2007年 AIME I 数学邀请赛真题

2007年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

小于 24 的正完全平方数中有多少个 $10^6$ 是 24 的倍数？

问题 2

一条 100 英尺长的移动人行道以每秒 6 英尺的恒定速度移动。Al 踏上人行道的起点并站起来。两秒钟后，Bob 踏上人行道的起点，以每秒 4 英尺的恒定速度沿着人行道向前漫步。两秒钟后，Cy 到达人行道的起点，以每秒 8 英尺的恒定速度沿着人行道快速向前行走。在某个时间，这三个人中的一个正好位于另外两个人的中间。此时，求出人行道起点与中间人之间的距离（以英尺为单位）。

问题 3

复数 $z$ 等于 $9+bi$ ，其中 $b$ 为正实数且 $i^{2}=-1$ 。假设 $z^{2}$ 和的虚部 $z^{3}$ 相同，那么 $b$ 等于什么？

问题4

三颗行星在同一平面上绕恒星旋转。每颗行星都以相同的方向和恒定的速度移动。它们的周期分别为 $60$ 、 $84$ 和 $140$ 年。这三颗行星和恒星目前共线。从现在起，它们最少需要多少年才能再次共线？

问题5

$F$ 将华氏温度转换为相应的摄氏温度的公式 $加元$ 是 $C = \frac{5}{9}(F-32).$ 将整数华氏温度转换为摄氏度，四舍五入到最接近的整数，再转换回华氏温度，然后再次四舍五入到最接近的整数。

$32$ 对于介于和之间的多少个整数华氏度温度， $1000$ 原始温度等于最终温度？

问题 6

一只青蛙被放在数轴的原点，并按照以下规则移动：在给定的移动中，青蛙要么前进到最近的具有更大整数坐标且是的倍数的点，要么前进到最近的具有更大整数坐标且是的倍数的点。移动序列是与有效移动相对应的坐标序列，以开头，以结尾。例如，是一个移动序列。青蛙可能有多少种移动序列？ $3$ $13$ $0$ $39$ $0,\ 3,\ 6,\ 13,\ 15,\ 26,\ 39$

问题 7

让 $N = \sum_{k = 1}^{1000} k ( \lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor )$

$N$ 求除以 1000 的余数。（ $\lfloor{k}\rfloor$ 是小于或等于的最大整数 $k$ ， $\lceil{k}\rceil$ 是大于或等于的最小整数 $k$ 。）

问题 8

多项式是三次多项式。多项式和都是的因数，那么 $P(x)$ 的最大值是多少？ $k$ $Q_1(x) = x^2 + (k-29)x - k$ $Q_2(x) = 2x^2+ (2k-43)x + k$ $P(x)$

问题 9

在直角三角形中， $ABC$ 直角为 $加元$ ， $加元 = 30美元$ 且 $CB = 16$ 。其直角边 $加元$ 和 $CB$ 延伸到 $A$ 和之外 $B$ 。点 $O_1$ 和 $O_2$ 位于三角形外部，分别是两个半径相等的圆的圆心。以为圆心的圆 $O_1$ 与斜边和直角边的延长线相切 $加元$ ，以为圆心的圆 $O_2$ 与斜边和直角边的延长线相切 $CB$ ，两个圆互相外切。任一圆的半径长度都可以表示为 $p/q$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 10

在一个 $6 \乘以 4$ 网格（ $6$ 行、 $4$ 列）中， $12$ 有的 $24$ 方块需要涂黑，使得每行有两个涂黑的方块，每列有三个涂黑的方块。设为具有此属性的涂黑的方块数。求当除以 $N$ 时的余数。 $N$ $1000$

问题11

对于每个正整数 $p$ ，设 $b(p)$ 表示唯一正整数， $k$ 使得 $|k-\sqrt{p}| < \frac{1}{2}$ 。例如， $b(6) = 2$ 和 $b(23) = 5$ 。如果除以 1000 $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$ 时求余数。 $S$

问题 12

在等腰三角形中 $ABC$ ， $A$ 位于原点， $B$ 位于(20,0)。点 $加元$ 位于第一象限 $AC = BC$ ，角为 $BAC = 75^{\circ}$ 。如果三角形 $ABC$ 绕点逆时针旋转， $A$ 直到的图像 $加元$ 位于正轴上 $y$ ，则原始三角形和旋转三角形共同的区域面积为形式 $p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s$ ，其中 $p,q,r,s$ 为整数。求 $(p-q+rs)/2$ 。