2013年 AIME I 数学邀请赛真题

2013年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

AIME 铁人三项赛包括半英里游泳、30 英里自行车骑行和八英里跑步。汤姆以恒定的速度游泳、骑自行车和跑步。他的跑步速度是游泳速度的五倍，骑自行车的速度是跑步速度的两倍。汤姆在四个半小时内完成了 AIME 铁人三项赛。他骑自行车花了多少分钟？

问题 2

$n$ 求出满足以下条件的五位正整数的数量：

（a）该数字 $n$ 可以被整除 $5,$ （b）的首位数字和末位数字 $n$ 相等，并且（c）的数字 $n$ 之和可以被整除 $5 美元$

问题 3

设 $ABCD$ 是一个正方形，设和 $E$ 分别是和 $F$ 上的点。过平行线和过平行线的线将正方形分成两个正方形和两个非正方形的矩形。两个正方形的面积之和为正方形的面积求 $\overline{AB}$ $\overline{BC},$ $E$ $\overline{BC}$ $F$ $\overline{AB}$ $ABCD$ $\frac{9}{10}$ $ABCD.$ $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

问题4

在下面显示的正方形数组中 $13$ ， $8$ 正方形被涂成红色，其余 $5$ 正方形被涂成蓝色。如果随机选择所有可能的颜色之一，则所选颜色数组在 $90^{\circ}$ 围绕中心正方形旋转时出现相同的概率为 $\frac{1}{n}$ ，其中 $n$ 为正整数。求 $n$ 。

$[asy] 绘制((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0)); 绘制((2,0)--(2,2)--(3,2)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(4,1)--(4,0)--(2,0)); 绘制((1,2)--(1,4)--(0,4)--(0,2)--(0,3)--(1,3)--(-1,3)--(-1,2)--(1,2)); 绘制((-1,1)--(-3,1)--(-3,0)--(-1,0)--(-2,0)--(-2,1)--(-2,-1)--(-1,-1)--(-1,1));绘制（（0，-1）--（0，-3）--（1，-3）--（1，-1）--（1，-2）--（0，-2）--（2，-2）--（2，-1）--（0，-1））；大小（100）；[/asy]$

问题5

该方程的实数根 $8x^3-3x^2-3x-1=0$ 可以写成的形式 $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为正整数。求 $a+b+c$ 。

问题 6

梅琳达有三个空盒子和 $12$ 教科书，其中三本是数学教科书。一个盒子可以装她的任意三本教科书，一个盒子可以装她的任意四本教科书，一个盒子可以装她的任意五本教科书。如果梅琳达以随机顺序将她的教科书装入这些盒子，那么所有三本数学教科书最终都装在同一个盒子中的概率可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 7

一个矩形盒子的宽度为 $12$ 英寸，长度为 $16$ 英寸，高度为 $\frac{m}{n}$ 英寸，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。盒子的三个面在盒子的一个角相交。这三个面的中心点是面积为 $30$ 平方英寸的三角形的顶点。求 $m+n$ 。

问题 8

函数的定义域 $f(x) = \arcsin(\log_{m}(nx))$ 是长度为的一个闭区间 $\frac{1}{2013}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数和。求除以 $m> 1$ 后的最小可能和的余数。 $m+n$ $1000$

问题 9

一个纸质等边三角形， $ABC$ 边长为 $12$ 。将纸质三角形折叠起来，使顶点与距离的 $A$ 边上的一点相切。折叠三角形所沿的线段长度可以写成，其中、和为正整数，和互质，且不能被任何质数的平方整除。求。 $\overline{BC}$ $9$ $B$ $\frac{m\sqrt{p}}{n}$ $百万$ $n$ $p$ $百万$ $n$ $p$ $m+n+p$

$[asy] 导入 cse5; 大小(12cm); 笔 tpen = defaultpen + 1.337; 实际 a = 39/5.0; 实际 b = 39/7.0; 对 B = MP("B", (0,0), dir(200)); 对 A = MP("A", (9,0), dir(-80)); 对 C = MP("C", (12,0), dir(-20)); 对 K = (6,10.392); 对 M = (a*B+(12-a)*K) / 12; 对 N = (b*C+(12-b)*K) / 12; 绘制(B--M--N--C--cycle, tpen); 绘制(M--A--N--cycle); 填充(M--A--N--cycle, mediumgrey); 对 shift = (-20.13, 0);对 B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); 对 A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); 对 C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]$

问题 10

有非零整数 $a$ 、 $b$ 、 $r$ 和， $s$ 使得复数 $r+si$ 是多项式的零点。对于和 $P(x)={x}^{3}-a{x}^{2}+bx-65$ 的每种可能组合，设为的零点之和。求和的所有可能组合的之和。 $a$ $b$ ${p}_{a,b}$ $P(x)$ ${p}_{a,b}$ $a$ $b$

问题11

Math 女士的幼儿园班级有 $16$ 注册学生。教室里有非常多的积木， $N$ 满足以下条件：

（a）如果班上有、或名学生，则在每种情况下，所有的积木都可以平等地分配给每个学生 $16$ ， $15$ 并且 $14$

(b) 有三个整数 $0<x<y<z<14$ ，当有 $x$ 、 $y$ 或名 $z$ 学生在场，并将积木数量相等地分配给每个学生时，恰好剩下三块积木。

$N$ 找出满足上述条件的最小可能值的不同素因数的和。

问题 12

设 $\bigtriangleup PQR$ 为三角形， $\角度 P = 75^o$ 且。在内画 $\角度 Q = 60^o$ 一个边长为 1 的正六边形，使边位于上，边位于上，其余顶点之一位于上。有正整数和，使得的面积可以表示为的形式，其中和互质，且 c 不能被任何质数的平方整除。求。 $ABCDEF$ $\三角PQR$ $\overline{AB}$ $\overline{PQ}$ $\overline{CD}$ $\overline{QR}$ $\overline{RP}$ $a,b,c,$ $d$ $\三角PQR$ $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ $a$ $d$ $a+b+c+d$