2012年 AIME II 数学邀请赛真题

2012年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$（m，n）$ 求出方程的正整数解的有序对的数量 $2000 万美元 + 12n = 2012 美元$ 。

问题 2

两个等比数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 和 $b_1, b_2, b_3, \ldots$ 有相同的公比，即 $a_1 = 27$ ，， $b_1=99$ 和 $a_{15}=b_{11}$ 。求 $a_9$ 。

问题 3

某大学数学系下设数学系、统计学系和计算机科学系，每个系有两名男教授和两名女教授，一个由六名教授组成的委员会应包含三名男教授和三名女教授，并且还必须包含来自三个系的两名教授。求出在满足这些要求的情况下可以组建的委员会的数量。

问题4

Ana、Bob 和 Cao 分别以 $8.6$ 每秒米、 $6.2$ 每秒米和 $5$ 每秒米的恒定速度骑行。他们同时从一个矩形田野的东北角出发，田野的长边朝正西方向。Ana 开始沿着田野边缘骑行，最初向西行驶，Bob 开始沿着田野边缘骑行，最初向南行驶，而 Cao 则沿直线穿过田野骑行到 $D$ 田野南边的某个点。Cao 到达点的时间 $D$ 与 Ana 和 Bob 第一次到达的时间相同 $D$ 。田野的长度与宽度与从点 $D$ 到田野东南角的距离之比可以表示为 $p:q:r$ ，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是正整数 $p$ ，且 $q$ 互质。求 $p+q+r$ 。

问题5

在附图中，外层正方形的 $S$ 边长为。在内部构造 $40$ 一个 $S'$ 边长为的正方形，其中心与相同，边与的边平行。从边的每个中点向的两个最近顶点画线段。结果是一个内接于的四角星形图形。将星形图形剪下来，然后折叠成一个底面为的金字塔。求这个金字塔的体积。 $15$ $S$ $S$ $S$ $S$ $S'$ $S$ $S'$

$[asy] 对 S1 = (20, 20), S2 = (-20, 20), S3 = (-20, -20), S4 = (20, -20); 对 M1 = (S1+S2)/2, M2 = (S2+S3)/2, M3=(S3+S4)/2, M4=(S4+S1)/2; 对 Sp1 = (7.5, 7.5), Sp2=(-7.5, 7.5), Sp3 = (-7.5, -7.5), Sp4 = (7.5, -7.5); 绘制(S1--S2--S3--S4--循环); 绘制(Sp1--Sp2--Sp3--Sp4--循环); 绘制(Sp1--M1--Sp2--M2--Sp3--M3--Sp4--M4--循环); [/asy]$

问题 6

设 $z=a+bi$ 为复数 $\vert z \vert = 5$ ，且使得和 $b>0$ 之间的距离最大化，且令。求。 $(1+2i)z^3$ $z^5$ $z^4 = c+di$ $c+d$

问题 7

设 $S$ 为正整数的递增序列，其二进制表示恰好为 $8$ 1。设 $N$ 为中的第 1000 个数字 $S$ 。求 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 8

复数 $z$ 和 $w$ 满足系统 $z + \frac{20i}w = 5+i$ $w+\frac{12i}z = -4+10i$ 求的最小可能值 $\vert zw\vert^2$ 。

问题 9

设 $x$ 和 $y$ 为实数，且 $\frac{\sin x}{\sin y} = 3$ 和 $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac12$ 。的值 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可以表示为形式 $\frac pq$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 10

$n$ 找出小于的正整数的数量 $1000$ ，使得存在一个正实数， $x$ 使得 $n=x\lfloor x \rfloor$ 。

注意： $\lfloor x \rfloor$ 是小于或等于的最大整数 $x$ 。

问题11

设 $f_1(x) = \frac23 - \frac3{3x+1}$ ，且对于 $n \ge 2$ ，定义。满足 $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x))$ 的值可以表示为的形式，其中和是互质正整数。求。 $x$ $f_{1001}(x) = x-3$ $\frac mn$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 12

对于正整数，如果的绝对值与的所有倍数相差大于，则 $p$ 定义该正整数 $n$ 为 $p$ -安全。例如，-安全数字集为。找出小于或等于的正整数的数量，这些正整数同时为-安全、-安全和-安全。 $n$ $2$ $p$ $10$ $\{ 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 23, \ldots\}$ $10,000$ $7$ $11$ $13$