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AIME数学竞赛考试内容是什么？有哪些实用的备赛策略？

美国数学邀请思维挑战活动（AIME）是美国数学竞赛体系中难度高于AMC10和AMC12的赛事。AIME成绩在升学申请中是衡量数学能力的重要指标，优秀的成绩能够大大提升学术背景，并为晋级USA/JMO铺平道路。本文将介绍AIME的考试安排、考试内容及备考策略，帮助学生提前做好准备，应对挑战。

一、AIME考试安排

报名截止时间

AIME I：2025年1月28日

AIME II：2025年2月4日（具体时间请关注官网）

考试时间

AIME I：2025年2月6日（美东时间）

AIME II：2025年2月12日（美东时间）

基本信息

考试形式：个人赛，线上机考或线下考试

考试语言：中英双语

考试时长：3小时

试卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：每答对1题得1分，答错不扣分

参与方式：AMC10/12成绩达到晋级线后即可获组委会邀请参与

二、AIME考试内容

考察范围

AIME考察算术、代数、计数、几何、数论和概率，与AMC10和AMC12相同，但允许使用微积分方法解题。

题目类型

代数与几何：需要高超的数论或数字分析能力，涉及复杂计算。

数论与组合数学：精细计算组合数，应用数论分析技巧。

考试卷选择

晋级AIME的学生可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷，但不能同时参加。两者难度相同但问题不同。

三、AIME备考策略

题目难度与时间分配

第1-6题：难度与AMC10/12相当，建议120分以上的同学不花太多时间，控制在30-40分钟。

第7-10题：过渡题，需对排列组合、二项式定理、韦达定理等知识点有高熟练度，建议花费30-40分钟。

第11-15题：难度较大，建议从擅长的题目开始，确保基础题答对，最终拿奖是关键。

做题策略

避免穷举：不要大量分类，做一道就检查一道。

使用A4草稿纸：对折后清楚写下计算步骤，方便检查。

二次检查：用代入法、特殊值法等进行二次检查，确保准确。

知识点掌握

高频考点：排列组合与数论、不定方程、韦达定理等。

计算能力：提高手动计算的准确性和速度。

AIME不仅考察学生的数学知识，还要求他们具备出色的思维能力和计算能力。通过合理的备考策略，学生可以在AIME中脱颖而出，为未来的学术发展和升学申请打下坚实基础。AIME是一场考验智慧与毅力的竞赛，是数学爱好者展示才华的理想平台。

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为什么要参加AIME数学竞赛？2025年AIME竞赛安排是什么？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的一项重要赛事，专为那些在AMC10或AMC12中表现优异的学生而设。AIME不仅是展示数学能力的平台，更是申请顶尖大学和参与高水平数学活动的重要参考。本文将探讨参加AIME的必要性及其带来的多方面好处，帮助学生和家长做出明智的决定。

一、2025年AIME竞赛安排

考试时间

AIME I：2025年2月6日（美国时间）

AIME II：2025年2月12日（美国时间）

考试规则

考试时长：3小时

考试语言：中英双语

考试形式：线上考试

试卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：满分15分，答对1题得1分，答错、未答不得分

*注意：晋级AIME的同学可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷考试，但不能同时参加。两者难度相同但题目不同。

二、为什么要参加AIME数学竞赛？

展示持续的努力和热情

AIME不仅考察学生的数学能力，还展示了学生对数学竞赛的持续投入和热情。招生官看重的并非仅仅是晋级，而是学生在晋级后如何继续挑战和提升自我。参与AIME表明学生愿意面对挑战，具有坚持不懈的精神。

提升数学能力

AIME的题目难度较高，参与能够提升学生的数学思维和解题能力。这种能力的提升对于应对英国的MAT或STEP考试、申请顶尖大学及数学夏令营等都是非常重要的。达到AIME难度下的7题正确水平，意味着在这些考试中具有一定的竞争力。

增强申请竞争力

在申请顶尖大学时，AIME成绩是一个重要的加分项。特别是当学生能够在AIME中取得7分以上时，这一成绩将显著提升其申请竞争力。此外，参加ROSS、SUMaC等数学夏令营也需要AIME成绩达到9分左右。

晋级USA(J)MO的必要性

AIME是晋级USA(J)MO（美国数学奥林匹克）必经的考试之一。晋级标准综合考虑AIME和AMC10/12成绩。对于有志于进入USA(J)MO的学生来说，AIME成绩至关重要。一般需要在AIME中答对8-9道题才能晋级。

三、AIME考试的价值分析

过程重于结果

正如Eliane老师所说，招生官更看重学生在获得结果前的努力和过程。即使AIME成绩不如预期，参与本身就是对学生能力和毅力的证明。它展示了学生愿意接受挑战和持续学习的态度。

能力提升的标杆

AIME考试不仅是对当前数学水平的检测，更是提升能力的标杆。对有志于挑战更高难度数学问题的学生来说，AIME提供了一个明确的目标和方向。

申请顶尖院校的敲门砖

像斯坦福、MIT、加州理工等世界顶级理工科院校，把AMC和AIME成绩视为重要的录取标准。AIME成绩高的学生在这些院校的申请中更具优势。

数学夏令营的入场券

许多顶尖数学夏令营将AIME成绩作为入营的重要标准。对于希望在夏令营中进一步提升数学能力的学生来说，AIME是不可或缺的一步。

参加AIME不仅仅是为了获取一个成绩，更是展示学生数学能力和学习态度的重要机会。通过AIME，学生能够提升数学技能，展示持续努力的精神，并为未来的学术和职业发展打下坚实基础。对于那些有志于在数学领域深造或申请顶尖大学的学生而言，AIME无疑是一次不可错失的挑战与成长机会。

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AIME竞赛考试形式是什么？AMC10/12如何晋级到AIME竞赛？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学协会（MAA）主办的一项重要数学竞赛，也是中国学生参与AMC系列数学竞赛的终极挑战赛。AIME是美国数学竞赛体系中的关键环节，满分为15分，旨在选拔优秀学生为美国国际数学奥林匹克（IMO）团队做准备。

一、AIME竞赛安排

竞赛时间

AIME I：2025年2月6日，1:30 PM - 5:30 PM（美国东部时间）

AIME II：2025年2月12日，1:30 PM - 5:30 PM（美国东部时间）

竞赛详情

考试形式：个人赛，15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）

考试语言：中英文双语

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分

注意事项：不允许使用计算器

报名流程

AIME不需要考生主动报名。成功晋级AMC10、AMC12的学生将收到官方的电子邮件邀请，只需在指定时间内确认参赛即可。

二、AMC10/12如何晋级到AIME竞赛？

如何从AMC10晋级AIME？

从AMC10晋级到AIME的学生需要补充更多的知识点，因为AMC12与AIME的重叠度更高。以下是需要特别关注的内容：

代数：复数、单位元、三角函数、三角函数恒等式、对数

几何：余弦定理（Law of Cosines）

排列组合：递归（Recursion）、马尔可夫链（Markov Chain）

数论：基础扎实的学生无需额外学习

如何从AMC12晋级AIME？

从AMC12晋级到AIME的学生需要掌握一些额外的几何、数论和组合知识点，这些通常较为复杂：

代数：与AMC12内容大致相同

几何：Bashing方法（如复平面、中心坐标系等解法）、根轴（Radical Axis）

排列组合：侧重于几何图形上的计数

数论：LTE（Lifting The Exponent）定理、不定方程的解法

三、参加AIME竞赛的理由

含金量高

AIME成绩在全球范围内具有通用性，是申请顶尖美本院校的重要指标。高分AIME成绩在申请名校时具有很强的竞争力。通常，申请美国Top30院校的学生需要AIME成绩达到7分以上，而Top20院校通常需要8分以上。

能力提升

AIME的题目设计旨在挑战学生的数学思维能力，帮助他们提高解决复杂数学问题的能力。参加高难度的竞赛是对个人意志和能力的考验，通过准备和参加AIME，学生可以学会更好地管理时间和压力。

激发兴趣

对于对数学有浓厚兴趣的学生来说，AIME提供了一个展示才华和进一步探索数学奥秘的平台。通过AIME，学生不仅能够提升数学能力，还能为未来的学术和职业发展奠定坚实基础。

AIME不仅是对学生数学能力的检验，也是培养他们逻辑思维和问题解决能力的重要平台。通过系统的备考与练习，学生能够在这一过程中提高自己的数学素养，为未来的学习和发展奠定坚实基础。希望每位参赛者都能在比赛中发挥出色，取得优异成绩。

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2025赛季AIME数学竞赛什么时候比赛？AIME竞赛含金量如何？

美国数学邀请赛（AIME）是美国数学协会（MAA）举办的系列竞赛之一，是连接AMC10/12和美国数学奥林匹克（USAMO）/美国少年数学奥林匹克（USAJMO）的桥梁。AIME竞赛不仅是对AMC10/12中表现优异学生的认可，也为他们提供了通往更高层次数学挑战的机会。

一、AIME竞赛时间

AIME I 比赛时间（北京时间）：2025年2月7日 13:00-16:00

AIME II 比赛时间（北京时间）：2025年2月13日 13:00-16:00

二、AIME竞赛赛制

语言：中英双语

时长：3小时

题型：15道填空题，答案为000至999的整数

总分：15分，答对一题得1分，答错或未答不得分

AIME竞赛报名方式

AIME是邀请赛，考生无需主动报名。在AMC10/12中成绩优异的学生将收到官方邀请邮件或短信，只需在指定时间内确认参赛即可。

三、AIME竞赛含金量

名校申请助力

许多顶尖大学如斯坦福大学、麻省理工学院（MIT）、耶鲁大学和哥伦比亚大学等，在申请表中都设有AMC/AIME成绩栏目，对AIME成绩给予高度认可。

奖学金和机会

优秀的AIME成绩不仅在学术上获得认可，还可能成为争取奖学金的重要工具。许多美国大学将数学竞赛成绩作为奖学金评定的重要标准。

学术能力提升

AIME竞赛的备考和参赛过程可以极大地拓宽学生的数学知识面，加深对数学概念和原理的理解，提高数学思维的严谨性、灵活性和创造性。

个人成长与自信培养

AIME竞赛不仅考验学术能力，也考验学生的毅力、决心和自信心。通过竞赛，学生收获的不仅是荣誉，还有对自身能力的肯定和增强的自信，这种自信会伴随他们一生。

全球认可

AIME成绩在全球数学界得到认可，是评估学生数学能力和创造性思维的重要指标，尤其在申请顶尖美本院校时。

四、AIME与其他竞赛的区别

题型难度：AIME为填空题，要求解题并填上答案；AMC为选择题，有多种解题方法。

几何复杂性：AIME的几何题复杂程度相当于中国高考的压轴题。

计算复杂性：AIME要求更高的计算量和复杂性。

知识点串联：AIME的题目常串联多个知识点，尤其是后几题。

做题速度：AIME对速度要求更高，需要熟练掌握知识点并快速应用。

五、AIME竞赛备考建议

初次晋级AIME的备考策略

几何部分：学习更高观点的几何定理和基本几何计算。

代数部分：复数、对数、三角函数。

数论部分：补充AMC10/12中不涉及的数论四大定理。

组合部分：训练组合结构的分析能力。

有过AIME经验的备考策略

代数部分：复数、对数、多项式、三角函数、数列、不等式。

几何部分：二级结论的计算。

数论部分：强化数论四大定理，针对难度适中的计算。

组合部分：通过习题训练分析能力。

备考要点

巩固核心知识点：系统复习和巩固AIME涉及的广泛且深度的知识点。

培养解题技巧：通过解析题目和分析解题思路来提高速度和准确性。

把握做题节奏：合理分配考试时间，优先攻克前10道题，确保正确率。

多做模拟题和真题：通过模拟考试熟悉流程，检验备考效果，练习时间管理。

通过以上策略和充分准备，学生能够在AIME竞赛中展现出色的数学才能，为未来的学术发展和名校申请奠定坚实基础。AIME不仅是数学能力的证明，更是对学生综合素质的全面检验。

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如何晋级到AIME数学竞赛？AIME考察内容和备考策略是什么？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的重要赛事之一，由美国数学协会（MAA）主办。AIME与AMC10/12密切相关，学生在AMC10/12中达到一定分数线（AIME cut off）即可受邀参加AIME。AIME的成绩在美国顶尖大学的申请中具有重要的参考价值。

一、AIME的晋级路径

1. AMC10/12晋级AIME

在AMC10和AMC12中表现优异的学生有机会受邀参加AIME。具体晋级标准为：

AMC12：成绩位于所有参赛者的前5%

AMC10：成绩位于所有参赛者的前2.5%

晋级AIME意味着学生具备进入全球顶尖3%名校的潜力。如果在AIME中表现出色，达到USAJMO（美国青少年数学奥林匹克）或USAMO（美国数学奥林匹克）的水平，则有机会申请藤校、斯坦福、MIT等世界顶尖大学。

2. USAMTS晋级AIME

USAMTS（USA Mathematical Talent Search）是另一条晋级AIME的途径。尽管USAMTS要求参赛者具有美国身份，但实际上，无论是美高学生还是中国学生都可以参与。许多学生通过USAMTS获得晋级AIME的资格。

二、AIME赛事基本信息

考试时间：2025年2月（具体日期待定）

考试时长：3小时

考试语言：中英双语

考试形式：线上考试

试卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：满分15分，答对1题得1分，答错或未答不得分

晋级AIME的学生可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷，这两者难度相同，但题目不同，不能同时参加。

三、AIME考察内容和备考策略

1、官方考察范围及难度

AIME的试题主要涵盖中学数学的综合知识，重点在于代数、几何、数论和组合数学。根据最近两年的AIME I卷分析，题目可以分为两类：

代数与几何为主线：需要复杂计算，可能需要数论或数字分析技巧。

纯粹的数论和组合试题：涉及组合数的计算、公式应用和数论分析技巧。

AIME相比AMC有更高的难度。前五道题的知识面可被AMC10/12覆盖，但后续题目要求较高的综合应用能力和计算能力。AIME强调“最优化计算路径”的寻找，要求学生在解题时评估不同解决方案，选择最有效的计算方式。

2、备考规划及策略

目标确立

在备考之前，学生应明确自己的目标：

冲击USAJMO的AMC10学生：晋级分数线一般在210分左右，若AMC10得120分，则需在AIME中做对9道题。

冲击USAMO的AMC12学生：晋级分数线一般在220分左右，若AMC12得120分，则需在AIME中做对10道题。

冲击数学夏校（如Ross、SUMaC、PROMYS）：AIME需至少得8分以上。

备考策略

系统学习：加强对代数、几何、数论和组合数学的系统学习，特别是AIME特有的知识点。

真题练习：通过练习历年AIME真题，熟悉题型和难度，找出自己的薄弱环节进行针对性训练。

模拟考试：在模拟考试中培养时间管理能力和答题策略，确保在正式考试中发挥出最佳水平。

优化计算路径：练习寻找最优计算路径，减少计算错误和时间浪费，提升解题效率。

AIME不仅是对学生数学能力的挑战，也是提升他们逻辑思维和问题解决能力的重要平台。通过系统的备考与练习，学生能够在这一过程中提高数学素养，为未来的学习和发展奠定坚实基础。希望每位参赛者都能在比赛中取得优异成绩，为申请顶尖大学打下良好基础。

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2025年AIME数学竞赛比赛安排？AIME竞赛不同分数代表什么？

美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination，简称AIME）是介于AMC10、AMC12和美国数学奥林匹克竞赛（USAMO）之间的一项重要数学竞赛。AIME是一项基于邀请制度的挑战赛，只有在AMC10/12中表现杰出的学生会自动收到AIME竞赛的邀请邮件或短信，确认参加即可，无需额外报名。

一、AIME竞赛分数与含金量

AIME的分数直接反映了学生的数学能力和潜力，对名校申请具有重要意义：

6-7分：标志着中等水平的数学能力，是申请非数学领域顶尖学府的不错闪光点。

8-10分：体现较强的数学实力，足以申请对数学能力有较高要求的学校。

11-12分：非常优秀的成绩，能直接进入USAMO选拔流程，是申请顶尖名校数学系或其他理工科专业的重要亮点。

13-15分：几乎能稳获USAMO资格，在名校申请中具有极强竞争力。

二、2025年AIME比赛安排

考试时间：

AIME I：2025年2月6日（美国时间）

AIME II：2025年2月12日（美国时间）

考试时长：3小时

考试语言：中英双语

考试形式：线上机考或线下考试

卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：满分15分，答对1题得1分，答错或未答不得分

*晋级AIME的同学可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷考试，这两个卷子为相同难度不同问题组成，但不能同时参加。

三、AIME备考策略

1. 贴线晋级策略

如果你的AMC10/12成绩刚刚超过晋级线，备考AIME时应重点确保前10题不失分。争取在这10题中至少获得9分以上，这样的成绩对于申请TOP前30的学校将是一个有力的加分项。

2. AMC10高分晋级策略

对于在AMC10中取得较高分数的同学，需要进一步拓宽知识面。针对AIME的部分题目，进行提前的适应和深入学习至关重要。补充相应的题库进行练习是一个明智的选择。

3. AMC12高分晋级策略

对于在AMC12中取得高分且对自己数学水平充满信心的同学，需要在确保前10题正确率的同时，对最后5道难题进行专项学习。

AIME不仅是对学生数学能力的考验，也是对其逻辑思维和问题解决能力的全面挑战。通过系统的备考和策略性学习，学生能够在AIME中展示出色的数学才能，为名校申请和未来学术发展奠定坚实基础。无论是巩固基础知识还是挑战高难度题目，AIME都是提升数学能力的绝佳机会。

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2025年AIME数学竞赛详细安排是？竞赛难点在哪？备赛策略有哪些？

美国数学邀请赛（AIME）由美国数学协会（MAA）举办，是一项邀请制的数学竞赛，专为在AMC10/12考试中表现优异的学生设计。AIME的含金量和难度均高于AMC10/12，是申请名校和顶尖数学夏令营的有力筹码。申请美国Top30院校通常需要AIME成绩达到7分以上，Top20院校至少需要8分，而9分以上的成绩对于申请顶尖数学夏令营如SUMaC、Ross、PROMYS尤其有帮助。

一、2025年AIME竞赛安排

1、竞赛安排

AIME I 比赛时间（北京时间）：2025年2月7日 13:00-16:00

AIME II 比赛时间（北京时间）：2025年2月13日 13:00-16:00

2、参赛资格

AMC12：考试成绩在100分及以上或排名为所有参赛者的前5%

AMC10：考试成绩在120分及以上或排名为所有参赛者的前1%

年龄限制：参赛时年龄需在19.5岁以下

3、考试形式与规则

考试时长：3小时

考试语言：中英文双语

考试形式：个人赛，线上机考或线下考试

卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：每答对一题得1分，答错或未答不得分，满分15分

注意：晋级AIME的同学可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷，但不能同时参加。

4、报名提示

考生只能选择参加一场考试，若同时参加两场，将被取消资格。

建议：

在美国的学生：建议参加AIME II，因为分数线可能低2分，便于晋级USA(J)MO。

在国内的学生：建议参加AIME I，因为难度相对低一些，分数价值更大。

二、AIME竞赛备考策略

1. 分阶段备考

基础阶段：专注于数论、代数、几何和组合等核心数学领域的基础知识，确保数学基础牢固。

提高阶段：针对AIME的特点，进行专项训练，包括解决复杂问题的技巧和快速计算方法。

冲刺阶段：通过模拟考试和历年真题练习，熟悉考试流程，提升解题速度和准确率。

2. 合理分配时间

在三小时的考试时间内，建议先解答相对简单的前10题，再挑战后5题的难题。如有剩余时间，回顾已解答题目，检查遗漏或错误。

3. 掌握解题技巧

快速审题：迅速理解题目要求，判断题目难度，选择最佳解题策略。

灵活运用知识：面对多知识点融合的题目，灵活运用所学知识进行解答。

注重细节与计算：在复杂的计算和推理中保持精确，避免失误，并掌握快速计算技巧，如估算和近似计算。

4. 多做模拟题和真题

模拟考试：通过模拟考试熟悉考试流程，检验备考效果，同时练习时间管理。

真题练习：通过历年真题了解出题规律和难度，提高解题技巧和速度，深入分析每题的解题思路。

三、AIME竞赛难点分析

综合性：AIME竞赛难度大，因为通常结合多个考点，需要不同技巧搭配使用。例如，一道三角函数题可能涉及复数和几何的性质。

灵活性：题目有多个切入点，合适的只有少数。有时虽无新增知识点，但注重考点的变形和技巧搭配，需灵活思考。

数论题目难度高：前五道与AMC10/12相似，后十道对数学综合应用和计算能力要求极高，涉及考点多，计算量大。

AIME竞赛不仅是对学生数学能力的挑战，也是对其思维能力、应试策略和心理素质的综合考验。通过充分准备和练习，学生能够在AIME竞赛中展现数学才能，为未来的学术发展奠定坚实基础。无论是申请名校还是参与顶尖数学夏令营，AIME成绩都是学生学术能力的重要证明。

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2025年AIME数学竞赛的竞赛安排是？必考知识点有哪些？

美国数学邀请赛（AIME），全称为American Invitational Mathematics Examination，是美国数学竞赛体系中关键的高级别赛事之一。AIME是决定能否晋级USAJMO（美国初中数学奥林匹克）和USAMO（美国数学奥林匹克）的重要因素。目前，AIME是国内学生可以参加的美国数学竞赛的最高级别。

一、AIME竞赛的竞赛安排

AIME采用邀请制，能否被邀请参加AIME的关键在于AMC10或AMC12的成绩。获得AIME邀请不仅标志着学生的数学才能得到了认可，也意味着他们获得了顶尖名校的关注。

1.时间安排

考试时间：2025年2月

AIME I卷：2月6日

AIME II卷：2月12日

AIME设有两个版本：AIME 1和AIME 2。中国地区的学生默认参加AIME 1，其他地区的学生可以选择其中任意一场参赛。

2.考试详情

题型设置：考试包括15道填空题，答案需在000至999的数字范围内给出，提供中英双语。

计分方式：满分为15分，每答对一题得1分，答错或不答均不得分。

3.报名流程

作为邀请赛，AIME无需考生主动报名。受邀学生将收到官方的电子邮件通知，只需在指定时间内确认参赛即可。

二、AIME竞赛必考知识点

AIME竞赛的知识点范围更广，深度更高。主要考察以下几个领域：

三角函数：包括三角函数与代数式拆项、牛顿恒等式、三角形及二次函数的等价化简等。

数列部分：涉及一阶差分数列的构造、数列与同余、递推数列与概率递归、构造型数列及数列与不等式等。

几何领域：涉及复杂的几何模型、单圆/双圆、几何与代数运算的结合以及几何中的最值问题求解等。

相比AMC10/12，AIME的考点范围虽小，但深度要求更高。AIME前五题的难度就相当于AMC12的压轴题，后续题目的难度更高。

三、AIME考试奖项设置

AIME的奖项根据学生的得分排名来确定，包括：

金奖：授予成绩排名前5%的参赛者。

银奖：授予成绩排名前10%的参赛者。

铜奖：授予成绩排名前15%的参赛者。

四、AIME竞赛的含金量

1. 选拔性质

AIME是邀请制的数学竞赛，只有在AMC10和AMC12中表现优异的学生才会被邀请。这种选拔机制表明参与者已经是在数学领域表现突出的学生。

2. 难度水平

AIME的难度高于AMC10和AMC12，要求学生具备创新思维和解决非传统问题的能力，对学生的综合能力提出了更高的挑战。

3. 名校申请

许多顶尖大学，如斯坦福大学、麻省理工学院（MIT）、卡内基梅隆大学等，在申请表格中都专门设有填写AMC/AIME成绩的栏目。这些学校对AIME成绩给予了高度的认可和重视。

综上所述，AIME数学竞赛不仅是展示数学能力的舞台，也是通往顶尖名校的重要途径。通过AIME，学生可以提升自己的数学水平，并为未来的学术和职业发展铺平道路。希望每位参赛者都能在比赛中发挥出色，取得优异成绩。

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2005年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2005年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

游戏使用一副 $n$ 不同的牌，其中 $n$ 是整数，并且 $n \geq 6.$ 从牌组中可以抽出的 6 张牌的可能组合数是可以抽出的 3 张牌的可能组合数的 6 倍。求 $n.$

问题 2

一家酒店为三位客人准备了早餐。每份早餐应该包括三种面包卷，坚果卷、奶酪卷和水果卷各一份。准备者将九个面包卷一一包好，一旦包好，这些面包卷就无法区分了。然后，她随机将三个面包卷放在一个袋子里，送给每位客人。假设每位客人得到每种面包卷的概率为 $\frac mn,$ 其中 $百万$ 和 $n$ 是互质整数，求 $m+n.$

问题 3

一个无穷几何级数的和为 2005。对原级数的每个项取平方后得到一个新级数，其和为原级数的 10 倍。原级数的公比为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质整数。求 $m+n.$

问题4

找出至少能被其中一个整除的正整数的数量 $10^{10},15^7,18^{11}.$

问题5

确定有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得 $\log_a b + 6\log_b a=5, 2 \leq a \leq 2005,$ 和 $2 \leq b \leq 2005.$

问题 6

一叠卡片中的卡片从上到下按 $2n$ 从 1 到 1 的顺序连续编号。移除最上面的卡片，按顺序排列，形成一堆。剩下的卡片形成一堆。然后交替从堆和的顶部取卡片重新堆叠。在此过程中，卡片编号成为新一叠的底部卡片，卡片编号 1 位于此卡片之上，依此类推，直到堆和都用完。如果在重新堆叠过程之后，每一堆中至少有一张卡片占据了与原始堆中相同的位置，则该堆被称为神奇堆。求出神奇堆中卡片编号 131 保留其原始位置的卡片数量。 $2n$ $n$ $A.$ $B.$ $B$ $A,$ $(n+1)$ $A$ $B$

问题 7

让 $x=\frac{4}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt[8]{5}+1)(\sqrt[16]{5}+1)}.$ 找到 $(x+1)^{48}.$

问题 8

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 是外切圆，并且它们都是圆的内切圆和的 $C_3.$ 半径分别为4和10，三个圆的圆心共线。的弦也是和的公共外切线。已知弦长为其中和为正整数，和为互质数，且不能被任何质数的平方整除，求 $C_1$ $C_2$ $C_3$ $C_1$ $C_2.$ $\frac{m\sqrt{n}}p$ $m,n,$ $p$ $百万$ $p$ $n$ $m+n+p.$

问题 9

对于所有实数来说，有多少 $n$ 个小于或等于 1000 的正整数为真？ $(\sin t + i \cos t)^n = \sin nt + i \cos nt$ $t$

问题 10

已知 $O$ 是正八面体，即 $加元$ 以面心为顶点的立方体 $O,$ ，且的体积 $O$ 与的体积之比为其中 $加元$ 和为互质整数，求 $\frac mn,$ $百万$ $n$ $m+n.$

问题11

设 $百万$ 是一个正整数，设是一个实 $a_0, a_1,\ldots,a_m$ 数序列， $a_0 = 37, a_1 = 72, a_m = 0,$ 且 $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac 3{a_k}$ 对于 $k = 1,2,\ldots, m-1.$ $百万$

问题 12

平方 $ABCD$ 有中心 $O, AB=900, E$ ，并且 $F$ 在上，且在和和 $AB$ 之间。假设和为正整数，且不能被任何素数的平方整除，求 $AE<BF$ $E$ $A$ $F, m\angle EOF =45^\circ,$ $EF=400.$ $BF=p+q\sqrt{r},$ $p,q,$ $r$ $r$ $p+q+r.$

问题 13

设 $P(x)$ 是满足且的整数系数多项式 $P(17)=10$ ， $P(24)=17.$ 则 $P(n)=n+3$ 有两个不同的整数解 $n_1$ ， $n_2,$ 求乘积 $n_1\cdot n_2.$

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2005年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2005年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

$加元$ 六个全等圆组成一个环，每个圆都与两个相邻的圆外切。所有圆都与半径为 30 的圆内切。设是环内六个圆外的 $K$ 区域的面积。求 $加元$ $\lfloor K \rfloor.$

问题 2

对于每个正整数， $k,$ 让 $S_k$ 表示整数的递增算术序列，其首项为 1，其公差为 $k.$ 例如， $S_3$ 序列是多少 $1,4,7,10,\ldots.$ 个值包含项 2005？ $k$ $S_k$

问题 3

有多少个正整数恰好有三个真因数（不包括其本身的正整数因数），并且每个真因数都小于 50？

问题4

一支游行乐队的指挥希望将乐队成员排成一个包括所有成员的队形，并且没有空缺。如果将他们排成方阵，则剩余 5 名成员。指挥意识到，如果他将乐队排成行数比列数多 7 的队形，则没有剩余成员。求出这支乐队最多可以容纳多少成员。

问题5

罗伯特有 4 枚无法区分的金币和 4 枚无法区分的银币。每枚硬币的一面都雕刻有一面的图案，而另一面则没有。他想将桌上的 8 枚硬币堆成一摞，使相邻的两枚硬币不会面对面。求出 8 枚硬币可能出现的可区分排列方式的数量。

问题 6

设 $P$ 是非实根的乘积，则 $x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$ 发现 $\lfloor P\rfloor.$

问题 7

在四边形 $ABCD, BC=8, CD=12, AD=10,$ 和中，假设 $m\angle A= m\angle B = 60^\circ.$ 和为正整数，求 $AB = p + \sqrt{q},$ $p$ $q$ $p+q.$

问题 8

该方程 $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ 有三个实根。已知它们的和为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数，求 $m+n.$

问题 9

将 27 个单位立方体的四个面涂成橙色，使两个未涂漆的面共用一个边。然后将 27 个立方体随机排列成一个 $3\乘以 3 \乘以 3$ 立方体。假设大立方体的整个表面都是橙色的概率为 $\frac{p^a}{q^br^c},$ 其中 $p,q,$ 和 $r$ 是不同的素数，和 $a,b,$ 是 $c$ 正整数，求 $a+b+c+p+q+r.$

问题 10

三角形 $ABC$ 位于笛卡尔平面，面积为 70。的坐标 $B$ 和 $加元$ 分别为 $(12,19)$ 和 $(23,20),$ ，的坐标为 $A$ 包含 $(p,q).$ 中线到边的直线的 $BC$$ 斜率 $-5.$ 为 $p+q.$

问题11

一个直径为的半圆包含在一个边长为 8 的正方形中。已知 $d$ 的最大值，求 $d$ $m-\sqrt{n},$ $m+n.$

问题 12

对于正整数， $n,$ 设表示包括1和的 $\tau(n)$ 正整数因数的个数。例如，和定义为设表示奇数正整数的个数，设表示偶数正整数的个数。查找 $n,$ $n.$ $\tau(1)=1$ $\tau(6) =4.$ $S(n)$ $S(n)=\tau(1)+ \tau(2) + \cdots + \tau(n).$ $a$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $b$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $|ab|.$