2013年 AIME II 数学邀请赛真题

2013年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

假设将一天的时间测量转换为公制，这样每天有 $10$ 公制小时，每个公制小时有 $100$ 公制分钟。然后就可以生产出可以 $\text{9:99}$ 在午夜前、 $\文本{0:00}$ 午夜时、上午 $\text{1:25}$ 前 $\text{3:00}$ 和 $\text{7:50}$ 下午前读数的数字时钟 $\text{6:00}$ 。转换后，想要在上午前醒来的人 $\text{6:36}$ 可以将他的新数字闹钟设置为 $\text{A:BC}$ ，其中 $\text{A}$ ， $\text{B}$ 和 $\text{C}$ 是数字。求 $100\text{A}+10\text{B}+\text{C}$ 。

问题 2

正整数 $a$ ，并 $b$ 满足条件 $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ 求出所有可能值的总和 $a+b$ 。

问题 3

一根大蜡烛 $119$ 高厘米。它被设计成在刚点燃时燃烧得更快，在接近底部时燃烧得更慢。具体来说，蜡烛 $10$ 从顶部燃烧第一厘米需要秒， $20$ 燃烧第二厘米需要秒， $10,000$ 燃烧第 - 厘米需要秒。假设蜡烛完全燃烧 $k$ 需要秒。那么点燃后几秒，蜡烛的高度（以厘米为单位）为。求。 $T$ $\tfrac{T}{2}$ $h$ $10小时$

问题4

在笛卡尔平面中设 $A = (1,0)$ 和。构造 $B = \left( 2, 2\sqrt{3} \right)$ 等边三角形，使得位于第一象限。设是的中心。则可写成，其中和是互质正整数，是不能被任何素数的平方整除的整数。求。 $ABC$ $加元$ $P=(x,y)$ $\三角形ABC$ $x \cdot y$ $\tfrac{p\sqrt{q}}{r}$ $p$ $r$ $q$ $p+q+r$

问题5

在等边形中 $\三角形ABC$ 设点 $D$ 和 $E$ 三等分 $\overline{BC}$ 。则可 $\sin(\angle DAE)$ 表示为形式 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 为互质正整数，为 $b$ 不能被任何素数的平方整除的整数。求 $a+b+c$ 。

问题 6

寻找最小正整数，使得以开头的连续整数 $N$ 集不包含整数的平方。 $1000$ $1000\cdot N$

问题 7

一组办事员被分配了整理文件的任务 $1775$ 。每个办事员每小时以恒定的速度整理 $30$ 文件。在第一个小时结束时，一些办事员被重新分配到另一项任务；在第二个小时结束时，相同数量的剩余办事员也被重新分配到另一项任务，在第三个小时结束时也会进行类似的分配。该组在 $3$ 几小时和 $10$ 几分钟内完成了整理工作。求在第一个半小时内整理的文件数量。

问题 8

一个内接于圆的六边形的边长依次为 $22$ 、 $22$ 、 $20$ 、 $22$ 、 $22$ 和 $20$ 。圆的半径可以写成 $p+\sqrt{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为正整数。求 $p+q$ 。

问题 9

棋盘上 $7\乘以 1$ 完全铺满了 $m\times 1$ 没有重叠的瓷砖；每块瓷砖可以覆盖任意数量的连续方格，每块瓷砖都完全位于棋盘上。每块瓷砖要么是红色的，要么是蓝色的，要么是绿色的。设 $N$ 为棋盘上至少使用过一次三种颜色的瓷砖的数量 $7\乘以 1$ 。例如， $1\乘以 1$ 红色瓷砖后面跟着 $2\乘以 1$ 绿色瓷砖、 $1\乘以 1$ 绿色瓷砖、 $2\乘以 1$ 蓝色瓷砖和 $1\乘以 1$ 绿色瓷砖，这是有效的瓷砖。请注意，如果 $2\乘以 1$ 用两个蓝色瓷砖替换蓝色瓷砖 $1\乘以 1$ ，则会导致不同的瓷砖。当 $N$ 除以时，求余数 $1000$ 。

问题 10

给定一个半径为的圆 $\sqrt{13}$ ，设 $A$ 为距圆心的点 $4 + \sqrt{13}$ 。 $O$ 设 $B$ 为圆上离点最近的点 $A$ 。过该点的直线与 $A$ 圆相交于点 $K$ 和 $L$ 。的最大可能面积 $\三角形BKL$ 可以写成的形式 $\frac{a - b\sqrt{c}}{d}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 为正整数， $a$ 且 $d$ 为互质，且不 $c$ 能被任何质数的平方整除。求 $a+b+c+d$ 。

问题11

设，设为集合中函数的个数，使得 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 为常数函数。求除以时的余数。 $N$ $f$ $A$ $A$ $f(f(x))$ $N$ $1000$

问题 12

设 $S$ 为所有形式为的多项式的集合 $z^3 + az^2 + bz + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。求出中的多项式个数 $S$ ，使得其每个根 $z$ 满足 $|z| = 20$ 或 $|z| = 13$ 。

问题 13

在中 $\三角形ABC$ ，，且上的 $AC = BC$ 点为，使得。设为的中点。已知和，的面积可表示为的形式，其中和为正整数，且不能被任何素数的平方整除。求。 $D$ $\overline{BC}$ $CD = 3\cdot BD$ $E$ $\overline{AD}$ $CE = \sqrt{7}$ $BE = 3$ $\三角形ABC$ $m\sqrt{n}$ $百万$ $n$ $n$ $m+n$

问题14

对于正整数 $n$ 和 $k$ ，设为除以 $f(n, k)$ 时的余数，设为。求除以时的余数。 $n$ $k$ $n> 1$ $F(n) = \max_{\substack{1\le k\le \frac{n}{2}}} f(n, k)$ $\sum\limits_{n=20}^{100} F(n)$ $1000$

问题15

设 $A,B,C$ 是锐角三角形的内角， $\begin{align*} \cos^2 A + \cos^2 B + 2 \sin A \sin B \cos C &= \frac{15}{8} \text{ 和} \\ \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \sin B \sin C \cos A &= \frac{14}{9} \end{align*}$ 有正整数 $p$ ，，，和，其中和互质， $q$ 不能被任何质数的平方整除。求。 $r$ $s$ $\cos^2 C + \cos^2 A + 2 \sin C \sin A \cos B = \frac{pq\sqrt{r}}{s},$ $p+q$ $s$ $r$ $p+q+r+s$