2015年 AIME I 数学邀请赛真题

2015年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

表达式 $A$ = $1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$ 和 $B$ =是通过在连续整数之间交替写入乘法和加法运算符而得到的。求整数和 $1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$ 之间的正差。 $A$ $B$

问题 2

经济合作会议的九名代表包括 $2$ 墨西哥、 $3$ 加拿大和 $4$ 美国的官员。在开幕式上，有三名代表睡着了。假设三名睡着者是随机确定的，那么恰好两名睡着者来自同一个国家的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 3

存在一个素数 $p$ ，使得 $16p+1$ 是某个正整数的立方。求 $p$ 。

问题4

点 $B$ 位于线段 $\overline{AC}$ 和 $AB=16$ 上 $BC=4$ 。点 $D$ 和 $E$ 位于线的同一侧， $AC$ 形成等边三角形 $\三角形ABD$ 和 $\triangle BCE$ 。设 $M$ 为的中点 $\overline{AE}$ ， $N$ 为的中点 $\overline{CD}$ 。的面积 $\三角形BMN$ 为 $x$ 。求 $x^2$ 。

问题5

桑迪的抽屉里有 $5$ 几双袜子，每双颜色不同。星期一，桑迪 $10$ 从抽屉里的袜子中随机挑选两只袜子。星期二，桑迪随机挑选 $2$ 剩下的 $8$ 袜子，星期三，桑迪 $6$ 随机挑选剩下的两只袜子。星期三是桑迪第一次挑选匹配袜子的概率是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 6

点 $A,B,C,D,$ 和 $E$ 等距分布在一个圆的优弧上。点 $E,F,G,H,I$ 和 $A$ 等距分布在第二个圆的优弧上，圆心 $加元$ 如下图所示。角度 $\角度ABD$ 超过 $\角度AHG$ 。 $12^\circ$ 求度数 $\角度袋$ 。

$[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,I,O; O=(0,0); C=dir(90); B=dir(70); A=dir(50); D=dir(110); E=dir(130); draw(arc(O,1,50,130)); real x=2*sin(20*pi/180); F=x*dir(228)+C; G=x*dir(256)+C; H=x*dir(284)+C; I=x*dir(312)+C; draw(arc(C,x,200,340)); label("$A$",A,dir(0)); label("$B$",B,dir(75)); label("$C$",C,dir(90)); label("$D$",D,dir(105));标签(“$E$”,E,目录(180));标签(“$F$”,F,目录(225));标签（“$G$”，G，目录（260））；标签(“$H$”,H,目录(280));标签(“$I$”,I,dir(315));[/asy]$

问题 7

下图中， $ABCD$ 为正方形。点 $E$ 为的中点 $\overline{AD}$ 。点 $F$ 和 $黄金$ 分别位于上 $\overline{CE}$ ，和 $H$ 分别 $J$ 位于 $\overline{AB}$ 和上 $\overline{BC}$ ，故为 $FGHJ$ 正方形。点 $K$ 和 $L$ 分别位于上 $\overline{GH}$ ，和 $M$ 分别 $N$ 位于 $\overline{AD}$ 和上 $\overline{AB}$ ，故 $吉隆坡$ 为正方形。的面积 $吉隆坡$ 为 99。求的面积 $FGHJ$ 。

$[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N; B=(0,0); real m=7*sqrt(55)/5; J=(m,0); C=(7*m/2,0); A=(0,7*m/2); D=(7*m/2,7*m/2); E=(A+D)/2; H=(0,2m); N=(0,2m+3*sqrt(55)/2); G=foot(H,E,C); F=foot(J,E,C); draw(A--B--C--D--cycle); draw(C--E); draw(G--H--J--F); 对 X=foot(N,E,C); M=extension(N,X,A,D); K=foot(N,H,G); L=foot(M,H,G);画(K--N--M--L);标签（“$A$”，A，NW）；标签（“$B$”，B，SW）；标签（“$C$”，C，SE）；标签（“$D$”，D，NE）；标签（“$E$”，E，目录（90））；标签（“$F$”，F，NE）；标签（“$G$”，G，NE）；标签（“$H$”，H，W）；标签（“$J$”，J，S）；标签（“$K$”，K，SE）；标签（“$L$”，L，SE）；标签(“$M$”,M,目录(90));标签(“$N$”,N,dir(180)); [/asy]$

问题 8

对于正整数 $n$ ，设 $s(n)$ 表示的数字之和 $n$ 。找出满足的最小正整数 $s(n) = s(n+864) = 20$ 。

问题 9

设为 $S$ 所有的有序整数三元组的集合。中的每个有序三元组都根据的规则生成一个序列。求出其中某些的序列的数量。 $(a_1,a_2,a_3)$ $1 ≤ a_1,a_2,a_3 ≤ 10$ $S$ $a_n=a_{n-1}\cdot | a_{n-2}-a_{n-3} |$ $n\ge 4$ $a_n=0$ $n$