2014年 AIME II 数学邀请赛真题

2014年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

Abe 可以在 15 小时内粉刷完房间，Bea 的粉刷速度比 Abe 快 50%，而 Coe 的粉刷速度是 Abe 的两倍。Abe 开始粉刷房间，前一个半小时他独自工作。然后 Bea 加入 Abe，他们一起工作，直到粉刷完一半的房间。然后 Coe 加入 Abe 和 Bea，他们一起工作，直到粉刷完整个房间。求出 Abe 开始工作后他们三个人完成粉刷房间所需的分钟数。

问题 2

阿诺德正在研究男性群体中三个健康风险因素（分别表示为 A、B 和 C）的流行程度。对于这三个因素中的每一个，在群体中随机选择的一名男性只具有这一个风险因素（而没有其他风险因素）的概率为 0.1。对于这三个因素中的任意两个，随机选择的一名男性恰好具有这两个风险因素（但没有第三个风险因素）的概率为 0.14。假设一名随机选择的男性具有 A 和 B，则他同时具有所有三个风险因素的概率为 $\frac{1}{3}$ 。假设一名男性没有风险因素 A，则他同时不具有这三个风险因素中的任何一个的概率为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 3

一个矩形的边长为 $a$ 和 36。在矩形的每个顶点以及每条边长为 36 的中点处都安装了一个铰链。 $a$ 可以将长度为的边压向彼此，使这两条边保持平行，这样矩形就变成了如图所示的凸六边形。当图形为六边形，且长度为的边 $a$ 平行且相距 24 时，六边形的面积与原始矩形相同。求 $a^2$ 。

$[asy] 对 A、B、C、D、E、F、R、S、T、X、Y、Z；dotfactor = 2；unitsize(.1cm)；A = (0,0);B = (0,18);C = (0,36);//不要看这里D = (12*2.236, 36);E = (12*2.236, 18);F = (12*2.236, 0);draw(A--B--C--D--E--F--cycle);dot(" ",A,NW);dot(" ",B,NW);dot(" ",C,NW);dot(" ",D,NW);dot(" ",E,NW);dot(" ",F,NW);//不要看这里R = (12*2.236 +22,0); S = (12*2.236 + 22 - 13.4164,12); T = (12*2.236 + 22,24); X = (12*4.472+ 22,24); Y = (12*4.472+ 22 + 13.4164,12); Z = (12*4.472+ 22,0); draw(R--S--T--X--Y--Z--cycle); dot(" ",R,NW); dot(" ",S,NW); dot(" ",T,NW); dot(" ",X,NW); dot(" ",Y,NW); dot(" ",Z,NW); // sqrt180 = 13.4164 // sqrt5 = 2.236[/asy]$

问题4

循环小数 $0.abab\overline{ab}$ 并 $0.abcabc\overline{abc}$ 满足

$0.abab\overline{ab}+0.abcabc\overline{abc}=\frac{33}{37},$

其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是（不一定是不同的）数字。求三位数 $abc$ 。

问题5

实数 $r$ 和 $s$ 是的根 $p(x)=x^3+ax+b$ ，而 $r+4$ 和 $s-3$ 是的根 $q(x)=x^3+ax+b+240$ 。求出所有可能值的和 $|b|$ 。

问题 6

查尔斯有两个六面骰子。其中一个骰子是公平的，另一个骰子有偏差，因此它出现六的概率为， $\frac{2}{3}$ 而其他五个面的概率均为 $\frac{1}{15}$ 。查尔斯随机选择两个骰子中的一个并掷三次。假设前两次掷出的都是六，那么第三次掷出的也是六的概率为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 7

设 $f(x)=(x^2+3x+2)^{\cos(\pi x)}$ 。求出所有正整数的和， $n$ 满足 $\left |\sum_{k=1}^n\log_{10}f(k)\right|=1.$

问题 8

半径 $加元$ 为2的圆直径为 $\overline{AB}$ 。圆 $D$ 在处内切于圆 $加元$ 。 $A$ 圆 $E$ 内切于圆 $加元$ ，外切于圆 $D$ ，并切于 $\overline{AB}$ 。圆的半径 $D$ 是圆半径的三倍 $E$ ，可以写成的形式 $\sqrt{m}-n$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数。求 $m+n$ 。

问题 9

十把椅子围成一圈。求这组椅子中至少包含三把相邻椅子的子集的数量。

问题 10

设 $z$ 为复数，且。 $|z|=2014$ 设 $P$ 为复平面上的多边形，其顶点为， $z$ 且， $w$ 使得 $\frac{1}{z+w}=\frac{1}{z}+\frac{1}{w}$ 。则所围面积 $P$ 可写成的形式 $n\sqrt{3}$ ，其中 $n$ 为整数。求 $n$ 除以后的余数。 $1000$

问题11

在中 $\triangle 红色$ ， $\measuredangle DRE=75^{\circ}$ 且 $\measuredangle RED=45^{\circ}$ 。 $RD=1$ 设 $M$ 为线段的中点 $\overline{RD}$ 。点 $加元$ 位于边， $\overline{ED}$ 使得 $\overline{RC}\perp\overline{EM}$ 。延伸线段 $\overline{DE}$ 至 $E$ 点， $A$ 使得 $CA=AR$ 。则 $AE=\frac{a-\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 为互质正整数，且 $b$ 为正整数。求 $a+b+c$ 。