2011年 AIME II 数学邀请赛真题

2011年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

加里买了一大杯饮料，但只喝了一半 $m/n$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。如果他买的量是原来的一半，喝的量是原来的两倍，那么他浪费的 $2/9$ 饮料就只有原来的一半。求 $m+n$ 。

问题 2

在正方形上 $ABCD$ ，点 $E$ 位于边上 $AD$ ，点 $F$ 位于边上 $BC$$ ，使得 $BE=EF=FD=30$ 。求正方形的面积 $ABCD$ 。

问题 3

凸 18 边形中各个角度的度数构成一个具有整数值的递增等差数列。求出最小角度的度数。

问题4

在三角形中 $ABC$ ， $AB=20$ 和 $AC=11$ 。角的角平分线 $A$ 交 $BC$$ 于点 $D$ ，点 $M$ 是的中点 $AD$ 。设为和直线 $P$ 的交点。到的比值可以表示为的形式，其中和是互质正整数。求。 $AC$ $BM$ $CP$$ $帕拉梅拉$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题5

$2011$ 等比数列的首项之和为 $200$ 。首 $4022$ 项之和为 $380$ 。求首 $6033$ 项之和。

问题 6

如果，且，则将有序整数四元组定义 $（a，b，c，d）$ 为有趣的。有多少个有趣的有序四元组？ $1 \le a<b<c<d \le 10$ $a+d>b+c$

问题 7

埃德有五颗相同的绿色弹珠和大量相同的红色弹珠。他将绿色弹珠和一些红色弹珠排成一排，发现其右手边相邻的弹珠颜色与自己相同，其右手边相邻的弹珠颜色不同。这种排列的一个例子是 GGRRRGGRG。设为 $百万$ 可以进行这种排列的最大红色弹珠数量，设为 $N$ 他可以满足 $m+5$ 要求的排列弹珠的方式数量。求当 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 8

设 $z_1,z_2,z_3,\dots,z_{12}$ 为多项式的12个零点 $z^{12}-2^{36}$ 。对于每个 $j$ ，设为或 $w_j$ 之一。则的实部的最大可能值可以写成其中和为正整数。求。 $z_j$ $i z_j$ $\sum_{j=1}^{12} w_j$ $m+\sqrt{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 9

设 $x_1$ ， $x_2$ ， $\dots$ ， $x_6$ 为非负实数 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 1$ ，且 $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge {\frac{1}{540}}$ ，。设 $p$ 和 $q$ 为互质正整数，且 $\frac{p}{q}$ 为的最大可能值 $x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 + x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2$ 。求 $p + q$ 。

问题 10

一个圆心为25 的圆，长度为 30 的 $O$ 弦与长度为 14 的弦相交于点，两弦中点之间的距离为 12 ，该量可以表示为，其中和为互质正整数，求除以 1000 时的余数。 $\overline{AB}$ $\overline{CD}$ $P$ $OP^2$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m + n$

问题11

设 $M_n$ 为矩阵 $n \乘以 n$ ，其元素如下：对于 $1 \le i \le n$ ， $m_{i,i} = 10$ ；对于 $1 \le i \le n - 1$ ， $m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3$ ；中的所有其他元素 $M_n$ 均为零。设 $D_n$ 为矩阵的行列式 $M_n$ 。则可 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n+1}$ 表示为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p + q$ 。

$1 \乘以 1$ 注意：矩阵的行列式 $[a]$ 为，矩阵 $a$ 的行列式；对于，首行或首列为的矩阵，其行列式等于，其中是去掉包含的行和列后得到的矩阵的行列式。 $2 \乘以 2$ $\left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right] = ad - bc$ $n \ge 2$ $n \乘以 n$ $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\dots$ $a_n$ $a_1C_1 - a_2C_2 + a_3C_3 - \dots + (-1)^{n+1}a_nC_n$ $C_i$ $(n - 1) \times (n - 1)$ $a_i$