分类： 赛事资讯

2022年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

由音乐会上的人群组成的成年人。在一辆载有更多人的公共汽车到达后，由音乐会现场的人们组成的成年人组成。找出巴士到达后可能参加音乐会的最少成人人数。

问题 2

Azar、Carl、Jon 和 Sergey 是单打网球锦标赛中剩下的四名球员。他们在半决赛中被随机分配对手，这些比赛的获胜者在决赛中相互对战，以确定锦标赛的获胜者。当 Azar 对阵 Carl 时，Azar 将以概率赢得比赛。当 Azar 或 Carl 与 Jon 或 Sergey 对战时，Azar 或 Carl 将有概率赢得比赛。假设不同对战的结果是独立的。Carl 赢得比赛的概率是 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 3

具有体积的直方形金字塔具有边长的底面 金字塔的五个顶点都位于半径为 的球体上，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 4

有一个不等于 either  或 的正实数该值可以写为 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 5

20 个不同的点标记在一个圆圈上，并按顺时针顺序标记。在标签相差一个素数的每对点之间绘制一条线段。查找其顶点位于原始点之间的三角形数。

问题 6

设  为实数，使得  和 。在所有此类数字元组中，可以实现的最大值是 ，其中  和  是相对素数正整数。查找 .

问题 7

半径为  的圆与半径为 的圆在外部相切。求由这两个圆的三条公共切线界定的三角形区域的面积。

问题 8

求当给定 ， ， 和  的值时可以唯一确定其值的正整数的数量，其中表示小于或等于实数 的最大整数。

问题 9

设  和  为两条不同的平行线。对于正整数  和 ，不同的点位于 上，不同的点位于 上。此外，当为 all  和 绘制线段时，没有一个点严格位于 和 之间，位于两个以上的线段上。求此图例在 和 时将平面划分为的有界区域数。该图显示 when  和 有 8 个区域。

问题 10

求余数 when除以 。

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2022年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

二次多项式  和  分别具有前导系数  和  。两个多项式的图形都通过两个点和  Find

问题 2

找到三位数的正整数，其在基数 9 中的表示形式是其中   和  是（不一定不同的）数字。

问题 3

在等腰中，梯形平行底 和  分别具有长度  和 ，以及   和 的角平分线 和  相交于   和 的角平分线  和  在 Find  处相交

问题 4

设  和  where  查找不超过满足方程的正整数的有序对数

问题 5

一条数米宽的笔直河流以每分钟米的速度从西向东流淌。Melanie 和 Sherry 坐在河的南岸，Melanie 距离 Sherry 下游几米远。相对于水，Melanie 以每分钟米数游泳，而 Sherry 以每分钟米数游泳。与此同时，Melanie 和 Sherry 开始直线游到河北岸与她们的起始位置等距的点。两个女人同时到达了这一点。找到

问题 6

求有序整数对的数量，使得序列严格递增，并且没有一组四个（不一定是连续的）项形成算术级数。

问题 7

设  不同的整数 from  到  的最小可能正值可以写为  where，并且是相对素数的正整数。找到

问题 8

等边三角形内接在半径为 Circle 的圆上，Circle  与边相切，内部与 Circle 相切，定义类似。圆圈并在  6 个点中相遇---每对圆圈 2 个点。最靠近顶点的三个交点是 内部一个大等边三角形的顶点，其他三个交点是 内部一个较小的等边三角形的顶点，较小的等边三角形的边长可以写成  其中  和  是正整数。找到

问题 9

Ellina 有 12 个块，红色 （）、蓝色 （）、黄色 （）、绿色 （）、橙色 （） 和紫色 （） 各两个。如果每对相同颜色的块之间有偶数个块，则调用块的排列。例如，排列是均匀的。Ellina 以随机顺序将她的块排成一行。她的排列为 偶数 的概率是  where  和  是相对素数正整数。找到

问题 10

三个半径为   且相互外部切线的球体。一个平面在三个分别以   和  为中心的全等圆中与球体相交，并且球体的中心都位于该平面的同一侧。假设  Find

问题 11

设一个平行四边形，其中  A 圆与侧面相切，并在点处对角线相交，如图所示。假设   和  则  的面积可以用其中  和  是正整数的形式表示，并且不能被任何素数的平方整除。找到

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2023年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

六棵苹果树上每棵树上生长的苹果数量形成一个算术序列，其中六棵树上生长的苹果数量最多的是六棵树上生长的苹果数量最少的两倍。所有六棵树上生长的苹果总数为查找六棵树上生长的最大苹果数。

问题 2

回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字。找到小于该值的最大整数在以 10 为基数写入和以 8 为基数写入时都是回文，例如

问题 3

设为一个等腰三角形，其中  There exists a point  inside  使得  并找到 的面积

问题 4

设  和  为满足方程组的实数 设  为可能值的集合  求 的元素平方和

问题 5

设  是所有正有理数的集合，使得当两个数字  和  以最低项写为分数时，一个分数的分子和分母之和与另一个分数的分子和分母之和相同。的所有元素之和可以用 where  和  是相对素数正整数的形式表示。找到

问题 6

考虑由三个在两侧连接的单位方块形成的 L 形区域，如下所示。两个点，是从区域内部独立且均匀地随机选择的。的中点也位于该 L 形区域内的概率可以表示为  其中  和  是相对素数的正整数。找到

问题 7

正十二边形 （-gon） 的每个顶点都要被涂成红色或蓝色，因此可能存在着色。通过以下属性找到这些着色的数量：没有四个颜色相同的顶点是矩形的四个顶点。

问题 8

让  where  找到产品的值

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2024年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在 Aimeville 的居民中，有些人拥有一枚钻戒，有些人拥有一套高尔夫球杆，有些人拥有一把花园铁锹。此外，每个居民都拥有一袋糖果心。有些居民恰好拥有其中的两件物品，有些居民也恰好拥有其中的三件物品。查找拥有所有这四种物品的 Aimeville 居民的数量。

问题 2

正整数列表具有以下属性：

列表中各项的总和为 。

列表的唯一模式是 。

列表的中位数是一个正整数，它不会出现在列表本身中。

求列表中所有项目的平方和。

问题 3

找到在 2x3 网格的每个单元格中放置一个数字的方法数，使得从左到右阅读形成的两个数字之和为 ，从上到下阅读形成的三个数字之和为 。下面的网格是这种排列的一个例子，因为  和 。

问题 4

设  和  为满足以下方程组的正实数：则 的值是其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 5

设  为一个凸等边六边形，其中所有对立的边都是平行的。边是线段 的延伸 、 且边长为  和 的三角形。求六边形的边长。

问题 6

Alice 选择一组正整数。然后 Bob 列出所有具有 最大元素所属 的属性的有限非空正整数集。Bob 的列表有集合。求 的元素之和 。

问题 7

设  为最大的四位整数，其属性是每当其一位数字更改为 时，结果数字可被 整除。设  和  分别是商和余数，当  除以 时。查找 .

问题 8

圆环是通过将半径为 3 的圆在距圆心 6 距离的圆平面（就像圆环一样）的平面上绕轴旋转而产生的表面。设为半径为 11 的球体。当位于 的内侧时，它与 的内侧相切，沿半径为 的圆 ，当位于 的外侧时，它与沿 半径为 的圆 外切。差值可以写成 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 9

有无法区分的白色筹码和无法区分的黑色筹码。找到将其中一些筹码放置在网格中的方法数量，以便

• 每个电池单元最多包含一个芯片

• 同一行中的所有筹码和同一列中的所有筹码具有相同的颜色
• 放置在网格上的任何额外筹码都将违反前两个条件中的一个或多个。

问题 10

设  incenter  和 circumcenter  与 、 circumradius 和 inradius 。查找 .

问题 11

求满足  和

问题 12

让  和  成为坐标平面中的点。设  是位于第一象限中，在  -轴和  -轴上的单位长度段的系列。上有一个唯一的点，不同于  ，并且不属于除 之外的任何段。然后 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 13

设  为第 13 个团结根。求除以 1000 时的余数。

问题 14

设为整数。如果正整数在 base 中表示时正好有两位数，并且这两个数字之和为 ，则调用正整数。例如，  is -eautiful because  和 .查找具有 10 个以上 -eautiful 整数的最小整数。

问题 15

求在固定的正十二边形 （-gon） 内可以形成的矩形数，其中矩形的每一边都位于十二边形的边或对角线上。下图显示了其中的三个矩形。

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2023年 AIME I 数学邀请赛真题2023年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

五男九女以随机顺序围着一个圆圈等距站立。每个男性都与女性截然相反的概率是  where  和  是相对素数正整数。找到

问题 2

正实数并满足方程  的值 是其中  和  是相对素数的正整数。找到

问题 3

平面包含线，其中没有一条线是平行的。假设有恰好是 lines 相交的点、恰好是 lines 相交的点、恰好是  lines 相交的点、正好是 lines 相交的点，并且没有多于 lines 相交的点。求直线相交处的点数。

问题 4

所有正整数之和，即完美平方，可以写为  where  和  是正整数。找到

问题 5

设  为圆外接正方形上满足的点，并求

问题 6

Alice 知道红牌和黑牌会以随机顺序一次向她展示一张。在每张卡片被揭开之前，Alice 必须猜出它的颜色。如果 Alice 玩得最好，她会猜对的预期牌数是  where  和 相对素数正整数。找到

问题 7

如果余数 when  被  和  disdistinct 除以，则调用  extra-distinct 正整数。求小于 的 extra-distinct 正整数的个数。

问题 8

菱形有  在菱形的内圆上有一个点，使得 到 线  和  的距离分别为  和  。找到 的周长

问题 9

求三次多项式的数量，其中  和  是整数，使得有一个唯一的整数

问题 10

存在一个唯一的正整数，其总和是严格介于 和 之间的整数。对于该唯一 ，请查找 。

（请注意，表示小于或等于 的最大整数。

问题 11

查找恰好包含一对连续整数的子集数。此类子集的示例包括  和

问题 12

设  是一个边长为 Points   和  位于 和  的等边三角形，其中   和  Point  inside  具有 Find 的属性

问题 13

两个非全等平行六面体的每个面都是一个菱形，其对角线的长度为  和 。两个多面体中较大的一个的体积与较小多面体的体积之比为 ，其中  和  是相对素数正整数。查找 .平行六面体是具有六个平行四边形面的实体，如下所示。

问题 14

下面的 analog clock 有两根指针，可以彼此独立地移动。 最初，双手指向数字 。时钟执行一系列指针运动，因此在每次移动时，两根指针中的一根顺时针移动到钟面上的下一个数字，而另一根指针不动。

设  手部运动序列的数量，使得在序列中，手的每种可能的位置都只出现一次，并且在运动结束时，手已返回到其初始位置。求除以 时  的余数。

问题 15

找到存在满足

• 的实部和虚部都是整数;

• 和

• 存在一个三角形，其三个边长是  的实部和 虚部
  

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2024年 AIME I 数学邀请赛真题

Problem 1

Every morning Aya goes for a -kilometer-long walk and stops at a coffee shop afterwards. When she walks at a constant speed of  kilometers per hour, the walk takes her 4 hours, including  minutes spent in the coffee shop. When she walks  kilometers per hour, the walk takes her 2 hours and 24 minutes, including  minutes spent in the coffee shop. Suppose Aya walks at  kilometers per hour. Find the number of minutes the walk takes her, including the  minutes spent in the coffee shop.

Solution 1

 in hours and  in hours.

Subtracting the second equation from the first, we get,

Multiplying by , we get

Multiplying by 5/2 on both sides, we get

Factoring gives us

, of which the solution we want is .

Substituting this back to the first equation, we can find that  hours.

Lastly,  kilometers per hour, so

 hours, or  minutes

Solution 2

The amount of hours spent while walking on the first travel is . Thus, we have the equation , and by the same logic, the second equation yields . We have , and . We subtract the two equations to get , so we have , so , and now we have . The numerator of  must evenly divide 540, however,  must be less than 3. We can guess that . Now, . Taking , we find that it will take three hours for the 9 kilometers to be traveled. The t minutes spent at the coffeeshop can be written as , so t = 24. 

Problem 2

There exist real numbers  and , both greater than 1, such that . Find .

Solution 1

By properties of logarithms, we can simplify the given equation to . Let us break this into two separate equations:

We multiply the two equations to get:

Also by properties of logarithms, we know that ; thus, . Therefore, our equation simplifies to:

Solution 2

Convert the two equations into exponents:

Take  to the power of :

Plug this into :

So 

Solution 3

Similar to solution 2, we have:

 and 

Take the tenth root of the first equation to get

Substitute into the second equation to get

This means that , or , meaning that .

Solution 4

The same with other solutions, we have obtained  and . Then, . So, an obvious solution is to have  and . Solving, we get  and .

Solution 5

Using the first expression, we see that . Now, taking the log of both sides, we get . This simplifies to . This is still equal to the second equation in the problem statement, so . Dividing by  on both sides, we get . Therefore,  and , so .

Solution 6

Put.We see:andwhich gives rise towhich is the required answer.

Problem

Alice and Bob play the following game. A stack of  tokens lies before them. The players take turns with Alice going first. On each turn, the player removes either  token or  tokens from the stack. Whoever removes the last token wins. Find the number of positive integers  less than or equal to  for which there exists a strategy for Bob that guarantees that Bob will win the game regardless of Alice's play.

Solution 1

Let's first try some experimentation. Alice obviously wins if there is one coin. She will just take it and win. If there are 2 remaining, then Alice will take one and then Bob will take one, so Bob wins. If there are , Alice will take , Bob will take one, and Alice will take the final one. If there are , Alice will just remove all  at once. If there are , no matter what Alice does, Bob can take the final coins in one try. Notice that Alice wins if there are , , or  coins left. Bob wins if there are  or  coins left.

After some thought, you may realize that there is a strategy for Bob. If there is n is a multiple of , then Bob will win. The reason for this is the following: Let's say there are a multiple of  coins remaining in the stack. If Alice takes , Bob will take , and there will still be a multiple of . If Alice takes , Bob will take , and there will still be a multiple of . This process will continue until you get  coins left. For example, let's say there are  coins. No matter what Alice does, Bob can simply just do the complement. After each of them make a turn, there will always be a multiple of  left. This will continue until there are  coins left, and Bob will end up winning.

After some more experimentation, you'll realize that any number that is congruent to  mod  will also work. This is because Bob can do the same strategy, and when there are  coins left, Alice is forced to take  and Bob takes the final coin. For example, let's say there are  coins. If Alice takes , Bob will take . If Alice takes , Bob will take . So after they each make a turn, the number will always be equal to  mod . Eventually, there will be only  coins remaining, and we've established that Alice will simply take  and Bob will take the final coin.

So we have to find the number of numbers less than or equal to  that are either congruent to  mod  or  mod . There are  numbers in the first category: . For the second category, there are  numbers. . So the answer is 

Solution 2

Let's use winning and losing positions, where  marks a win for Alice.

 coin: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

 coin: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

 coin: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

 coins: 

We can see that losing positions occur when  is congruent to  and winning positions occur otherwise. As  ranges from  to ,  of these values are losing positions where Bob will win. As  ranges from  to ,  is the only value where Bob will win. Thus, the answer is 

Solution 3

Denote by  and  Alice's or Bob's th moves, respectively.

Case 1: .

Bob can always take the strategy that . This guarantees him to win.

In this case, the number of  is .

Case 2: .

In this case, consider Alice's following strategy:  and  for . Thus, under Alice's this strategy, Bob has no way to win.

Case 3: .

In this case, consider Alice's following strategy:  and  for . Thus, under Alice's this strategy, Bob has no way to win.

Case 4: .

Bob can always take the strategy that . Therefore, after the th turn, there are two tokens leftover. Therefore, Alice must take 1 in the next turn that leaves the last token on the table. Therefore, Bob can take the last token to win the game. This guarantees him to win.

In this case, the number of  is .

Case 5: .

Consider Alice's following strategy:  and  for . By doing so, there will finally be 2 tokens on the table and Bob moves first. Because Bob has the only choice of taking 1 token, Alice can take the last token and win the game.

Therefore, in this case, under Alice's this strategy, Bob has no way to win.

Putting all cases together, the answer is .

Solution 4 (Grundy Values)

Since the game Alice and Bob play is impartial (the only difference between player 1 and player 2 is that player 1 goes first (note that games like chess are not impartial because each player can only move their own pieces)), we can use the Sprague-Grundy Theorem to solve this problem. We will use induction to calculate the Grundy Values for this game.

We claim that heaps of size congruent to  will be in outcome class  (win for player 2 = Bob), and heaps of size equivalent to  will be in outcome class  (win for player 1 = Alice). Note that the mex (minimal excludant) of a set of nonnegative integers is the least nonnegative integer not in the set. e.g. mex and mex.

We have proven the base case. We will now prove the inductive hypothesis: If , , , , , and , then , , , , and .

We have proven the inductive hypothesis. QED.

There are  positive integers congruent to  between 1 and 2020, and 1 such integer between 2021 and 2024. .

Solution 5 (no modular arithmetic)

We start with  as some of the smaller values. After seeing the first 4 where Bob wins automatically, with trial and error we see that  and  are spaced alternating in between 2 and 3 apart. This can also be proven with modular arithmetic, but this is an easier solution for some people. We split them into 2 different sets with common difference 5: {2,7,12 ...} and {5,10,15...}. Counting up all the numbers in each set can be done as follows:

Set 1 

 (because the first term is two)

Set 2 

And because we forgot 2022 we add 1 more.

Problem 3

Jen enters a lottery by picking  distinct numbers from   numbers are randomly chosen from  She wins a prize if at least two of her numbers were  of the randomly chosen numbers, and wins the grand prize if all four of her numbers were the randomly chosen numbers. The probability of her winning the grand prize given that she won a prize is  where  and  are relatively prime positive integers. Find .

Solution 1

This is a conditional probability problem. Bayes' Theorem states that

in other words, the probability of  given  is equal to the probability of  given  times the probability of  divided by the probability of . In our case,  represents the probability of winning the grand prize, and  represents the probability of winning a prize. Clearly, , since by winning the grand prize you automatically win a prize. Thus, we want to find .

Let us calculate the probability of winning a prize. We do this through casework: how many of Jen's drawn numbers match the lottery's drawn numbers?

To win a prize, Jen must draw at least  numbers identical to the lottery. Thus, our cases are drawing , , or  numbers identical.

Let us first calculate the number of ways to draw exactly  identical numbers to the lottery. Let Jen choose the numbers , , , and ; we have  ways to choose which  of these  numbers are identical to the lottery. We have now determined  of the  numbers drawn in the lottery; since the other  numbers Jen chose can not be chosen by the lottery, the lottery now has  numbers to choose the last  numbers from. Thus, this case is , so this case yields  possibilities.

Next, let us calculate the number of ways to draw exactly  identical numbers to the lottery. Again, let Jen choose , , , and . This time, we have  ways to choose the identical numbers and again  numbers left for the lottery to choose from; however, since  of the lottery's numbers have already been determined, the lottery only needs to choose  more number, so this is . This case yields .

Finally, let us calculate the number of ways to all  numbers matching. There is actually just one way for this to happen.

In total, we have  ways to win a prize. The lottery has  possible combinations to draw, so the probability of winning a prize is . There is actually no need to simplify it or even evaluate  or actually even know that it has to be ; it suffices to call it  or some other variable, as it will cancel out later. However, let us just go through with this. The probability of winning a prize is . Note that the probability of winning a grand prize is just matching all  numbers, which we already calculated to have  possibility and thus have probability . Thus, our answer is . Therefore, our answer is .

Shortcut

One may also use complimentary counting as a shortcut to calculate the probability of winning a prize, in which the cases are that either one number is shared or no numbers are shared. There are  ways to choose the former and  ways for the latter. Therefore, there are  ways to NOT choose a prize, so there are  ways to choose a prize, and the answer follows.

Solution 2

For getting all  right, there is only  way.

For getting  right, there is  multiplied by  =  ways.

For getting  right, there is  multiplied by  =  ways.

 = 

Therefore, the answer is 

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2024年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

每天早上，Aya 都会步行一公里，然后在咖啡店结束。有一天，她以每小时公里的速度行走，步行需要几个小时，包括在咖啡店的几分钟。另一个早上，她以每小时公里的速度步行，步行需要数小时和分钟，包括在咖啡店的几分钟。今天早上，如果她以每小时公里的速度步行，步行需要多少分钟，包括在咖啡店的几分钟？

问题 2

实数和满足  的值是什么？

问题 3

Alice 和 Bob 玩以下游戏。一堆代币摆在他们面前。玩家轮流，Alice 先走。在每个回合中，玩家从堆栈中移除一个或多个代币。移除最后一个令牌的玩家获胜。找到小于或等于的正整数的数量，以便有一种策略可以保证 Bob 获胜，而不管 Alice 的移动如何。

问题 4

Jen 通过从随机选择的数字中选择不同的数字来参加抽奖 如果她的数字中至少有两个是随机选择的数字，她就会中奖，如果她的所有四个数字都是随机选择的数字，她就会赢得大奖。鉴于她中奖，她赢得大奖的概率是  和   是相对素数正整数。查找 .

问题 5

矩形  和  绘制为共线。此外，所有 S 都位于一个圆圈上。如果    的长度是多少 ？

问题 6

考虑沿着网格上从左下角到右上角的线条的长度路径。找到正好改变方向四次的此类路径的数量，如下例所示。

问题 7

求 的最大可能的实部 ，其中  是一个复数。

问题 8

半径为 8 个圆可以相切放置，以便这些圆按顺序彼此相切，第一个圆与  相切，最后一个圆与 相切，如图所示。同样，  半径圆可以以相同的方式相切放置。的半径可以表示为 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

问题 9

设  是一个菱形，其顶点都位于双曲线上，并且按该顺序排列。如果它的对角线在原点相交，则找到小于所有菱形  的最大数字。

问题 10

设  是一个内接在 circle 中的三角形。设切线 to  at  和  intersect at 点 ，并设   intersect at 。如果 ， ， 和 ，  可以写成形式 ，其中  和  是相对质数。查找 .

问题 11

正八边形的每个顶点都以相等的概率独立地着色为红色或蓝色。然后可以旋转八边形以使所有蓝色顶点都位于最初存在红色顶点的位置的概率为 ，其中  和  是相对素数正整数。什么是 ？

问题 12

Define  和 .求 的图形的交集数

问题 13

设  为存在可被 整除的正整数的最小素数。求可被 整除的最小正整数。

问题 14

设  为四面体，使得 、 和 。四面体内部存在一个点，使得到四面体的每个面的距离都相等。这个距离可以写成 的形式，当 ， ， 和  是正整数，并且是相对素数，并且不能被任何素数的平方整除。查找 .

问题 15

设  为具有表面积和体积 的矩形框的集合。设  是可以包含每个矩形框的最小球体的半径，这些矩形框是 的元素。的值可以写为 ，其中  和  是相对素数的正整数。查找 .

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