2011年 AIME I 数学邀请赛真题

2011年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

罐子里 $A$ 装有四升酸性溶液 $45\%$ 。罐子里 $B$ 装有五升酸性溶液 $48\%$ 。罐子里 $加元$ 装有一升酸性溶液 $k\%$ 。从罐子中 $加元$ ， $\frac{m}{n}$ 将几升溶液加入到罐子中 $A$ ，将罐子中剩余的溶液 $加元$ 加入到罐子 B 中。最后，罐子 $A$ 和罐子中都 $B$ 装有 $50\%$ 酸性溶液。假设 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数，求 $k + m + n$ 。

问题 2

在矩形中 $ABCD$ ， $AB = 12$ 和 $BC=10美元$ 。点 $E$ 和 $F$ 位于矩形内， $ABCD$ 使得 $BE = 9$ 、 $DF = 8$ 、 $\overline{BE} \parallel \overline{DF}$ 、 $\overline{EF} \parallel \overline{AB}$ ，且线段 $BE$ 相交 $\overline{AD}$ 。长度 $EF$ 可以表示为的形式 $m \sqrt{n} - p$ ，其中 $百万$ 、 $n$ 、和 $p$ 为正整数，且不 $n$ 能被任何素数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

问题 3

设为包含点的 $L$ 斜率直线，设为包含点的垂直于直线的直线。删除原坐标轴，将直线设为轴，直线设为轴。在新坐标系中，点在正轴上，点在正轴上。原坐标系中坐标为的点在新坐标系中坐标为。求。 $\frac{5}{12}$ $A = (24,-1)$ $M$ $L$ $B = (5,6)$ $L$ $x$ $M$ $y$ $A$ $x$ $B$ $y$ $P$ $(-14,27)$ $（\alpha，\beta）$ $\alpha + \beta$

问题4

在三角形中 $ABC$ ， $AB = 125$ ， $AC = 117$ 和 $BC 美元 = 120 美元$ 。角的角 $A$ 平分线交 $\overline{BC}$ 于点 $L$ ，角的角平分线 $B$ 交 $\overline{AC}$ 于点 $K$ 。设 $M$ 和分别为从到和的 $N$ 垂线的脚。求。 $加元$ $\overline{BK}$ $\overline{AL}$ $百万$

问题5

一个正九边形（9 边形）的顶点应标有数字 1 到 9，并且每三个连续顶点上的数字之和是 3 的倍数。如果可以通过在平面中旋转九边形获得一种可接受的排列，则认为两种可接受的排列无法区分。求出可区分的可接受排列的数量。

问题 6

假设抛物线有顶点 $\left(\frac{1}{4},-\frac{9}{8}\right)$ 和方程 $y = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a > 0$ 和 $a + b + c$ 为整数。的最小可能值 $a$ 可以写成形式 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p + q$ 。

问题 7

$百万$ 求出存在非负整数 $x_0$ , $x_1$ ,的正整数个数 $\dots$ ， $x_{2011}$ 满足 $m^{x_0} = \sum_{k = 1}^{2011} m^{x_k}.$

问题 8

在三角形中 $ABC$ ， $BC 元 = 23 美元$ ， $加元 = 27美元$ 和 $AB = 30$ 。点 $V$ 和 $W$ 在上，在 $\overline{AC}$ 上 $V$ ， $\overline{AW}$ 点 $X$ 和 $Y$ 在上 $\overline{BC}$ ， $X$ 在上 $\overline{CY}$ ，点 $Z$ 和 $U$ 在上， $\overline{AB}$ 在 $Z$ 上 $\overline{BU}$ 。此外，点的位置使得 $\overline{UV} \parallel \overline{BC}$ ， $\overline{WX} \parallel \overline{AB}$ 和。然后沿，和 $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}$ 进行直角折叠。将得到的图形放在水平地板上，做成一个带有三角形腿的桌子。设是由顶部与地板平行的三角形构成的桌子的最大可能高度。然后可以写成的形式，其中和是互质正整数，是不能被任何素数的平方整除的正整数。求。 $\overline{UV}$ $\overline{WX}$ $\overline{YZ}$ $h$ $ABC$ $h$ $\frac{k \sqrt{m}}{n}$ $k$ $n$ $百万$ $k + m + n$

$[asy] unitize(1 cm); 成对翻译; 对[] A，B，C，U，V，W，X，Y，Z; A[0] = (1.5,2.8); B[0] = (3.2,0); C[0] = (0,0); U[0] = (0.69*A[0] + 0.31*B[0]); V[0] = (0.69*A[0] + 0.31*C[0]); W[0] = (0.69*C[0] + 0.31*A[0]); X[0] = (0.69*C[0] + 0.31*B[0]); Y[0] = (0.69*B[0] + 0.31*C[0]); Z[0] = (0.69*B[0] + 0.31*A[0]); 翻译 = (7,0); A[1] = (1.3,1.1) + 平移; B[1] = (2.4,-0.7) + 平移; C[1] = (0.6,-0.7) + 平移; U[1] = U[0] + 平移; V[1] = V[0] + 平移; W[1] = W[0] + 平移; X[1] = X[0] + 平移; Y[1] = Y[0] + 平移; Z[1] = Z[0] + 平移; 绘制（A[0]--B[0]--C[0]--循环）；绘制（U[0]--V[0]，虚线）；绘制（W[0]--X[0]，虚线）；绘制（Y[0]--Z[0]，虚线）；绘制（U[1]--V[1]--W[1]--X[1]--Y[1]--Z[1]--循环）；绘制（U[1]--A[1]--V[1]，虚线）；绘制（W[1]--C[1]--X[1]）；绘制（Y[1]--B[1]--Z[1]）；点（“$A$”，A[0]，N）；点（“$B$”，B[0]，SE）；点（“$C$”，C[0]，SW）；点（“$U$”，U[0]，NE）；点（“$V$”，V[0]，NW）；点（“$W$”，W[0]，NW）；点（“$X$”，X[0]，S）；点（“$Y$”，Y[0]，S）；点（“$Z$”，Z[0]，NE）；点（A[1]）；点（B[1]）；点（C[1]）；点（“$U$”，U[1]，NE）；点("$V$",V[1],NW);点("$W$",W[1],NW);点("$X$",X[1],dir(-70));点("$Y$",Y[1],dir(250));点("$Z$",Z[1],NE);[/asy]$