2006年 AIME I 数学邀请赛真题

2006年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在四边形中 $ABCD,\角度B$ ，角为直角，对角线 $\overline{AC}$ 垂直于 $\overline{CD}, AB=18, BC=21,$ 且 $CD=14.$ 求周长 $ABCD.$

问题 2

设集合 $\mathcal{A}$ 为的 90 个元素子集 $\{1,2,3,\ldots,100\},$ ，设 $S$ 是元素的总和， $\mathcal{A}.$ 求可能值的数量 $S.$

问题 3

找到最小的正整数，使得当删除其最左边的数字时，得到的整数等于 $1/29$ 原始整数。

问题4

设 $N$ 是乘积小数表示形式右边连续0的个数，求除以1000的 $1!2!3!4!\cdots99!100!.$ 余数。 $N$

问题5

该数字 $\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ 可以写成 $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5},$ 其中 $a,b,$ 和 $c$ 为正整数。查找 $abc.$

问题 6

设 $\mathcal{S}$ 是可以表示为循环小数的实数集，形式为 $0.\上划线{abc}$ 其中 $a,b,c$ 是不同的数字。求元素之和 $\mathcal{S}.$

问题 7

如图所示，在一组等距平行线上画一个角。阴影区域面积 $加元$ 与阴影区域面积之比 $B$ 为 $\frac{11}{5}$ 。求阴影区域面积 $D$ 与阴影区域面积之比 $A$ 。

$[asy] size(6cm); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); for(int i=0; i<4; i=i+1) { fill((2*i,0)--(2*i+1,0)--(2*i+1,6)--(2*i,6)--循环，中灰色); } pair A=(1/3,4), B=A+7.5*dir(-17), C=A+7*dir(10); draw(B--A--C); fill((7.3,0)--(7.8,0)--(7.8,6)--(7.3,6)--循环，白色); clip(B--A--C--循环); for(int i=0; i<9; i=i+1) { draw((i,1)--(i,6)); } 标签("$\mathcal{A}$", A+0.2*dir(-17), S);标签("$\mathcal{B}$", A+2.3*dir(-17), S);标签("$\mathcal{C}$", A+4.4*dir(-17), S);标签("$\mathcal{D}$", A+6.5*dir(-17), S); [/asy]$

问题 8

六边形 $ABCDEF$ 被分成五个菱形， $P、Q、R、S,$ 和 $T$ ，如图所示。菱形 $P、Q、R,$ 和 $S$ 全等，每个菱形的面积 $\sqrt{2006}.$ 为设 $K$ 是菱形的面积 $T$ 。假设为 $K$ 正整数，求出的可能值的数量 $K.$

$[asy] // TheMathGuyd 大小(8cm); 对 A=(0,0), B=(4.2,0), C=(5.85,-1.6), D=(4.2,-3.2), EE=(0,-3.2), F=(-1.65,-1.6), G=(0.45,-1.6), H=(3.75,-1.6), I=(2.1,0), J=(2.1,-3.2), K=(2.1,-1.6); 绘制(A--B--C--D--EE--F--循环); 绘制(F--G--(2.1,0)); 绘制(C--H--(2.1,0)); 绘制(G--(2.1,-3.2)); 绘制(H--(2.1,-3.2));标签("$\mathcal{T}$",(2.1,-1.6));标签("$\mathcal{P}$",(0,-1),NE);标签("$\mathcal{Q}$",(4.2,-1),NW);标签("$\mathcal{R}$",(0,-2.2),SE);标签("$\mathcal{S}$",(4.2,-2.2),SW); [/asy]$

问题 9

该序列 $a_1, a_2, \ldots$ 是具有 $a_1=a$ 和公比的几何序列 $r,$ ，其中 $a$ 和 $r$ 为正整数。假设 $\log_8 a_1+\log_8 a_2+\cdots+\log_8 a_{12} = 2006,$ 求出可能的有序对的数量 $(a,r).$

问题 10

八个直径为 1 的圆如图所示排列在坐标平面的第一象限中。设区域 $\mathcal{R}$ 为八个圆形区域的并集。 $l,$ 斜率为 3 的线将分成 $\mathcal{R}$ 两个面积相等的区域。线 $l$ 的方程可以表示为如下形式 $ax=by+c,$ 其中 $a,b,$ 和 $c$ 是最大公约数为 1 的正整数。求 $a^2+b^2+c^2.$

$[asy] unitize(0.50cm); draw((0,-1)--(0,6)); draw((-1,0)--(6,0)); draw(shift(1,1)*unitcircle); draw(shift(1,3)*unitcircle); draw(shift(1,5)*unitcircle); draw(shift(3,1)*unitcircle); draw(shift(3,3)*unitcircle); draw(shift(3,5)*unitcircle); draw(shift(5,1)*unitcircle); draw(shift(5,3)*unitcircle); [/asy]$