2027 AIME数字构造与整除5：0能放哪一位？四位数计数详解

多位数构造题同时包含‘首位不能为0’、‘数字不能重复’和‘末位整除条件’时，直接使用排列公式往往会漏条件。以下用可完全枚举的自编案例，说明先固定限制最强的位置，再做分类讨论。

题目条件：先把已知信息说清楚

从数字0、1、2、3、4、5、6中选4个互不相同的数字组成四位数，要求能被5整除。问共有多少个？

完整推导：一步一步得到答案

末位必须为0或5。第一类末位为0：千位可选1至6共6种，百位从剩余5种选，十位从剩余4种选，共6×5×4=120。第二类末位为5：千位不能为0也不能为5，有1、2、3、4、6共5种；百位可在剩余5种中选，十位剩余4种，共5×5×4=100。总共220个。

为什么这样做：核验与适用范围

这两类互斥并覆盖所有可能，因为十进制整数被5整除的必要充分条件就是个位为0或5。采用分情况计数而不是‘取4个再排列’的好处，是末位和首位的限制都在第一步解决。

最容易漏掉的限制

易错处是末位固定为5后仍把千位算成6种，偷偷允许了0开头；还有人从7个数字中选4个直接乘4!，既没有扣除0开头，也没有落实末位条件。

举一反三：换条件再做一次

迁移题：用0、1、2、3、4、5组成四位偶数且数字互异。个位0时有5×4×3=60种；个位为2或4时，各有4×4×3=48种，总数156。对比上一题发现分类结构相同、合法首位数不同。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：如果允许数字重复，怎么改？答：需重新审查题意。以本题数字集合为例，末位2种，首位6种，中间两位各7种，得到2×6×7×7；不重复前提消失后不可沿用220。

如何安排有针对性的练习

做计数题先写出三个限制：首位、末位、重复性；再选一个位置分类，每一类写出每一步可选数，并检查类与类之间有没有重叠。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。