含整数条件的方程通常不能只用一次代入就宣称找到全部答案。AIME数论中，‘非负’和‘整数’这两个限制往往比等式本身更重要。模运算能把无限可能缩减成少数几个候选。
题目条件：先把已知信息说清楚
求方程7x+11y=150的全部非负整数解，并计算这些解中x+y的最大值。
完整推导：一步一步得到答案
对7取模：11y≡150（mod 7），即4y≡3（mod 7）。4在模7下的逆元是2，所以y≡6（mod 7）。又因为11y≤150，有0≤y≤13，符合条件的y只能是6或13。分别代入得到y=6时x=12；y=13时x=1。全部解为(12,6)、(1,13)，x+y分别为18与14，最大值18。
为什么这样做：核验与适用范围
为保证不漏解，可以写y=6+7t，由0≤y≤13得到t只能为0或1。把结果回代：7×12+11×6=150，7×1+11×13=150，两组都正确。参数取值范围就是‘找全’的证明。
最容易漏掉的限制
易错的是只试出(12,6)就结束，或取模时把11直接当11而没有化成4。还要区分‘整数解’与‘非负整数解’，前者允许负数，可以有无穷多组，不可混用。
举一反三：换条件再做一次
迁移：把右边改为143。模7仍得4y≡3，因此y=6或13；回代得(x,y)=(11,6)与(0,13)。在非负范围中x=0合法，在正整数范围中则应剔除第二组。
读者常问：这个技巧还能怎样用？
问：如果系数有公因数怎么办？答：先检查公因数是否整除常数项；若不整除则没有整数解，若能整除则约去公因数后再求模，能减少运算。
如何安排有针对性的练习
先给某变量找上下界，再选方便的模数消去另一项，最后列参数和回代核验。不要将‘试出来’当成完整证明。
| 核对环节 | 执行动作 |
|---|---|
| 对7取模 | y≡6 (mod 7) |
| y的范围 | 0≤y≤13 |
| 全部非负整数解 | (12,6)、(1,13) |
| 目标答案 | 最大x+y=18 |
说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。
本站AIME真题与备赛资料 | 查阅本站资料整理
