2009年 AIME II 数学邀请赛真题

2009年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在开始油漆之前，比尔有 $130$ 几盎司蓝色油漆、 $164$ 几盎司红色油漆和 $188$ 几盎司白色油漆。比尔在墙上画了四条大小相同的条纹，一条蓝色条纹、一条红色条纹、一条白色条纹和一条粉色条纹。粉色是红色和白色的混合，不一定是等量的。当比尔完成后，他剩下的蓝色、红色和白色油漆数量相等。求比尔剩下的油漆总数。

问题 2

假设 $a$ 、 $b$ 和为正实数， $c$ 且、和。求 $a^{\log_3 7} = 27$ $b^{\log_7 11} = 49$ $c^{\log_{11}25} = \sqrt{11}$ $a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.$

问题 3

在矩形中 $ABCD$ ， $AB=100$ 。设 $E$ 为的中点 $\overline{AD}$ 。已知线段 $AC$ 和线段 $BE$ 垂直，求小于的最大整数 $AD$ 。

问题4

一群孩子举行了一场吃葡萄比赛。比赛结束时，获胜者吃掉了 $n$ 葡萄，排名第的孩子也 $k$ 吃掉了 $n+2-2k$ 葡萄。比赛中吃掉的葡萄总数为 $2009$ 。求的最小可能值 $n$ 。

问题5

等边三角形 $T$ 内接于圆 $A$ ，圆的半径为 $10$ 。半径 $B$ 为的圆在的一个顶点处 $3$ 内切于圆。半径为的圆和均在的另外两个顶点处内切于圆。圆、和均外切于圆，圆的半径为，其中和是互质正整数。求。 $A$ $T$ $加元$ $D$ $2$ $A$ $T$ $B$ $加元$ $D$ $E$ $\dfrac mn$ $百万$ $n$ $m+n$

$[asy] unitize(3mm); defaultpen(linewidth(.8pt)); dotfactor=4; 对 A=(0,0), D=8*dir(330), C=8*dir(210), B=7*dir(90); 对 Ep=(0,4-27/5); 对[] dotted={A,B,C,D,Ep}; 绘制(圆(A,10)); 绘制(圆(B,3)); 绘制(圆(C,2)); 绘制(圆(D,2)); 绘制(圆(Ep,27/5)); dot(dotted); 标签("$E$",Ep,A); 标签("$A$",A,W); 标签("$B$",B,W); 标签("$C$",C,W); 标签("$D$",D,E); [/asy]$

问题 6

设 $百万$ 为可从第一个自然数集合中选取的五元素子集的数量， $14$ 使得五个数字中至少有两个是连续的。求 $百万$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 7

定义 $n!!$ 为 $n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1$ 奇数 $n$ ， $n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2$ 为 $n$ 偶数。当 $\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ 用最简分数表示时，其分母 $2^ab$ 为 $b$ 奇数。求 $\dfrac{ab}{10}$ 。

问题 8

Dave 掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。Linda 独立地掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。设 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数，使得是 $\dfrac mn$ Dave 掷骰子的次数等于或在 Linda 掷骰子的次数之内的概率。求 $m+n$ 。

问题 9

设 $百万$ 为方程的正整数解的个数 $4x+3y+2z=2009$ ，设 $n$ 为方程的正整数解的个数。求除以 $4x+3y+2z=2000$ 时的余数。 $百万美元$ $1000$

问题 10

四座灯塔分别位于、、和点 $A$ 。 $B$ 处 $加元$ 的 $D$ 灯塔 $A$ 距离处的灯塔为 $5$ 公里 $B$ ，处的灯塔距离处的灯塔 $B$ 为公里，处的灯塔距离处的灯塔为公里。对于处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与和处的灯光所确定的角相等。对于处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与和处的灯光所确定的角相等。从到的公里数为，其中、和是互质正整数，并且不能被任何素数的平方整除。求。 $12$ $加元$ $A$ $13$ $加元$ $A$ $B$ $D$ $加元$ $D$ $加元$ $A$ $B$ $D$ $B$ $A$ $D$ $\frac{p\sqrt{r}}{q}$ $p$ $q$ $r$ $r$ $p+q+r$