2010年 AIME II 数学邀请赛真题

2010年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为所有数字都是偶数且没有两个数字相同的数 $N$ 的最大整数倍。求除以时的余数。 $36$ $N$ $1000$

问题 2

$P$ 在单位正方形内部随机选取一点 $S$ 。设表示从到的最近边的 $d(P)$ 距离。等于的概率，其中和为互质正整数。求。 $P$ $S$ $\frac{1}{5}\le d(P)\le\frac{1}{3}$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 3

设是所有因数（不一定不同） $K$ 的乘积，其中和是满足的整数。找出能够整除的最大正整数。 $(ba)$ $a$ $b$ $1\le a < b \le 20$ $n$ $2^n$ $K$

问题4

戴夫到达一个机场，该机场有 12 个登机口，排列成一条直线， $100$ 相邻登机口之间的距离恰好为英尺。他的登机口是随机分配的。在登机口等待后，戴夫被告知登机口已更改为另一个登机口，同样是随机的。假设戴夫步行 $400$ 几英尺或更短时间到达新登机口的概率为分数 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题5

正数 $x$ 、 $y$ 、和 $z$ 满足 $xyz = 10^{81}$ 和 $(\log_{10}x)(\log_{10} yz) + (\log_{10}y) (\log_{10}z) = 468$ 。求 $\sqrt {(\log_{10}x)^2 + (\log_{10}y)^2 + (\log_{10}z)^2}$ 。

问题 6

寻找最小的正整数 $n$ ，其特性是多项式 $x^4 - nx + 63$ 可以写成两个具有整数系数的非常数多项式的乘积。

问题 7

设 $P(z)=z^3+az^2+bz+c$ ，其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 为实数。存在一个复数， $w$ 使得的三个根分别 $P(z)$ 为 $w+3i$ ， $w+9i$ 和 $$2周到4美元$ ，其中 $i^2=-1$ 。求 $|a+b+c|$ 。

问题 8

设 $N$ 是非空集的有序对的数量 $\mathcal{A}$ ，并 $\mathcal{B}$ 具有以下属性：

$\mathcal{A} \cup \mathcal{B} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ ，
$\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset$ ，
元素的数量 $\mathcal{A}$ 不是的元素 $\mathcal{A}$ ，
元素的数量 $\mathcal{B}$ 不是的元素 $\mathcal{B}$ 。

寻找 $N$ 。

问题 9

设 $ABCDEF$ 为正六边形。设 $黄金$ 、 $H$ 、 $我$ 、 $J$ 、 $K$ 和分别为边、、、、和 $L$ 的中点。线段、、、、和构成一个较小的正六边形。设小六边形的面积与的面积之比用分数表示，其中和是互质正整数。求。 $AB$ $BC$$ $CD$$ $德意志银行$ $EF$ $AF$ $\overline{AH}$ $\overline{BI}$ $\overline{CJ}$ $\overline{DK}$ $\overline{EL}$ $\overline{FG}$ $ABCDEF$ $\frac {m}{n}$ $百万$ $n$ $m + n$