分类： 赛事资讯

概率题出现‘不放回’三个字时，后一次抽取的分母已改变。对AIME这类需要填写整数的考试，概率往往会嵌入要求分子、分母或某个整数表达式的题目中，因此先把原概率算成最简分数至关重要。

题目条件：先把已知信息说清楚

袋中有4个红球、3个蓝球，各球可区分。随机不放回抽3个，求恰好抽到2红1蓝的概率，化成最简分数。

完整推导：一步一步得到答案

按不计抽取顺序的组合法：总共从7球选3球，有C(7,3)=35种等可能的三球组合；从4红中选2有C(4,2)=6种，从3蓝中选1有3种，满足条件的组合6×3=18。因此概率为18/35，已是最简分数。

为什么这样做：核验与适用范围

再用次序法抽样验证：红红蓝这一顺序的概率是(4/7)×(3/6)×(3/5)=6/35。满足2红1蓝还有红蓝红、蓝红红共3种位置安排，且这三种顺序概率相同，所以总概率3×6/35=18/35。这也说明为什么不能只计算红红蓝。

最容易漏掉的限制

最容易犯的错误是把每一步红球比例都固定为4/7，假装有放回；或只乘某一种顺序概率，遗漏蓝球出现在第一、第二、第三次的情况。组合数方法与顺序法只能分别使用，切忌混合导致重复计数。

举一反三：换条件再做一次

迁移：至少2红的概率=恰好2红1蓝的18/35，加上3红的C(4,3)/C(7,3)=4/35，所以结果22/35。使用互斥事件相加时，要确认覆盖所有满足条件的情况。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：AIME能直接填18/35吗？答：正式题目要求的是0至999的整数答案。只有题目指定‘最简分数分子与分母之和’之类整数表达式时才填53；本教学题只要求概率，不要自行创造取整规则。

如何安排有针对性的练习

训练先画‘抽取是否放回’分叉，再分别写总样本量和目标情况数。复核时换一种计数法，注意两种算法的事件定义一致。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。

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圆与弦的计算经常可以转化为一个更熟悉的直角三角形。难点在于先找到圆心到弦的垂线，并知道它会平分弦；如果直接套弧长公式，计算对象就完全错了。

题目条件：先把已知信息说清楚

圆O的半径为10，一条弦AB到圆心O的最短距离为6，求弦AB的长度以及△OAB的面积。

完整推导：一步一步得到答案

从O向AB作垂线OH，H落在弦上。由于OA=OB=10，两个直角三角形全等，因此AH=HB。勾股定理得AH²=OA²−OH²=100−36=64，AH=8，所以整条弦AB=16。△OAB以AB为底，OH为高，面积为16×6÷2=48。

为什么这样做：核验与适用范围

这套解法还可写成弦长L=2√(r²−d²)，但公式不是必须背诵的独立规则，而是由垂线平分弦与勾股定理推得。把半径与垂线长度画出来，比记住一个孤立公式更稳妥。

最容易漏掉的限制

常见错误：把AH=8当作整条弦长；使用6²+10²而不是10²−6²；或把AB误认为圆弧长度。题目说‘弦到圆心距离’时，指的是垂直距离。

举一反三：换条件再做一次

迁移：半径为5的圆，两条弦到圆心的距离分别为3与4，则弦长分别为2√(25−9)=8与2√(25−16)=6，长度差为2。越靠近圆心的弦越长，与图形直观一致。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：当d=r时会怎样？答：表达式给出弦长0，此时直线与圆相切而不是形成具有正长度的弦。若d>r，直线与圆无交点，根号内为负反映几何上不可能。

如何安排有针对性的练习

做几何题时标注半径、弦心距、半弦三条线段，先估计弦长应不超过直径20，再检查代数结果是否合理。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。

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含整数条件的方程通常不能只用一次代入就宣称找到全部答案。AIME数论中，‘非负’和‘整数’这两个限制往往比等式本身更重要。模运算能把无限可能缩减成少数几个候选。

题目条件：先把已知信息说清楚

求方程7x+11y=150的全部非负整数解，并计算这些解中x+y的最大值。

完整推导：一步一步得到答案

对7取模：11y≡150（mod 7），即4y≡3（mod 7）。4在模7下的逆元是2，所以y≡6（mod 7）。又因为11y≤150，有0≤y≤13，符合条件的y只能是6或13。分别代入得到y=6时x=12；y=13时x=1。全部解为(12,6)、(1,13)，x+y分别为18与14，最大值18。

为什么这样做：核验与适用范围

为保证不漏解，可以写y=6+7t，由0≤y≤13得到t只能为0或1。把结果回代：7×12+11×6=150，7×1+11×13=150，两组都正确。参数取值范围就是‘找全’的证明。

最容易漏掉的限制

易错的是只试出(12,6)就结束，或取模时把11直接当11而没有化成4。还要区分‘整数解’与‘非负整数解’，前者允许负数，可以有无穷多组，不可混用。

举一反三：换条件再做一次

迁移：把右边改为143。模7仍得4y≡3，因此y=6或13；回代得(x,y)=(11,6)与(0,13)。在非负范围中x=0合法，在正整数范围中则应剔除第二组。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：如果系数有公因数怎么办？答：先检查公因数是否整除常数项；若不整除则没有整数解，若能整除则约去公因数后再求模，能减少运算。

如何安排有针对性的练习

先给某变量找上下界，再选方便的模数消去另一项，最后列参数和回代核验。不要将‘试出来’当成完整证明。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。

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不变量题最难的部分通常不是运算，而是找到‘每一步都不会改变的性质’。奇偶性是最容易检查的候选。AIME中的复杂操作可能需要模3、模4或其他量，但先用奇偶性排除不可能情况，是很实用的第一步。

题目条件：先把已知信息说清楚

桌上写着整数1、2、…、10。每次选两个整数a、b，将它们擦去并写上|a−b|，直到只剩一个数。最终有可能得到0吗？

完整推导：一步一步得到答案

原来十个数字的和为55，是奇数。一次操作后，总和减少a+b−|a−b|。当a≥b时减少2b；当b≥a时减少2a，均为偶数。因此每一步总和的奇偶性不变。终局只剩一个数，其奇偶性仍是奇数，所以不可能等于偶数0。

为什么这样做：核验与适用范围

还有一个更短的模2证明：|a−b|与a−b奇偶性相同，而a−b与a+b奇偶性相同，因为两者差为2b。所以替换前后总和在模2意义下相等。两种证明都不依赖具体选择顺序。

最容易漏掉的限制

不能说‘剩下的数一定是55’。总和的数值可能改变，保留下来的只有奇偶性。也不能由‘偶数总和’反推出一定能够得到0；奇偶检查只是排除法，不是构造存在性的充分证明。

举一反三：换条件再做一次

迁移思考：若桌上是1至11，总和66为偶数，此时奇偶性不能排除最终得到0。接下来要么寻找更强的不变量，要么尝试给出一套确实得到0的操作。不要把‘无法排除’误写成‘必然可以’。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：为什么要用绝对值而不是普通减法？答：绝对值保证新数非负，但奇偶关系在模2下仍然成立；讨论可达数值范围时，绝对值可能是重要限制。

如何安排有针对性的练习

训练时先写初态某个量，再写一步操作后该量的变化式。若变化总是偶数或某数的倍数，就把这个不变量用于终态矛盾证明。

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多位数构造题同时包含‘首位不能为0’、‘数字不能重复’和‘末位整除条件’时，直接使用排列公式往往会漏条件。以下用可完全枚举的自编案例，说明先固定限制最强的位置，再做分类讨论。

题目条件：先把已知信息说清楚

从数字0、1、2、3、4、5、6中选4个互不相同的数字组成四位数，要求能被5整除。问共有多少个？

完整推导：一步一步得到答案

末位必须为0或5。第一类末位为0：千位可选1至6共6种，百位从剩余5种选，十位从剩余4种选，共6×5×4=120。第二类末位为5：千位不能为0也不能为5，有1、2、3、4、6共5种；百位可在剩余5种中选，十位剩余4种，共5×5×4=100。总共220个。

为什么这样做：核验与适用范围

这两类互斥并覆盖所有可能，因为十进制整数被5整除的必要充分条件就是个位为0或5。采用分情况计数而不是‘取4个再排列’的好处，是末位和首位的限制都在第一步解决。

最容易漏掉的限制

易错处是末位固定为5后仍把千位算成6种，偷偷允许了0开头；还有人从7个数字中选4个直接乘4!，既没有扣除0开头，也没有落实末位条件。

举一反三：换条件再做一次

迁移题：用0、1、2、3、4、5组成四位偶数且数字互异。个位0时有5×4×3=60种；个位为2或4时，各有4×4×3=48种，总数156。对比上一题发现分类结构相同、合法首位数不同。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：如果允许数字重复，怎么改？答：需重新审查题意。以本题数字集合为例，末位2种，首位6种，中间两位各7种，得到2×6×7×7；不重复前提消失后不可沿用220。

如何安排有针对性的练习

做计数题先写出三个限制：首位、末位、重复性；再选一个位置分类，每一类写出每一步可选数，并检查类与类之间有没有重叠。

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递推不是看到数字增长就猜等比。AIME数列练习里，关键是验证由相邻两项决定下一项的规则，并判断它能否改写成更容易计算的形式。先用一个线性递推实例展示从试算、猜测到归纳的完整链条。

题目条件：先把已知信息说清楚

设a₁=1，a₂=3，对n≥1有aₙ₊₂=3aₙ₊₁−2aₙ，求a₉。

完整推导：一步一步得到答案

由递推式先算a₃=3×3−2×1=7，a₄=3×7−2×3=15，a₅=3×15−2×7=31，观察1、3、7、15、31比2的幂少1。猜测aₙ=2ⁿ−1，于是a₉=512−1=511。

为什么这样做：核验与适用范围

还要证明猜测。若aₙ=2ⁿ−1、aₙ₊₁=2ⁿ⁺¹−1，则3aₙ₊₁−2aₙ=3(2ⁿ⁺¹−1)−2(2ⁿ−1)=2ⁿ⁺²−1，确为aₙ₊₂。起始两项同样满足公式，所以数学归纳法完成证明。

最容易漏掉的限制

只列前四项就声称唯一规律并不严谨；有限项可被无数公式拟合。题目已给递推关系，通项必须与递推和初值同时相容。计算中还要注意3aₙ₊₁−2aₙ里的减号。

举一反三：换条件再做一次

变式：改成a₁=2、a₂=5，递推仍为aₙ₊₂=3aₙ₊₁−2aₙ。可验证通项aₙ=3×2ⁿ⁻¹−1，因此a₇=3×64−1=191。试写出对应的归纳步骤。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：一定需要解特征方程吗？答：不一定。特征方程方法对线性常系数递推很有用，但简单题可从差分或移项发现模式。用你能解释且能验证的最短方法即可。

如何安排有针对性的练习

把前五项、猜测公式、验证初值、验证递推四项写进解题记录。复练时改变初值，看方法是否仍能成立，而不是背固定序列。

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排列题一旦出现相同数字和数字0，两个不同原因会造成重复或非法：相同元素交换不算新排列，首位是0则不是要求的六位数。这类题适合用‘先算所有序列，再扣掉不合法序列’的策略，也要知道何时可直接按首位分类。

题目条件：先把已知信息说清楚

用数字0、0、1、1、2、3各一次组成六位整数，求能组成多少个互不相同的六位数。

完整推导：一步一步得到答案

先不限制首位，6个位置中两枚0互换、两枚1互换不产生新排列，所以不同序列数为6!/(2!2!)=180。首位是0的非法序列：固定一枚0在首位，剩下0、1、1、2、3五个元素，有5!/2!=60种。因此合法六位整数为180−60=120。

为什么这样做：核验与适用范围

再用另一方法核验：首位可从1、2、3中选。首位为1时，余下0、0、1、2、3有5!/2!=60种；首位为2或3时，余下0、0、1、1及另一非零数字，各有5!/(2!2!)=30种。合计60+30+30=120。分类路径完全独立，能证明没有多扣。

最容易漏掉的限制

错误一是直接用6!=720，重复计算相同0和1的交换；错误二是先扣首位0再把0重新按两枚重复元素除以2，导致非法数量算少；固定首位后要看剩余元素的重复度。

举一反三：换条件再做一次

迁移题：数字0、0、1、1、2、3、4组成七位整数。总序列7!/(2!2!)=1260，首位0的序列6!/2!=360，合法七位数为900。改变元素数目时重新数重复倍数，不能照搬120。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：什么时候用组合数比阶乘简洁？答：当题目要求安排0和1的位置时，可以先选重复数字所在位置，再排列其他元素；但仍需对首位0作限制。两种方法本质相同。

如何安排有针对性的练习

训练时先分别做不含0、含一个0、含重复0三题。统一写出‘是否计顺序、是否有相同元素、首位能否为0’的检查行，再计算。

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相似图形题最容易混淆三种比例：对应边长、周长和面积。AIME式的填空题只要比例换算错一次，后面的整数运算全白费。先用一个结果可以独立验证的案例说明思路，再讨论如何识别题目有没有真的给出相似条件。

题目条件：先把已知信息说清楚

两个三角形已知相似，较小者与较大者的面积比为9:16；较大三角形周长为40，求较小者周长。

完整推导：一步一步得到答案

相似三角形所有对应线性尺寸都乘以同一缩放倍数k，面积乘以k²。因此小与大面积比9:16，意味着边长比为√9:√16=3:4。周长是三条对应边相加，同样按3:4缩放，较小周长为40×3/4=30。

为什么这样做：核验与适用范围

为什么面积比要开平方？把大三角形的一条底边和对应高分别设为b、h，面积是bh/2。每个线性长度乘3/4后，面积变成(3/4)²×bh/2，也就是原来的9/16；周长却只乘一次3/4。

最容易漏掉的限制

只知道面积比9:16，通常不能对任意两个三角形直接推断周长比3:4；题干必须确认‘相似’。另一个陷阱是把9:16直接用在周长上，错算40×9/16=22.5。

举一反三：换条件再做一次

变式：两个相似圆锥的表面积比25:36，较大圆锥高18，求较小圆锥高。在整体相似的前提下，高度比5:6，所以较小高度15。若只给底面积比，则还应确认高度也相似对应。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：体积比怎样换算？答：对于三维相似立体，体积比是线性比的三次方。例如边比2:3，体积比8:27。不要将平面面积的平方规律直接套在体积上。

如何安排有针对性的练习

做题时先写‘相似成立吗？已知比属于边、面积还是体积？要求哪一种比？’三个问题。每道题最后用一个简单缩放示意图验证。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。

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