2027 AIME无放回抽球概率怎么计算？组合数与顺序法各算一次

概率题出现‘不放回’三个字时，后一次抽取的分母已改变。对AIME这类需要填写整数的考试，概率往往会嵌入要求分子、分母或某个整数表达式的题目中，因此先把原概率算成最简分数至关重要。

题目条件：先把已知信息说清楚

袋中有4个红球、3个蓝球，各球可区分。随机不放回抽3个，求恰好抽到2红1蓝的概率，化成最简分数。

完整推导：一步一步得到答案

按不计抽取顺序的组合法：总共从7球选3球，有C(7,3)=35种等可能的三球组合；从4红中选2有C(4,2)=6种，从3蓝中选1有3种，满足条件的组合6×3=18。因此概率为18/35，已是最简分数。

为什么这样做：核验与适用范围

再用次序法抽样验证：红红蓝这一顺序的概率是(4/7)×(3/6)×(3/5)=6/35。满足2红1蓝还有红蓝红、蓝红红共3种位置安排，且这三种顺序概率相同，所以总概率3×6/35=18/35。这也说明为什么不能只计算红红蓝。

最容易漏掉的限制

最容易犯的错误是把每一步红球比例都固定为4/7，假装有放回；或只乘某一种顺序概率，遗漏蓝球出现在第一、第二、第三次的情况。组合数方法与顺序法只能分别使用，切忌混合导致重复计数。

举一反三：换条件再做一次

迁移：至少2红的概率=恰好2红1蓝的18/35，加上3红的C(4,3)/C(7,3)=4/35，所以结果22/35。使用互斥事件相加时，要确认覆盖所有满足条件的情况。

读者常问：这个技巧还能怎样用？

问：AIME能直接填18/35吗？答：正式题目要求的是0至999的整数答案。只有题目指定‘最简分数分子与分母之和’之类整数表达式时才填53；本教学题只要求概率，不要自行创造取整规则。

如何安排有针对性的练习

训练先画‘抽取是否放回’分叉，再分别写总样本量和目标情况数。复核时换一种计数法，注意两种算法的事件定义一致。

说明：例题为自编。2027考试形式及各考区安排请以MAA与当地考试通知为准。