2010年 AIME I 数学邀请赛真题

2010年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Maya 列出了的所有正因数 $2010^2$ 。然后她从这个列表中随机选择两个不同的因数。设 $p$ 为所选因数中恰好有一个是完全平方数的概率。该概率 $p$ 可以表示为的形式 $\frac {m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

问题 2

$9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 个 9}}$ 求除以的余数 $1000$ 。

问题 3

假设 $y = \frac34x$ 和 $x^y = y^x$ 。数量 $x + y$ 可以表示为有理数 $\frac {r}{s}$ ，其中 $r$ 和 $s$ 是互质正整数。求 $r + s$ 。

问题4

Jackie 和 Phil 有两枚公平硬币和一枚第三枚硬币，硬币正面朝上的概率为 $\frac47$ 。Jackie 抛三枚硬币，然后 Phil 也抛三枚硬币。设 $\frac {m}{n}$ 为 Jackie 抛出正面的次数与 Phil 抛出次数相同的概率，其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。

问题5

正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 满足 $a>b>c>d$ 、 $a + b + c + d = 2010$ 、和 $a^2-b^2+c^2-d^2=2010$ 。求的可能值的数量 $a$ 。

问题 6

设 $P(x)$ 是具有实系数的二次多项式，且 $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ 对所有实数都满足 $x$ ，并假设 $P(11) = 181$ 。求 $P(16)$ 。

问题 7

定义一个有序集合三元 $(A, B, C)$ 组为 $\textit{最小相交}$ 若 $|A \cap B| = |B \cap C| = |C \cap A| = 1$ 且为 $A \cap B \cap C = \emptyset$ 。例如， $（\{1,2\},\{2,3\},\{1,3,4\}）$ 是一个最小相交三元组。设 $N$ 是最小相交有序集合三元组的数量，其中每个集合都是的子集。当除以 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 时，求余数。 $N$ $1000$

注： $|S|$ 表示集合中元素的数量 $S$ 。

问题 8

对于实数 $a$ ，设 $\lfloor a \rfloor$ 表示小于或等于的最大整数 $a$ 。设 $\mathcal{R}$ 表示坐标平面中由 $(x,y)$ 这样的点组成的区域 $\lfloor x \rfloor ^2 + \lfloor y \rfloor ^2 = 25$ 。该区域 $\mathcal{R}$ 完全包含在半径为的圆盘中 $r$ （圆盘是圆及其内部的并集）。的最小值 $r$ 可以写成 $\frac {\sqrt {m}}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是整数， $百万$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m + n$ 。

问题 9

设 $(a,b,c)$ 是方程组 $x^3-xyz=2$ 、 $y^3 - xyz = 6$ 、的实数解 $z^3-xyz=20$ 。的最大可能值 $a^3 + b^3 + c^3$ 可以写成的形式 $\frac {m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

问题 10

设为写成形式 $N$ 的方法数，其中为整数，且。这种表示的一个例子是。求。 $2010$ $2010 = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$ $a_i$ $0 \le a_i \le 99$ $1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 67\cdot 10^1 + 40\cdot 10^0$ $N$

问题11

设是坐标平面中满足和的 $\mathcal{R}$ 点集所构成的区域。当绕直线旋转时，其方程为，则所得立体的体积为，其中，，和为正整数，和互质，不能被任何质数的平方整除。求。 $|8 - x| + y ≤ 10$ $3y - x \ge 15$ $\mathcal{R}$ $3y - x = 15$ $\frac {m\pi}{n\sqrt {p}}$ $百万$ $n$ $p$ $百万$ $n$ $p$ $m + n + p$