2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

问题 1

运动鞋鞋带的 8 个鞋眼都位于一个矩形上，长边上各有 4 个鞋眼，间距相等。矩形宽 50 毫米，长 80 毫米。矩形的每个顶点都有一个鞋眼。鞋带本身必须沿着矩形的一条宽边穿过顶点鞋眼，然后在连续的鞋眼之间交叉，直到到达矩形另一条宽边的两个鞋眼，如图所示。穿过最后的鞋眼后，鞋带的每一端必须延伸至少 200 毫米，以便打结。求出鞋带的最小长度（以毫米为单位）。

$[asy] 尺寸（200）；默认笔（线宽（0.7））；路径 laceL=（-20，-30）..张力 0.75 ..（-90，-135）..（-102，-147）..（-152，-150）..张力 2 ..（-155，-140）..（-135，-40）..（-50，-4）..张力 0.8 ..原点；路径 laceR=reflect（（75,0），（75，-240））*laceL；绘制（原点--（0，-240）--（150，-240）--（150,0）--循环，灰色）； for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]$

问题 2

一个瓮里有 $4$ 绿球和 $6$ 蓝球。另一个瓮里有 $16$ 绿球和 $N$ 蓝球。从每个瓮中随机抽取一个球。两个球颜色相同的概率是 $0.58$ 。求 $N$ 。

问题 3

求有理数的数量 $r$ ， $0<r<1,$ 当 $r$ 写成最低项的分数时，分子与分母的和为 $1000$ 。

问题4

乔恩和史蒂夫沿着一条与东西方向两条并排的火车轨道平行的路径骑自行车。乔恩以 $20$ 每小时英里的速度向东骑行，史蒂夫以 $20$ 每小时英里的速度向西骑行。两列长度相等的火车以恒定但不同的速度向相反的方向行驶，每列火车都经过这两名乘客。每列火车经过 $1$ 乔恩的时间恰好是分钟。西行的火车经过 $10$ 史蒂夫的时间与东行的火车一样长。每列火车的长度为 $\tfrac{m}{n}$ 英里，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题5

假设集合 $S = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\}$ 由一个正边形的十二个顶点组成 $12$ 。如果存在一个圆，使得的所有点都在圆内，而的所有不在圆内的点都在圆外，则 $Q$ 的子集被称为公有子集。有多少个公有子集？（请注意，空集是公有子集。） $S$ $Q$ $S$ $Q$

问题 6

图 $y = 3(xh)^2 + j$ 和的 $y = 2(xh)^2 + k$ y 截距分别为 $2013$ 和 $2014$ ，且每个图都有两个正整数 x 截距。求 $h$ 。

问题 7

设 $w$ 和 $z$ 为复数，且 $|w| = 1$ 和 $|z| = 10$ 。设 $\theta = \arg \left(\tfrac{wz}{z}\right)$ 。的最大可能值 $\tan^2 \theta$ 可以写成 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。（注意 $\arg(w)$ ，对于，表示从到 $w \neq 0$ 的射线与复平面中的正实轴所成的角度的度数。） $0$ $w$

问题 8

正整数 $N$ 和以十进制表示时， $N^2$ 结尾都是相同的四位数序列，其中数字不为零。求三位数。 $abcd$ $a$ $abc$

问题 9

设 $x_1<x_2<x_3$ 是方程的三个实根 $\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ 。求 $x_2(x_1+x_3)$ 。

问题 10

半径为的圆盘与 $1$ 半径为的圆盘外切 $5$ 。设 $A$ 为圆盘切点， $加元$ 为小圆盘中心， $E$ 为大圆盘中心。大圆盘保持不动，小圆盘可以沿大圆盘外侧滚动，直到小圆盘旋转的角度。 $360^\circ$ 也就是说，如果小圆盘中心移动到点 $D$ ，小圆盘上从开始的点 $A$ 现在移动到点 $B$ ，则 $\overline{AC}$ 平行于 $\overline{BD}$ 。然后 $\sin^2(\angle BEA)=\tfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题11

$(0,0)$ 一个标记从 - 坐标网格的点开始 $xy$ ，然后进行六次移动。每次移动都是在与其中一个坐标轴平行的方向上移动 1 个单位。每次移动都是从四个可能的方向中随机选择的，并且与其他移动无关。标记在图形上某个点结束的概率 $|y|=|x|$ 是 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 12

设 $A=\{1,2,3,4\}$ ，和 $f$ 和是从到 $g$ 随机选取的（不一定不同）函数。的范围和的范围不相交的概率为，其中和是互质正整数。求。 $A$ $A$ $f$ $g$ $\tfrac{m}{n}$ $百万$ $n$ $百万$

问题 13

在正方形上 $ABCD$ ，点 $E,F,G$ 、和分别 $H$ 位于边 $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},$ 和上 $\overline{DA},$ ，使得 $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ 和 $EG=FH = 34$ 。线段 $\overline{EG}$ 和 $\overline{FH}$ 相交于点，四边形和 $P$ 的面积比为求正方形的面积。 $AEPH、BFPE、CGPF,$ $DHPG$ $269:275:405:411.$ $ABCD$

$[asy] 对 A = (0,sqrt(850));对 B = (0,0)；对 C = (sqrt(850),0);对 D = (sqrt(850),sqrt(850));绘制（A--B--C--D--循环）；点因子 = 3；点(“$A$”,A,dir(135));点(“$B$”,B,dir(215));点(“$C$”,C,dir(305));点(“$D$”,D,dir(45));对 H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850));对 F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0);点(“$H$”,H,dir(90));点（“$F$”，F，dir（270））；绘制（H--F）；对 E = (0，（sqrt（850）-6）/2）；对 G = (sqrt（850） ,(sqrt(850)+sqrt(100))/2); 点("$E$",E,dir(180)); 点("$G$",G,dir(0)); 绘制( E--G); 对 P = 扩展（H，F，E，G）；点（“$P$”，P，dir（60））；标签（“$w$”，交点（A--P , E--H )); 标签("$x$", 交点( B--P, E--F )); 标签("$y$", 交点( C--P, G--F ) ); 标签("$z$", 交点( D--P, G--H ));[/asy]$