2015年 AIME II 数学邀请赛真题

2015年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为既比一个整数小百分之几又比另一个整数大百分之几 $N$ 的最小正整数。求除以时的余数。 $22$ $16$ $N$ $1000$

问题 2

在一所新学校中， $40$ 百分之的学生是新生， $30$ 百分之是二年级学生， $20$ 百分之是三年级学生， $10$ 百分之是四年级学生。所有新生都必须选修拉丁语， $80$ 百分之的二年级学生、 $50$ 百分之的三年级学生和 $20$ 百分之的四年级学生选择选修拉丁语。随机选择的拉丁学生是二年级学生的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 3

设 $百万$ 为能被整除的最小正整数， $17$ 其各位数字之和为 $17$ 。求 $百万$ 。

问题4

等腰梯形的两条平行底边的长度分别 $\log 3$ 为和 $\log 192$ ，两条底边的高的长度分别为 $\log 16$ 。梯形的周长可以写成的形式 $\log2^p3^q$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为正整数。求 $p + q$ 。

问题5

从单位正方形网格中随机不重复地选择两个单位正方形 $n \乘以 n$ 。找出最小正整数 $n$ ，使得两个选定的单位正方形水平或垂直相邻的概率小于 $\frac{1}{2015}$ 。

问题 6

史蒂夫对乔恩说：“我正在考虑一个多项式，它的根都是正整数。这个多项式的形式 $P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)xc$ 为一些正整数 $a$ 和。你能告诉我和 $c$ 的值吗？” $a$ $c$

经过一番计算，乔恩说：“这样的多项式不止一个。”

史蒂夫说：“你说得对。这是的值 $a$ 。”他写下一个正整数并问：“你能告诉我的值吗 $c$ ？”

Jon 说：“ 仍然有两个可能的值 $c$ 。”

求出的两个可能值的总和 $c$ 。

问题 7

三角形 $ABC$ 的边长 $AB = 12$ 为、 $BC 美元 = 25 美元$ 和 $加元 = 17美元$ 。矩形的 $PQRS$ 顶点 $P$ 在 $\overline{AB}$ ，顶点 $Q$ 在 $\overline{AC}$ ，顶点 $R$ 和 $S$ 在 $\overline{BC}$ 。就边长而言 $PQ = w$ ，的面积 $PQRS$ 可以表示为二次多项式

$\text{面积}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$

然后系数 $\beta = \frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 8

设 $a$ 和 $b$ 为满足的正整数 $\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$ 。的最大可能值为 $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ ， $\frac{p}{q}$ 其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 9

一个圆柱形桶，桶半径为 $4$ 英尺，高度为英尺，桶内 $10$ 装满水。将一个边长为 $8$ 英尺的立方体放入桶中，使立方体的对角线垂直。这样排出的水的体积为 $v$ 立方英尺。求 $v^2$ 。

$[asy] 导入三个；导入固体；尺寸（5cm）；当前投影=正交（1，-1/6,1/6）；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,360）），白色，无光）；三重A =（8*sqrt（6）/3,0,8*sqrt（3）/3），B = (-4*sqrt（6）/3,4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），C = (-4*sqrt（6）/3,-4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），X = (0,0，-2*sqrt（2））；绘制（X--X+A--X+A+B--X+A+B+C）；绘制（X--X+B--X+A+B）；绘制（X--X+C--X+A+C--X+A+B+C）；绘制（X+A--X+A+C）；绘制（X+C--X+C+B--X+A+B+C，线型（“2 4”））；绘制（X+B--X+C+B，线型（“2 4”））；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,240）），白色，无光）；绘制（（-2，-2*sqrt（3），0）..（4,0,0）..（-2,2*sqrt（3），0））；绘制((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..( 4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0));绘制((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]$

问题 10

如果对于每个，则称 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 整数的排列 $1, 2, \ldots, n$ 为准增排列。例如，和是整数的准增排列，但不是。求整数的准增排列的数量。 $a_k \leq a_{k+1} + 2$ $1 \leq k \leq n-1$ $53421$ $14253$ $1、2、3、4、5 美元$ $45123$ $1, 2, \ldots, 7$

问题11

锐角的外接圆 $\三角形ABC$ 有中心 $O$ 。通过点的 $O$ 垂直线与线和分别在和 $\overline{OB}$ 相交。此外，，，和，其中和是互质正整数。求。 $AB$ $BC$$ $P$ $Q$ $AB=5$ $BC=4$ $BQ=4.5$ $BP=\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$