2009年 AIME I 数学邀请赛真题

2009年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

如果一个 $3$ -位数字具有不同的数字，并且从左到右读时形成一个几何序列，则称该数字为几何数。求出最大和最小几何数之间的差。 $3$

问题 2

有一个 $z$ 具有虚部的复数 $164$ 和一个正整数 $n$ ，使得

$\frac {z}{z + n} = 4i.$

寻找 $n$ 。

问题 3

一枚硬币每次抛出正面的概率为 $p> 0$ ，每次抛出反面的概率 $1-p>0$ 为，抛硬币八次。假设三次抛出正面和五次抛出反面的概率等于 $\frac {1}{25}$ 五次抛出正面和三次抛出反面的概率。设 $p = \frac {m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。

问题4

在平行四边形中 $ABCD$ ，点 $M$ 在上 $\overline{AB}$ ，使得 $\frac {AM}{AB} = \frac {17}{1000}$ 点 $N$ 在上， $\overline{AD}$ 使得 $\frac {AN}{AD} = \frac {17}{2009}$ 。设为和的 $P$ 交点。求。 $\overline{AC}$ $\overline{MN}$ $\frac {AC}{AP}$

问题5

三角形 $ABC$ 有 $AC = 450$ 和 $BC 美元 = 300 美元$ 。点 $K$ 和分别 $L$ 位于 $\overline{AC}$ 和上，使得，和是角的角平分线。设是和的交点，设是中点所在直线上的点。若，则求。 $\overline{AB}$ $AK = CK$ $\overline{CL}$ $加元$ $P$ $\overline{BK}$ $\overline{CL}$ $M$ $BK$ $K$ $\overline{PM}$ $上午 = 180$ $LP$$

问题 6

有多少 $N$ 个小于的正整数使得 $1000$ 该方程 $x^{\lfloor x\rfloor} = N$ 有解 $x$ ？

问题 7

对于，序列 $(a_n)$ 满足 $a_1 = 1$ 和。设为大于的最小整数，其中为整数。求。 $5^{(a_{n + 1} - a_n)} - 1 = \frac {1}{n + \frac {2}{3}}$ $n \geq 1$ $k$ $1$ $a_k$ $k$

问题 8

设 $S = \{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{10}\}$ 。考虑元素对的所有可能的正差 $S$ 。设 $N$ 为所有这些差的总和。求 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 9

一个游戏节目为参赛者提供了三个奖品 A、B 和 C，每个奖品的价值为从到的整数美元 $\text{\text美元}1$ 。 $\text{\textdollar}9999$ 参赛者通过正确猜出 A、B、C 顺序的每个奖品的价格来赢得奖品。作为提示，给出了三个价格的数字。在某一天，给出的数字是 $1, 1, 1, 1, 3, 3, 3$ 。求出与提示一致的所有三个奖品的可能猜测总数。

问题 10

年度星际数学考试 (AIME) 由五名火星人、五名金星人和五名地球人组成的委员会编写。开会时，委员会成员坐在圆桌旁，椅子按顺时针方向从 $1$ 到编号。委员会规则规定，火星人必须坐在椅子上，地球人必须坐在椅子上。此外，地球人不能坐在火星人的左边，火星人不能坐在金星人的左边，金星人不能坐在地球人的左边。委员会可能的座位安排数为。求。 $15$ $1$ $15$ $N \cdot (5!)^3$ $N$

问题11

考虑所有三角形的集合， $OPQ$ 其中 $O$ 是原点，并且 $P$ 是 $Q$ 平面上具有非负整数坐标的不同点， $(x,y)$ 并且 $41x + y = 2009$ 。求出面积为正整数的不同三角形的数量。

问题 12

在右半边 $\三角形ABC$ 为斜边的圆中 $\overline{AB}$ ， $AC = 12$ ， $BC 元 = 35 美元$ ， $\overline{CD}$ 是的高 $\overline{AB}$ 。设 $\omega$ 为圆的 $\overline{CD}$ 直径。设 $我$ 为圆外一点 $\三角形ABC$ ，使 $\overline{AI}$ 和 $\overline{BI}$ 均与圆相切 $\omega$ 。的周长 $\triangle ABI$ 与的长度之比 $AB$ 可以表示为的形式 $\frac {m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。