元。穿过 $L 美元 side $\overline{KN}$ 的线与 $\overline{KM}$ .$O 美元 $KO = 8 美元查找 $MO 美元.

问题 7

有正整数 $x 美元 和 $y 美元 满足方程组 设 $m 美元 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数的数量$x 美元，设 $n$ 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数 $y 美元的数量。查找 $3m+2n$.\[\log_{10} x + 2 \log_{10} （\gcd（x，y）） = 60\]\[\log_{10} y + 2 \log_{10} （\text{lcm}（x，y）） = 570.\]

问题 8

设 $x 美元 为实数，使得 $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$。然后 $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 9

设 $\tau（n）$ 表示 的正整数除数的个数$n$。求 的 6 个最小正整数之和$n$，这些整数是 的$\tau （n） + \tau （n+1） = 7$解。

问题 10

对于不同的复数 $z_1，z_2，\dots，z_{673}$，多项式可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018} + 19x^{2017}+g（x）$，其中 $g（x）$ 是具有复系数且最大2016 美元具有度数 的多项式。的值可以用 $\tfrac{m}{n}$的形式表示，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.\[（x-z_1）^3（x-z_2）^3 \cdots （x-z_{673}）^3\]\[\left| \sum_{1 \le j <k \le 673} z_jz_k \right|\]

问题 11

在 $\三角形 ABC$中，边具有整数长度 和 $AB=AC$。圆$\omega$的中心位于 $\三角形 ABC$的内侧。的外圆$\三角形 ABC$是位于三角形外部的圆，$\三角形 ABC$它与三角形的一侧相切，与其他两侧的延伸相切。假设 相$\overline{BC}$切的外圆在 内部与 $\omega$相切，而其他两个外圆都在 外切于 $\omega$。求 的$\三角形 ABC$周长的最小可能值。

问题 12

给定 $f（z） = z^2-19z$，存在具有 、 和 $f（f（z））$ 性质$z$$f（z）$的复数$z$，它们是复平面中直角为 的直角三角形$f（z）$的顶点。有正整数$m 美元，$n$因此 的一个$z$这样的值为 $m+\sqrt{n}+11i$是 。查找 $m+n$.

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2020年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求正整数的有序对数，$（m，n）$使得 ${m^2n = 20 ^{20}}$。

问题 2

设 $P 美元 为在单位正方形内部均匀随机选择的点，其顶点位于 $（0,0）， （1,0）， （1,1）$、 和 $（0,1）$处。由 $P 美元 和 点$\left（\frac58， \frac38 \right）$确定的线的斜率大于或等于的概率$\frac12$可以写为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

满足的值$x 美元$\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 4

三角形 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 A'B'C'$ 位于坐标平面中，顶点为 $A（0,0）$、 $B（0,12）$$C（16,0）美元$A'（24,18）$$B'（36,18）$$C'（24,2）$。围绕点顺时针旋转$m 美元度数，其中 $0<m<180$，将转换为 $\三角形 ABC$ $\三角形 A'B'C'$。$（x，y）$查找 $m+x+y$.

问题 5

对于每个正整数 $n$，设 $f（n）$ 为以 4 为基数表示中的位数之和 $n$ ，设 $g（n）$ 为 的以 8 为基数表示中的位数之和 $f（n）$。例如， $f（2020） = f（133210_{\text{4}}） = 10 = 12_{\text{8}}$和 $g（2020） = \text{}12_{\text{8}} = 3$ 的位数和。.设 $N 美元 的最小值，$n$使得 的以 16 为基数$g（n）$的表示不能仅使用数字到 9 美元来表示。$0$求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 6

通过 $t_1 = 20 美元、 $t_2 = 21 美元、 和 for all $n \ge 3$递归定义序列。then $t_{2020}$ 可以写成 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.\[t_n = \frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}\]

问题 7

两个全等的直圆锥体，每个圆锥体的底面半径3 美元和高度8 美元都具有对称轴，这些圆锥体在圆锥体内部的一点上以直角相交，该点距每个圆锥体的底面有一段距离3 美元。半径较大的球$r 美元体位于两个圆锥体内。的最大可能值为 $r^2$ $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 8

通过 $f_1（x）=|x-1|$ 和 $f_n（x）=f_{n-1}（|x-n|）$ for integers $n>1美元递归定义序列。求 的$n$最小值，使得 的零之和$f_n$超过 $500,000$。

问题 9

在观看表演时，Ayako、Billy、Carlos、Dahlia、Ehuang 和 Frank 按此顺序坐在一排六把椅子上。休息时，他们去厨房吃点心。当他们回来时，他们坐在那六把椅子上，如果其中两个人在休息前挨着坐，那么他们在休息后就不会挨着坐。查找他们在休息后可以选择的可能座位顺序的数量。

问题 10

求所有正整数的和，$n$使得当除以 $n+5 美元时$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$，余数为 17 美元。

问题 11

设 $P（x） = x^2 - 3x - 7$，和 设 $Q（x）$ 和 $R（x）$ 是两个系数$x^2$等于 1 美元的二次多项式。David 计算了三个和$P + Q$$P + R$中的每一个，并且$Q + R$惊讶地发现这些和的每一对都有一个公共根，而这三个公共根是不同的。如果 $Q（0） = 2 美元， 则 $R（0） = \frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 12

设 $m 美元 和 $n$ 为大于 的奇数 1.$ 美元 矩形$m\次 n$由单位正方形组成，其中顶行中的正方形从左到右编号，整数1 美元通过 $n$，第二行中的正方形从左到右编号，整数$n + 1 美元通过 $2n$ 美元，依此类推。Square 200 美元 位于顶行，square 2000 美元 位于底行。求大于 1 美元 在$m\次 n$矩形中穿过正方形中心200 美元并与2000 美元正方形$1099$内部相交的线 的属性的有序奇数对$（m，n）$的数量。

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2020年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在 $\三角形 ABC$ with $AB=AC，$ point $D 美元 严格位于 and $C$ on side $\overline{AC}，$ 和 $A 美元 point $E 美元 严格位于 and $A 美元 $B 美元 on side $\overline{AB}$ 中，使得 $AE=ED=DB=BC.$ 的度测$\angle ABC$度是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到$m+n.$

问题 2

有一个唯一的正实数$x 美元，使得这三个数字$\log_8（2x），\log_4x，$并$\log_2x，$按该顺序形成具有正公比的几何级数。该数字$x 美元可以写为 $\tfrac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 3

正整数$N 美元具有以 11 为基数的表示$\underline{a}\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}$形式和以 8 为底的表示$\underline1\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}\kern 0.1em\underline{a}，$形式，其中 $a，b，$ 和 $c 美元 表示（不一定是不同的）数字。找到以 10 为基数表示的最小 such $N 美元 值。

问题 4

设 $S$ 是一组正整数，$N 美元其属性为最后四位数字 $N 美元 are2020 美元，$，当删除最后四位数字时，结果是 $N.$ 例如， $42{，}020$ is in $S$ because 4 美元 是 的除数 $42{，}020.$ 美元 查找中所有数字的所有数字之和 $S.$ 例如，该数字$42{，}020$对这个总数有贡献$4+2+0+2+0=8$。

问题 5

六张编号1 美元的6 美元牌将排成一排。找出这六张牌的排列数量，其中一张牌可以被移除，其余五张牌按升序或降序排列。

问题 6

平板具有一个半径较大的圆孔1 美元和一个半径较大的圆孔，2 美元使得两个孔的中心之间的距离为 7 美元。两个半径相等的球体位于两个孔中，使得球体彼此相切。球体半径的平方为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 7

由11 美元男性和12 美元女性组成的俱乐部需要从其成员中选择一个委员会，以便委员会中的女性人数比委员会中的男性人数多一。委员会可以有 1 1 美元 个成员，也可以有 1 23 美元 个成员。设 $N 美元 可以成立的此类委员会的数量。求除以的素数之和$N.$

问题 8

虫子整天走路，整夜睡觉。第一天，它从面向东的点$O，$开始，向正东走一段5 美元单位的距离。每天晚上，虫子都会$60^\circ$逆时针旋转。它每天朝这个新方向走的路程只有前一天走的一半。该错误任意接近点 $P.$ Then $OP^2=\tfrac{m}{n}，$ where$m 美元，并且$n$是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 9

设 $S$ 为三个数字的正整数除数$20^9.$ 美元的集合，这些数字是独立且随机选择的，并从集合$S$中替换并按它们被选择的顺序进行标记$a_1，a_2，$$a_3$。除法和除法的$a_1$概率是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。$a_3$ $a_2$ $a_2$找到$m.$

问题 10

让 $m 美元 和 $n$ 为满足条件的正整数

$\quad\bullet\ \gcd（m+n，210）=1，$

$\quad\bullet\ m^m$是 和 的$n^n，$倍数

$\quad\bullet\ m$不是 的倍数$n.$

求 的最小可能值$m+n.$

问题 11

对于整数$a，b，c$和 $d，$ let 和 $g（x）=x^2+cx+d.$ 求$f（x）=x^2+ax+b$绝对值不超过10 美元其整数的有序三元$（a，b，c）$组的数量，其中有一个整数，$d 美元使得$g（f（2））=g（f（4））=0.$

问题 12

设 $n$ 为可被 除以 $3^3\cdot5^5\cdot7^7.$ 的最少正整数 $149^n-2^n$ 求 的正整数除数$n.$

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2021年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析，来试试难度？

2021年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求所有三位数回文的算术平均值。（回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字，例如 $777$ 或 $383$。

问题 2

等边三角形$ABC$的边长840 美元为 。Point $D 美元 位于直线$BC 美元的同一侧，因此 $A 美元 $\overline{BD} \perp \overline{BC}$.$\ell$直线平行$D 美元于直线$BC 美元相交两侧$\overline{AB}$和$\overline{AC}$点 $E 美元 和 $F$。点$G 美元位于 $\ell$ $F$ 和 $G 美元$\triangle AFG$ 之间 $E 美元 是等腰，面积$\triangle AFG$与 面积$\三角形 BED$的比值为 $8：9$。查找 $AF$.[asy] 对 A，B，C，D，E，F，G;B=原点;A=5*目录（60）;C=（5,0）;E=0.6*A+0.4*B;F=0.6*A+0.4*C;G=旋转（240，F）*A;D=扩展（E，F，B，dir（90））;draw（D--G--A，灰色）;draw（B--0.5*A+rotate（60，B）*A*0.5，grey）;draw（A--B--C--cycle，linewidth（1.5））;dot（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G）;标签（“$A$”，A，dir（90））;标签（“$B$”，B，dir（225））;标签（“$C$”，C，dir（-45））;标签（“$D$”，D，dir（180））;标签（“$E$”，E，dir（-45））;标签（“$F$”，F，dir（225））;标签（“$G$”，G，dir（0））;标签（“$\ell$”，midpoint（E--F），dir（90））;[/亚西]

问题 3

求数字1 美元、2 美元、3 美元、4 美元、5 美元的排列$x_1、x_2、x_3、x_4、x_5$数，使得五个乘积之和可以被 3 美元整除。\[x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 + x_5x_1x_2\]

问题 4

有实数 $a、b、c、$ 和 $d 美元 这样的 是 $-20$ $x^3 + 斧头 + b$ 的根 和 $-21$ 美元 是 的根 $x^3 + cx^2 + d.$ 这两个多项式共享一个复根$m + \sqrt{n} \cdot i，$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，而 $i = \sqrt{-1}.$ Find$m+n.$

问题 5

对于正实数 $s 美元，设 表示$\tau（s）$所有具有面积$s 美元和两条边的长度为 4 美元 和 10 美元的钝三角形的集合。all $s 美元 $\tau（s）$ 的集合为非空，但 中的所有$\tau（s）$三角形都是全等的，是一个区间 $[a，b）$。查找 $a^2+b^2$.

问题 6

对于任何有限集 $S$，设 $|S|$ 表示 中的$S$元素数。查找有序对$（A，B）$的数量，使得 $A 美元 和 $B 美元 是 满足 的 （不一定是不同的） 子集$\{1,2,3,4,5\}$\[|A|\cdot |B|= |A \cap B|\cdot |A \cup B|\]

问题 7

设 $a、b、c、$ 和 $d 美元 为满足方程组的实数 存在相对素数的$m 美元正整数，$n$因此 Find $m + n$。\begin{align*} a + b &= -3， \\ ab + bc + ca &= -4， \\ abc + bcd + cda + dab &= 14， \\ abcd &= 30.\end{对齐*}\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.\]

问题 8

蚂蚁在立方体上进行一系列移动，其中一次移动包括沿立方体的边缘从一个顶点走到相邻顶点。最初，ant 位于立方体底面的顶点处，并从三个相邻顶点中选择一个作为它的第一次移动。对于第一次移动之后的所有移动，ant 不会返回到其前一个顶点，而是选择移动到其他两个相邻顶点之一。所有选项都是随机选择的，因此每个可能的移动可能性都相等。在恰好8 美元移动之后，该 ant 位于立方体顶面的顶点的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m + n.$

问题 9

求有序对$（m， n）$的数量，使得 $m 美元 和 $n$ 是集合$\{1， 2， ...， 30\}$中的正整数，并且 $2^m + 1$ 和 $2^n - 1$ 的最大公约数 不是 1 美元。

问题 10

两个半径为的球体36 美元和一个半径为13 美元的球体分别与其他两个球体和两个不同的平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$在外部相切。平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 的交点是直线 $\ell$。从线$\ell$到半径13 美元为的球体与平面$\mathcal{P}$相切的点的距离为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 11

一位老师正在带领一个由四个完美逻辑的学生组成的班级。老师选择了一组$S$四个整数$S$，并为每个学生提供了一个不同的数字。然后，老师向全班宣布，里面$S$的数字是四个连续的两位数正整数，某个数字 in $S$ 可以被 6 美元整除，而另一个数字 in $S$ 可以被 7 美元整除。然后老师问是否有学生能推断出什么是$S$，但所有学生都异口同声地回答说没有。

然而，在听到四个学生都回答“否”后，每个学生都能够确定 的$S$要素。求 的最大元素 的所有$S$可能值之和 。

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2021年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析，看看难不难？

2021年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Zou 和 Chou 正在通过互相比赛6 美元来练习他们的100 美元米短跑。邹赢得第一场比赛，之后，他们中的一个人赢得比赛的概率是$\frac23$他们赢得了前一场比赛，但前提是$\frac13$他们输掉了前一场比赛。Zou 赢得5 美元6 美元比赛的概率是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 2

在下图中， $ABCD 美元 是一个边长为 $AB=3 美元 和 $BC=11 美元的矩形，$AECF$是一个边长为 $AF=7 美元 的矩形，$FC=9，$如图所示。两个矩形内部共有的阴影区域面积为 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

[asy] 对 A、B、C、D、E、F;A = （0,3）;B=（0,0）;C=（11,0）;D=（11,3）;E=英尺（C， A， （9/4,0））;F=英尺（A， C， （35/4,3））;draw（A--B--C--D--循环）;draw（A--E--C--F--循环）;filldraw（A--（9/4,0）--C--（35/4,3）--cycle，gray*0.5+0.5*lightgray）;点（A^^B^^C^^D^^E^^F）;标签（“$A$”， A， W）;标签（“$B$”， B， W）;标签（“$C$”， C， （1,0））;标签（“$D$”， D， （1,0））;标签（“$F$”， F， N）;标签（“$E$”， E， S）;[/亚西]

问题 3

找到小于1000 美元该数量的正整数数，可以表示为 的两个整数幂之差2.$ 美元

问题 4

找出可以将相同的硬币分成三个非空堆的方法66 美元数量，以便第一堆中的硬币比第二堆中的硬币少，第二堆中的硬币比第三堆中的硬币少。

问题 5

如果三项的平方和等于中间项与公差的平方的乘积，则称三项严格递增的整数算术序列为 special。求所有特殊序列的第三项之和。

问题 6

线段 $\overline{AB}， \overline{AC}，$ 和 $\overline{AD}$ 是多维数据集的边，$\overline{AG}$是穿过多维数据集中心的对角线。Point $P 美元 满足 $BP=60\sqrt{10}$、 、 $CP=60\sqrt{5}$$DP=120\sqrt{2}$和 $GP=36\sqrt{7}$。找到$AP.$

问题 7

求正整数对$（m，n）$的数量，$1\le m<n\le 30$使得存在$x 美元一个满足\[\sin（mx）+\sin（nx）=2.\]

问题 8

求整数的个数，$c 美元使方程具有不同12 美元的实数解。\[\left||20|x|-x^2|-c\right|=21\]

问题 9

设 $ABCD 美元 为等腰梯形，其中 $AD=BC$ 和 $AB<CD.$ 假设到$A 美元线$BC，CD，$的距离 和 $BD 美元 分别为 $15,18，$ 和 10，美元 。设 $K$ 为 Find 的$ABCD.$面积$\sqrt2 \cdot K.$

问题 10

考虑由 和 定义的正有理数序列 $（a_k）_{k\ge 1}$ ，如果 $k\ge 1$$a_k = \frac{m}{n}$ 对于 相对素数正$m 美元整数 和 $n$，则$a_1 = \frac{2020}{2021}$

\[a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}.\]确定所有正整数的总和，$j 美元以便有理数$a_j$可以写成$\frac{t}{t+1}$某个正整数 $t 美元的形式。

问题 11

设 $ABCD 美元 为循环四边形，其中 $AB=4，BC=5，CD=6，$ 和 $DA=7.$ 设 $A_1$ 和 $C_1$ 分别是$A 美元$C，美元垂线的脚，以 和 分别为 和 $BD，$ $B_1$ 的垂线的脚，以 $B 美元 和 $D_1$ $D，$ 分别为 和 的垂线的英尺，以线$AC.$的周长 $A_1B_1C_1D_1$ 是$\frac mn，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 12

设 $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ 为十二边形 （12 美元-gon）。三只青蛙最初坐在 $A_4，A_8，$ 和 $A_{12}$上。在每一分钟结束时，三只青蛙中的每只都会同时跳到与其当前位置相邻的两个顶点之一，随机且独立地选择，两种选择的可能性相同。一旦两只青蛙同时到达同一顶点，所有三只青蛙都会停止跳跃。青蛙停止跳跃之前的预期分钟数是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

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