遇到‘正数、固定线性和、求乘积最大值’的题型，最容易犯的是直接套x=y。约束x+2y=12不是x+y=12，真正相等的应是x与2y两个量。用这道自编题把取等条件一起算出来。
题目条件：先把已知信息说清楚
已知x>0、y>0，且x+2y=12，求xy的最大值和取到最大值时的(x,y)。
完整推导：一步一步得到答案
令a=x、b=2y。由(a+b)²≥4ab，得12²≥4×x×2y=8xy，因此xy≤144/8=18。等号必须满足a=b，即x=2y；再与x+2y=12联立，得到x=6、y=3。代入xy=18，确实达到上界。
为什么这样做：核验与适用范围
也可以用配方法：x=12−2y，xy=12y−2y²=18−2(y−3)²≤18，且正数范围内y=3可取。两条解法互相独立；一个强调AM-GM的取等条件，一个强调二次函数顶点。
最容易漏掉的限制
不要直接写x=y=4，因为虽然x+2y=12成立，积为16，并非最大。另一个错误是证明xy≤18后没有找到满足条件的等号点，这只能说明上界，而不能保证最大值确实是18。
举一反三：换条件再做一次
迁移题：x+3y=18且x,y>0，最大xy为18²/(4×3)=27，等号在x=3y，即x=9、y=3。比较不同权重对取等点的影响。
读者常问：这个技巧还能怎样用？
问：能否把正数改成任意实数？答：不能直接沿用结论。如果没有正数限制，表达式xy=12y−2y²在此特定例子仍有最大值，但其他不等式推导与极值条件可能改变，必须重新核实。
如何安排有针对性的练习
遇到加权和先把约束拆成‘两个正量之和’，接着写上界、取等条件、代回检验。最后再用二次函数检查一次。
| 核对环节 | 执行动作 |
|---|---|
| 已知限制 | x+2y=12 |
| 最大上界 | xy≤18 |
| 等号成立 | x=2y |
| 答案 | x=6，y=3 |
说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。
