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2016年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

最初，亚历克斯、贝蒂和查理共有 $444$ 花生。查理的花生最多，亚历克斯的花生最少。每个人拥有的三个花生数量形成一个等比级数。亚历克斯吃掉 $5$ 他的花生，贝蒂吃掉 $9$ 她的花生，查理吃掉 $25$ 他的花生。现在每个人拥有的三个花生数量形成了一个等差级数。求出亚历克斯最初拥有的花生数量。

问题 2

$40\%$ 周六有下雨的概率， $30\%$ 周日也有下雨的概率。但是，如果周六下雨，周日下雨的概率是周六不下雨的两倍。本周末至少有一天下雨的概率是 $\frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。求 $a+b$ 。

问题 3

设 $x,y,$ 和 $z$ 为满足系统实数 $\begin{align*} \log_2(xyz-3+\log_5 x)&=5,\\ \log_3(xyz-3+\log_5 y)&=4,\\ \log_4(xyz-3+\log_5 z)&=4。\end{align*}$ 求出的值 $|\log_5 x|+|\log_5 y|+|\log_5 z|$ 。

问题4

一个 $a \乘以 b \乘以 c$ 矩形盒子由单位立方体构成 $a \cdot b \cdot c$ 。每个单位立方体的颜色为红色、绿色或黄色。与盒子表面平行 $a$ 的每层大小恰好包含红色立方体、绿色立方体和一些黄色立方体。与盒子表面平行的每层大小恰好包含绿色立方体、黄色立方体和一些红色立方体。求出盒子的最小可能体积。 $1 \乘以 b \乘以 c$ $(b\乘以c)$ $9$ $12$ $b$ $a \times 1 \times c$ $(a \times c)$ $20$ $25$

问题5

三角形 $ABC_0$ 在处有一个直角 $C_0$ 。其边长是两两互质的正整数，其周长为 $p$ 。设 $C_1$ 为的高脚到 $\overline{AB}$ ，对于 $n \geq 2$ ，设为中 $C_n$ 的高脚到。和。求。 $\overline{C_{n-2}B}$ $\三角形 C_{n-2}C_{n-1}B$ $\sum_{n=2}^\infty C_{n-2}C_{n-1} = 6p$ $p$

问题 6

对于多项式 $P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^{2}$ ，定义 $Q(x)=P(x)P(x^{3})P(x^{5})P(x^{7})P(x^{9})=\sum_{i=0}^{50} a_ix^{i}$ 。然后 $\sum_{i=0}^{50} |a_i|=\dfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 7

正方形 $ABCD$ 和 $EFGH$ 有共同的中心和 $\overline{AB} || \overline{EF}$ 。的面积 $ABCD$ 是2016，的面积 $EFGH$ 是较小的正整数。正方形 $IJKL$ 的构造使得它的每个顶点都位于的边上 $ABCD$ ，而的每个顶点都 $EFGH$ 位于的边上 $IJKL$ 。求出面积的最大值和最小值之间的差值 $IJKL$ 。

问题 8

$\{a,b,c\}$ 求出具有以下性质的三个不同正整数集的数量： $a,b,$ 和的乘积 $c$ 等于 $11,21,31,41,51,$ 和的乘积 $61$ 。

问题 9

正整数序列 $1，a_2，a_3，...$ 和 $1,b_2,b_3,...$ 分别是递增的等差序列和递增的等比序列。设 $c_n=a_n+b_n$ 。存在一个整数 $k$ 使得 $c_{k-1}=100$ 和 $c_{k+1}=1000$ 。求 $c_k$ 。

问题 10

三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$ 。点 $P$ 和 $Q$ 位于边 $\overline{AB}$ 。 $AP<AQ$ 射线 $CP$$ 和分别在和处再次 $CQ$ 相交（除外）。若和，则，其中和为互质正整数。求。 $\omega$ $S$ $T$ $加元$ $AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,$ $AS=7$ $ST=\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题11

对于正整数 $N$ 和 $k$ ，如果存在一个正整数，并且恰好有正因数，则定义 $N$ 为-nice 。找出小于的正整数的数量，既不是-nice的也不是-nice的。 $k$ $a$ $a^{k}$ $N$ $1000$ $7$ $8$

问题 12

下图显示了一个由六个小部分组成的环，您要将其涂在墙上。您有四种油漆颜色可供选择，您将为六个部分涂上纯色。如果相邻的两个部分不能涂上相同的颜色，请找出您可以选择的涂漆方式的数量。

$[asy] 绘制（圆（（0,0），4））；绘制（圆（（0,0），3））；绘制（（0,4）--（0,3））；绘制（（0，-4）--（0，-3））；绘制（（-2.598，1.5）--（-3.4641，2））；绘制（（-2.598，-1.5）--（-3.4641，-2））；绘制（（2.598，-1.5）--（3.4641，-2））；绘制（（2.598，1.5）--（3.4641，2））；[/asy]$

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2016年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

对于 $-1<r<1$ ，设 $S(r)$ 表示几何级数的和 $12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .$ 设和 $a$ 之间满足。求。 $-1$ $1$ $S(a)S(-a)=2016$ $S(a)+S(-a)$

问题 2

两个骰子看起来是普通骰子，其面数从 $1$ 到 $6$ ，但每个骰子都有权重，因此掷出数字的概率 $k$ 与成正比。这对骰子 $k$ 掷出的概率是，其中和是互质正整数。求。 $7$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 3

正二十面体是一种 $20$ 面体，每个面都是等边三角形，五个三角形在每个顶点处相交。下图所示的正二十面体顶部有一个顶点，底部有一个顶点，上部五边形有五个顶点，所有顶点都与顶部顶点相邻且位于同一水平面上，下部五边形有五个顶点，所有顶点都与底部顶点相邻且位于另一个水平面上。求从顶部顶点到底部顶点的路径数，使得路径的每一部分都沿着二十面体的一条边向下或水平延伸，并且没有重复的顶点。 $[asy] 尺寸(3cm); 对 A=(0.05,0),B=(-.9,-0.6),C=(0,-0.45),D=(.9,-0.6),E=(.55,-0.85),F=(-0.55,-0.85),G=B-(0,1.1),H=F-(0,0.6),I=E-(0,0.6),J=D-(0,1.1),K=C-(0,1.4),L=C+KA; 绘制(A--B--F--E--D--A--E--A--F--A^^B--G--F--K--G--L--J--K--E--J--D--J--L--K);绘制（B--C--D--C--A--C--H--I--C--H--G^^H--L--I--J^^I--D^^H--B，虚线）；点（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H^^I^^J^^K^^L）；[/asy]$

问题4

一个直棱柱，其高为， $h$ 底面为正六边形，边长为 $12$ 。 $A$ 棱柱的一个顶点和其三个相邻顶点是三角锥的顶点。棱柱底面的棱锥面与不包含的棱锥面形成的二面角（两个平面之间的角度）为 $A$ 。 $60^\circ$ 求 $h^2$ 。

问题5

Anh 读了一本书。第一天，她在几分钟 $n$ 内读完了页数 $t$ ，其中 $n$ 和 $t$ 是正整数。第二天，Anh 读了 $n + 1$ 几分钟 $t + 1$ 。此后的每一天，Anh 都比前一天多读了一页，并且她花的时间比前一天多一分钟才读完这 $374$ 本书。她总共花了 $319$ 几分钟读完这本书。求 $n + t$ 。

问题 6

在 $\三角形ABC$ 设 $我$ 是内切圆的圆心，设的角平分线 $\角度ACB$ 交 $\overline{AB}$ 于 $L$ 。过和的直线 $加元$ 与 $L$ 的外接圆相交 $\三角形ABC$ 于和两点 $加元$ 。 $D$ 若 $LI=2$ 和 $LD=3$ ，则 $IC= \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 7

对于整数 $a$ 并 $b$ 考虑复数， $\frac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left(\frac{\sqrt{|a+b|}}{ab+100}\right)i.$ 查找有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得该复数为实数。

问题 8

$p = (a_1,a_2,\ldots,a_9)$ 对于数字的排列 $1,2,\ldots,9$ ，设 $s(p)$ 表示三位数 $3$ 、 $a_1a_2a_3$ 和 $a_4a_5a_6$ 的和 $a_7a_8a_9$ 。设 $百万$ 为的最小值，但 $s(p)$ 的个位数为 $s(p)$ 。 $0$ 设 $n$ 表示的排列数。求。 $p$ $s(p) = m$ $|m-n|$

问题 9

三角形 $ABC$ 有 $AB=40,AC=31,$ 和。此三角形 $\sin{A}=\frac{1}{5}$ 内接于矩形，且和 $AQRS$ 。 $B$ 求的最大可能面积。 $\overline{QR}$ $加元$ $\overline{RS}$ $AQRS$

问题 10

一个严格递增的正整数序列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\cdots$ 具有以下性质：对于每个正整数 $k$ ，子序列 $a_{2k-1}$ ， $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ 是几何序列，而子序列 $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ ， $a_{2k+2}$ 是算术序列。假设 $a_{13} = 2016$ 。求 $a_1$ 。

问题11

设 $P(x)$ 为非零多项式，使得 $(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$ 对于每个实数 $x$ ，和 $\left(P(2)\right)^2 = P(3)$ 。则 $P(\tfrac72)=\tfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。

问题 12

找到最小正整数， $百万$ 使得 $m^2 - m + 11$ 是至少四个不一定不同的素数的乘积。

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2017年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2017年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 找出既不是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 也不是的子集的子集的数量 $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ 。

问题 2

$T_1$ 、 $T_2$ 、 $T_3$ 和队 $T_4$ 进入季后赛。在半决赛中， $T_1$ 比赛 $T_4$ ，和 $T_2$ 。 $T_3$ 这两场比赛的获胜者将在决赛中对决，争夺冠军。当时 $T_i$ ，获胜 $T_j$ 的概率为，且所有比赛的结果都是独立的。成为冠军的概率为，其中和是互质正整数。求。 $T_i$ $\frac{i}{i+j}$ $T_4$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题 3

一个三角形有顶点 $A(0,0)$ 、 $B(12,0)$ 和。三角形内随机选取的点距离顶点比距离顶点或顶点 $C(8,10)$ 更近的概率可以写成，其中和是互质正整数。求。 $B$ $A$ $加元$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题4

找出小于或等于的正整数的数量， $2017$ 其以三进制表示的数不包含等于的数字 $0$ 。

问题5

一个集合包含四个数字。该集合中不同元素的六对和（无特定顺序）分别为 $189$ 、 $320$ 、 $287$ 、 $234$ 、 $x$ 和 $y$ 。求的可能最大值 $x+y$ 。

问题 6

求出所有正整数的和， $n$ 使得 $\sqrt{n^2+85n+2017}$ 为整数。

问题 7

$k$ 找出闭区间内整数值的个数 $[-500,500]$ ，使得方程 $\log(kx)=2\log(x+2)$ 只有一个实数解。

问题 8

$n$ 找出小于 $2017$ 整数的正整数的数量 $1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5 !}+\frac{n^6}{6!}$ 。

问题 9

一副特殊的纸牌包含纸牌，每张纸牌都标有从到 $49$ 的数字，并用七种颜色中的一种着色。每种数字-颜色组合只出现在一张纸牌上。Sharon 将从纸牌中随机选择一组八张纸牌。假设她得到每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌，Sharon 可以丢弃一张纸牌并拥有每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌的概率为，其中和是互质正整数。求。 $1$ $7$ $\textit{仍然}$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题 10

矩形的 $ABCD$ 边长 $AB=84$ 为和 $AD=42$ 。点 $M$ 是的中点 $\overline{AD}$ ，点 $N$ 是的三等分点， $\overline{AB}$ 更接近于 $A$ ，点是和的 $O$ 交点。点位于四边形上，并将的面积平分。求的面积。 $\overline{CM}$ $\overline{DN}$ $P$ $BCON$ $\overline{BP}$ $BCON$ $\三角CDP$

问题11

五个城镇由一套道路系统连接。每对城镇之间只有一条道路相连。求有多少种方法可以将所有道路都变成单向的，并且仍然可以使用这些道路从任何城镇到达其他城镇（途中可能经过其他城镇）。

问题 12

圆的 $C_0$ 半径为 $1$ ，点 $A_0$ 是圆上的一点。圆 $C_1$ 的半径为 $r<1$ ，并在 $C_0$ 点处与内切 $A_0$ 。点 $A_1$ 位于圆上， $C_1$ 即 $A_1$ 位于上， $90^{\circ}$ 从逆时针方向延伸。圆的半径为，并在点处与内切。这样就构造了一系列圆和一系列圆上的点，其中圆的半径为，并在点处与内切，点位于上，从点逆时针延伸，如下图所示。所有这些圆内都有一个点。当时，从中心到的距离为，其中和是互质正整数。求。 $A_0$ $C_1$ $C_2$ $r^2$ $C_1$ $A_1$ $C_1,C_2,C_3,\ldots$ $A_1,A_2,A_3,\ldots$ $C_n$ $r^n$ $C_{n-1}$ $A_{n-1}$ $A_n$ $C_n$ $90^{\circ}$ $A_{n-1}$ $B$ $r = \frac{11}{60}$ $C_0$ $B$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

$[asy] 绘制（圆（（0,0），125））；绘制（圆（（25,0），100））；绘制（圆（（25,20），80））；绘制（圆（（9,20），64））；点（（125,0））；标签（“$A_0$”，（125,0），E）；点（（25,100））；标签（“$A_1$”，（25,100），SE）；点（（-55,20））；标签（“$A_2$”，（-55,20），E）；[/asy]$

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2017年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2017年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在上指定 15 个不同点 $\三角形ABC$ ：3 个顶点 $A$ 、 $B$ 和 $加元$ ； $3$ 边上的其他点 $\overline{AB}$ ； $4$ 边上的其他点 $\overline{BC}$ ；和 $5$ 边上的其他点 $\overline{CA}$ 。求出顶点位于这些点之间的面积为正的三角形的数量 $15$ 。

问题 2

$702$ 当、 $787$ 和分别 $855$ 除以正整数时 $百万$ ，余数始终为正整数 $r$ 。当 $412$ 、 $722$ 和分别 $815$ 除以正整数 $n$ 时，余数始终为正整数 $s \neq r$ 。求 $m+n+r+s$ 。

问题 3

对于正整数 $n$ ，设 $d_n$ 为的个位数。求除以 $1 + 2 + \dots + n$ 时的余数。 $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ $1000$

问题4

一个金字塔有一个三角形底座，边长分别为 $20$ 、 $20$ 和 $24$ 。金字塔的三条边从底座的三个角到金字塔的第四个顶点的长度均为 $25$ 。金字塔的体积为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数，并且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 。

问题5

以八进制表示的有理数为 $\下划线{a} \下划线{b} .\下划线{c} \下划线{d}$ ，其中所有数字都非零。以十二进制表示的相同数字为 $\下划线{b} \下划线{b} .\下划线{b} \下划线{a}$ 。求十进制数 $\下划线{a} \下划线{b} \下划线{c}$ 。

问题 6

一个圆外接一个等腰三角形，该三角形的两个全等角的度数为 $x$ 。在圆上随机选取两个独立且均匀的点，并在它们之间画一条弦。弦与三角形相交的概率为 $\frac{14}{25}$ 。求的最大可能值与最小可能值之间的差值 $x$ 。

问题 7

对于非负整数 $a$ 和，令 $b$ 。令表示所有的总和，其中和是非负整数，令。求当除以时的余数。 $a + b \leq 6$ $T(a, b) = \binom{6}{a} \binom{6}{b} \binom{6}{a + b}$ $S$ $T(a, b)$ $a$ $b$ $a + b \leq 6$ $S$ $1000$

问题 8

从区间中独立均匀随机选取两个实数 $a$ 和。设和是平面上的两个点，且。设和位于直线的同一侧，且的度数分别为和，且和均为直角。等于的概率，其中和是互质正整数。求。 $b$ $(0, 75)$ $O$ $P$ $OP = 200$ $Q$ $R$ $OP$ $\角度 POQ$ $\角度POR$ $a$ $b$ $\角度OQP$ $\角度ORP$ $QR \leq 100$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m + n$

问题 9

令 $a_{10} = 10$ ，且对于每个正整数 $n> 10$ 令 $a_n = 100a_{n - 1} + n$ 。找出最小正数 $n> 10$ ，使得 $a_n$ 是的倍数 $99$ 。

问题 10

设 $z_1 = 18 + 83i$ ， $z_2 = 18 + 39i,$ 且 $z_3 = 78 + 99i,$ 其中 $i = \sqrt{-1}$ 。设 $z$ 为具有以下性质的唯一复数：为 $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ 实数，的虚部 $z$ 为最大的虚部。求的实部 $z$ 。

问题11

考虑数组中 $9$ 数字的排列。对于每个这样的排列，设、和分别为行、和中数字的中位数，设为的中位数。设为的排列数。当除以时，求余数。 $1, 2, 3, \dots, 9$ $3 \乘以 3$ $a_1$ $a_2$ $a_3$ $1$ $2$ $3$ $百万$ $\{a_1，a_2，a_3\}$ $Q$ $m = 5$ $Q$ $1000$

问题 12

$S$ 如果不存在 $a, b, c \in S$ （不一定不同）使得，则称集合为无积集合 $ab = c$ 。例如，空集和集合 $\{16, 20\}$ 是无积集合，而集合 $\{4, 16\}$ 和 $\{2, 8, 16\}$ 不是无积集合。求集合中无积集合子集的数量 $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 7, 8, 9, 10\}$ 。

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2018年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2018年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

点 $A$ 、 $B$ 和按照该顺序位于直线路径上，从到的 $加元$ 距离为米。Ina 的跑步速度是 Eve 的两倍，而 Paul 的跑步速度是 Ina 的两倍。三名跑步者同时开始跑步，Ina 从出发并跑向，Paul 从出发并跑向，而 Eve 从出发并跑向。当 Paul 遇到 Eve 时，他转身跑向。Paul 和 Ina 同时到达。求从到的米数。 $A$ $加元$ $1800$ $A$ $加元$ $B$ $加元$ $加元$ $A$ $A$ $B$ $A$ $B$

问题 2

设 $a_{0} = 2$ ， $a_{1} = 5$ ，和 $a_{2} = 8$ ，和为，递归 $n> 2$ 定义 $a_{n}$ 为 $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ 除以时的余数 $11$ 。求 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$ 。

问题 3

求出所有正整数的和 $b < 1000$ ，使得底数 $b$ 整数 $36_{b}$ 是完全平方数并且底数 $b$ 整数 $27_{b}$ 是完全立方数。

问题4

在等角八边形中 $卡罗琳$ ， $CA = RO = LI = NE =$ $\sqrt{2}$ 和 $AR = OL = IN = EC = 1$ 。自相交八边形 $科妮莉亚$ 包围六个不重叠的三角形区域。设 $K$ 是包围的面积 $科妮莉亚$ ，即六个三角形区域的总面积。则 $K = \frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。求 $a + b$ 。

问题5

假设 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 为复数 $xy = -80 - 320i$ ，且 $yz = 60$ 、和 $zx = -96 + 24i$ ，其中 $我$ $=$ $\sqrt{-1}$ 。则有实数 $a$ 和， $b$ 且 $x + y + z = a + bi$ 。求 $a^2 + b^2$ 。

问题 6

$a$ 从区间中随机均匀地选择一个实数 $[-20, 18]$ 。多项式根的概率

$x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2$

均为实数，可以写成的形式 $\dfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。

问题 7

三角形的 $ABC$ 边长为 $AB = 9$ 、 $BC =$ $5\sqrt{3}$ 和 $AC = 12$ 。对于， $A = P_{0}, P_{1}, P_{2}, ... , P_{2450} = B$ 线段上的点 $\overline{AB}$ 位于和之间 $P_{k}$ ，而对于，线段上的点位于和之间。此外，每个线段、都平行于。这些线段将三角形划分为由梯形和三角形组成的区域。每个区域的面积相同。求出有理长度的线段、的数量。 $P_{k-1}$ $P_{k+1}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $A = Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, ... , Q_{2450} = C$ $\overline{AC}$ $Q_{k}$ $Q_{k-1}$ $Q_{k+1}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $\overline{P_{k}Q_{k}}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $\overline{BC}$ $2450$ $2449$ $1$ $2450$ $\overline{P_{k}Q_{k}}$ $k = 1, 2, ..., 2450$

问题 8

一只青蛙位于坐标平面的原点。从点开始，青蛙可以跳到、、或中 $(x, y)$ 的任意一点。求出青蛙从开始并到结束的不同跳跃序列的数量。 $(x + 1, y)$ $(x + 2, y)$ $（x，y + 1）$ $(x, y + 2)$ $(0, 0)$ $(4, 4)$

问题 9

$ABCDEFGH$ 边长为的八边形 $AB = CD = EF = GH = 10$ 由 $BC = DE = FG = HA = 11$ 一个长方形的角上去掉 6-8-10 个三角形得到，长方形的 $23$ $\times$ $27$ 边长 $\overline{AH}$ 为该长方形的短边，如图所示。设 $J$ 为的中点，通过画出线段、、、、和， $\overline{AH}$ 将八边形分成 7 个三角形。求以这 7 个三角形的质心为顶点的凸多边形的面积。 $\overline{JB}$ $\overline{JC}$ $\overline{JD}$ $\overline{JE}$ $\overline{JF}$ $\overline{JG}$

$[asy] unitize(6); 对 P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); 对 A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark));填充绘制（H--G--Q--循环，灰色（深色））；填充绘制（F--EE--R--循环，灰色（深色））；填充绘制（D--C--SS--循环，灰色（深色））；点（A）；点（B）；点（C）；点（D）；点（EE）；点（F）；点（G）；点（H）；点（J）；点（H）；defaultpen（fontsize（10pt））；real r = 1.3;标签（“$A$”，A，W*r）；标签（“$B$”，B，S*r）；标签（“$C$”，C，S*r）；标签（“$D$”，D，E*r）；标签（“$E$”，EE，E*r）；标签（“$F$”，F，N*r）；标签（“$G$”，G，N*r）；标签（“$H$”，H，W*r）；标签（“$J$”，J，W*r）；[/asy]$

问题 10

$f(x)$ 找出从 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 到的函数个数，使得其中所有都 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 满足。 $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ $x$ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

问题11

求出的排列数， $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 使得对于每个 $k$ ， $1$ $\leq$ $k$ $\leq$ $5$ 至少有一个 $k$ 排列的第一个项大于 $k$ 。

问题 12

设 $ABCD$ 为凸四边形 $AB = CD = 10$ ，有 $BC=14美元$ 、和 $AD = 2\sqrt{65}$ 。假设的对角线 $ABCD$ 交于点 $P$ ，且三角形和的面积之 $APB$ 和等于三角形和 $成本价差$ 的面积之和。求四边形的面积。 $BPC$ $APD$ $ABCD$

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2018年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析在线看！

2018年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

设为有序整数对 $S$ 的数量，且使得多项式可以分解为两个（不一定不同）具有整数系数的线性因子的乘积。当除以时，求余数。 $(a,b)$ $1 \leq 至 \leq 100$ $b \geq 0$ $x^2+ax+b$ $S$ $1000$

问题 2

该数在 $n$ 进制中可以写成，在进制中可以写成，在进制中可以写成，其中。求的进制表示。 $14$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{b}\文本{ }\下划线{c}$ $15$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{c}\文本{ }\下划线{b}$ $6$ $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }$ $a > 0$ $10$ $n$

问题 3

Kathy 有 $5$ 红牌和 $5$ 绿牌。她洗牌并按随机顺序将牌 $10$ 排成 $5$ 一排。当且仅当所有放出的红牌都是相邻的，并且所有放出的绿牌都是相邻的，她才会高兴。例如，牌的顺序 RRGGG、GGGGR 或 RRRRR 会让 Kathy 高兴，但 RRRGR 不会。Kathy 高兴的概率是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

问题4

在 $\三角形 ABC, AB = AC = 10$ 和中 $BC=12美元$ 。点 $D$ 严格位于 $A$ 和 $B$ 之间 $\overline{AB}$ ，点 $E$ 严格位于 $A$ 和 $加元$ 之间， $\overline{AC}$ 使得 $AD = DE = EC$ 。则 $AD$ 可以表示为的形式 $\dfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题5

$(x,y)$ 对于满足的每对有序实数， $\log_2(2x+y) = \log_4(x^2+xy+7y^2)$ 存在一个实数 $K$ 使得， $\log_3(3x+y) = \log_9(3x^2+4xy+Ky^2)。$ 求出所有可能值的乘积 $K$ 。

问题 6

设为具有属性 $N$ 的复数的数量，为实数。求除以时的余数。 $z$ $|z|=1$ $z^{6!}-z^{5!}$ $N$ $1000$

问题 7

一个直立六角柱的高为 $2$ 。底面是边长为的正六边形 $1$ 。任意 $3$ 一个 $12$ 顶点都可以确定一个三角形。求出这些等腰三角形（包括等边三角形）的数量。

问题 8

设 $ABCDEF$ 为等角六边形 $AB=6, BC=8, CD=10$ ，且 $DE=12$ ，。表示 $d$ 六边形内最大圆的直径。求 $d^2$ 。

问题 9

求具有以下性质的四元素子集的数量 $\{1,2,3,4,\dots, 20\}$ ：一个子集的两个不同元素的和为 $16$ ，而一个子集的两个不同元素的和为 $24$ 。例如， $\{3,5,13,19\}$ 和 $\{6,10,20,18\}$ 就是两个这样的子集。

问题 10

下图所示的轮子由两个圆圈和五根辐条组成，辐条与圆圈相交的每个点都有一个标签。一只虫子从点开始沿着轮子行走 $A$ 。在此过程的每一步，虫子都从一个标记点走到一个相邻的标记点。沿着内圈，虫子只以逆时针方向行走，沿着外圈，虫子只以顺时针方向行走。例如，虫子可以沿着路径行进 $阿贾ABCHCHIJA$ ，该路径有 $10$ 台阶。设为以点为起点和终点的有台阶 $n$ 的路径数。当除以时，求余数。 $15$ $A.$ $n$ $1000$

$[asy] 尺寸(6cm); 绘制(单位圆); 绘制(比例(2) * 单位圆); for(int d = 90; d < 360 + 90; d += 72){ 绘制(2 * dir(d) -- dir(d)); } 点(1 * dir( 90), 线宽(5)); 点(1 * dir(162), 线宽(5)); 点(1 * dir(234), 线宽(5)); 点(1 * dir(306), 线宽(5)); 点(1 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(306), 线宽(5)); 点(2 * dir(234), 线宽(5)); 点(2 * dir(162), 线宽(5));点（2 * dir（90），线宽（5））；标签("$A$", 1 * dir( 90), -dir( 90));标签("$B$", 1 * 目录(162), -dir(162));标签(“$C$”, 1 * 目录(234), -dir(234));标签(“$D$”, 1 * 目录(306), -dir(306));标签("$E$", 1 * 目录(378), -dir(378));标签(“$F$”, 2 * 目录(378), 目录(378));标签(“$G$”, 2 * 目录(306), 目录(306));标签(“$H$”, 2 * 目录(234), 目录(234));标签(“$I$”, 2 * 目录(162), 目录(162));标签("$J$", 2 * 目录( 90), 目录( 90)); [/asy]$

问题11

寻找最小正整数， $n$ 使得当以 $3^n$ 为底数写入时 $143$ ，其底数最右边的两位数字 $143$ 为 $01$ 。

问题 12

对于的每个子集，设为元素的和，定义为。如果在 $T$ 的所有子集中随机选择，则能被整除的概率为，其中和是互质正整数。求。 $U = \{ 1,2,3,\ldots,18 \}$ $s(T)$ $T$ $s(\空集)$ $0$ $T$ $U$ $s(T)$ $3$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $百万$

问题 13

设 $\三角形ABC$ 边长 $AB=30$ 为 $BC=32$ 、和 $AC=34$ 。点 $X$ 位于的内部 $\overline{BC}$ ，点 $I_1$ 和分别是和的 $I_2$ 内心。求当沿变化时的最小可能面积。 $\三角形ABX$ $\三角形ACX$ $\三角形AI_1I_2$ $X$ $\overline{BC}$

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AIME竞赛成绩对美国大学申请的影响有哪些？考多少分才有竞争力？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级阶段考试，满分为15分。其成绩不仅对美国大学申请有重要影响，还对数学夏令营的申请具有参考价值。以下是对AIME竞赛成绩的分析以及其在不同领域中的影响。

一、AIME竞赛成绩分析

平均分：每年的平均分大约在5分左右。

竞争力分数：通常考到7分以上被认为是有竞争力的分数。高分不仅证明学生在数学领域的卓越才能，还显示他们有能力解决复杂而抽象的问题。

二、AIME成绩对美国大学申请的影响

Top30院校申请

历年数据显示，申请美国Top30院校的学生通常需要AIME成绩达到7分以上。这一分数显示了学生在数学方面的扎实基础和潜力。

Top20院校申请

对于Top20院校，至少需要8分以上的AIME成绩。这表明这些院校对数学能力有更高的要求，尤其是对于申请理工科专业的学生。

三、AIME成绩对数学夏令营申请的影响

顶级数学夏令营

像Ross、SUMaC等顶级数学夏令营对AIME成绩有较高要求。参加这些夏令营可以为学生后续申请院校提高竞争力。一般来说，AIME成绩达到9分左右会更具竞争力。

晋级USA(J)MO的要求

晋级分数：要晋级到USAMO（美国数学奥林匹克）或USJMO（美国初中数学奥林匹克），通常需要答对8-9道题，即取得8-9分的成绩。这是对学生数学能力的进一步考验。

晋级分数算法：

USAMO标准分数 = AMC12分 + 10 x AIME分数。

USAJMO标准分数 = AMC10分 + 10 x AIME分数。

AIME不仅是展示数学才能的平台，也是进入更高级别数学竞赛的关键。通过AIME，学生可以获得展示其数学能力的机会，这对于未来的学术发展和大学申请都是一个重要的加分项。高分成绩在竞争激烈的大学申请和夏令营中起到显著的作用，帮助学生在众多申请者中脱颖而出。

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2025年AIME邀请赛考试时间是什么时候？参赛条件是什么？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。以下是关于AIME的参赛条件、考试时间、竞赛规则以及考试策略的详细介绍。

一、AIME竞赛参赛条件

报名渠道：通过AMC中国区组委会（AMC China）报名参加AMC10/12考试，并达到AIME晋级分数线的学生将自动获邀参加AIME。

参赛方式：无需单独报名，晋级学生会自动注册AIME I的考试，并收到官方邮件通知。

二、2025年AIME邀请赛考试时间

AIME Ⅰ：2025年2月6日（美国时间）

AIME Ⅱ：2025年2月12日（美国时间）

三、AIME竞赛规则

考试时间：每年有两个考试日期，AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参加。

考试形式：个人赛，包含15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

考试题型：填空题，每个问题的答案是一个三位数的正整数（000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

四、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目7~10：作为过渡题，要求考生对知识点有深刻理解和高熟练度，如排列组合、二项式定理、韦达定理、高次方程、不定方程、牛顿恒等式等。建议大约30到40分钟完成。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

通过这些策略，考生可以在AIME中有效提升解题效率和得分能力。AIME不仅考查数学知识，还评估考生的解题策略和思维能力，因此，合理的时间分配和解题技巧是取得高分的关键。

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有哪些途径可以晋级到AIME数学竞赛？AMC、AIME和USA(J)MO晋级关系是？

美国数学邀请赛（AIME）是美国数学竞赛体系中的重要环节，旨在选拔数学能力突出的学生。以下是晋级到AIME的主要途径：

1. 通过AMC10/12晋级

AMC10/12成绩要求：

在AMC10和AMC12中达到AIME分数线的学生将获得AIME的参赛邀请。

在AMC10A/10B考生中，至少前2.5%的学生有资格参加AIME。

在AMC12A/12B考生中，至少前5%的学生有资格参加AIME。

重要性：

获得AIME资格是对学生数学能力的认可，并为他们提供了参加更高级别竞赛（如USAJMO或USAMO）的机会。

AIME成绩与AMC10/12成绩结合用于评估学生的数学潜力，是许多顶尖大学录取时的重要考量因素。

晋级标准：

AIME的得分乘以10，加上AMC10或AMC12的总分，用于USA(J)MO的资格认证。

2. 通过美国数学才能搜索（USAMTS）晋级

USAMTS简介：

美国数学才能搜索（USAMTS）是除了AMC10和AMC12之外，唯一可以直接晋级AIME的数学竞赛。

参赛者需拥有美国身份或提供美国地址。

晋级条件：

在USAMTS中获得前5%的金奖的学生可以直接晋级到AIME。

3、AMC、AIME和USA(J)MO晋级关系

AMC和AIME的成绩共同决定USAJMO和USAMO的资格。以下是相关的指数分数计算方式：

USAJMO指数分数：

AMC10分数 + 10 × AIME分数

USAMO指数分数：

AMC12分数 + 10 × AIME分数

晋级标准：

USA(J)MO的典型临界值通常在210到230之间。

申请角度

AIME成绩的重要性：

AIME 7分以上被视为具有竞争力的分数。

申请数学夏令营（如ROSS, SUMaC）通常需要AIME成绩在9分左右。

通过AIME的成绩，学生不仅可以展示其数学能力，还能为未来的学术和职业发展奠定基础。AIME是通向更高级别竞赛和学术机会的桥梁，帮助学生在数学领域取得更高成就。

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AIME数学邀请赛难度如何？考试策略是什么？高分技巧有哪些？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。其难度体现在多个方面，以下是详细分析及考试策略。

一、AIME数学竞赛难度

考察内容更深，知识面更广

AIME不仅考查考生的数学知识广度，还强调对数学知识的深入理解。考生需要熟练掌握多种数学概念和技巧，并能够灵活运用这些知识来解决复杂问题。试题从第6题开始难度逐渐增加，第7题和第8题作为过渡，难度上升，而第9到第15题则进入难题阶段，要求考生具备更高的解决问题能力。

几何部分图形更为复杂

在AIME中，几何部分的难度显著提升。无论是平面几何还是立体几何，解析几何的考察难度已接近中国高考水平。这对考生的空间想象力和几何推理能力提出了更高的要求。

二、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

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