2008年 AIME II 数学邀请赛真题

2008年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设 $N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 + 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2$ ，其中加法和减法交替进行。求 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 2

鲁道夫以恒定的速度骑行，每骑行一英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗以恒定的速度骑行，速度是鲁道夫的四分之三，但詹妮弗每骑行两英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗和鲁道夫同时开始骑行，并 $50$ 同时到达 - 英里标记。他们花了多少分钟？

问题 3

一块长方体奶酪，尺寸为 $10$ 10 x $13$ 10 x $14$ 10 cm。将奶酪切成 10 片。每片宽度为 $1$ 1 cm，平行于奶酪的一面。各个切片不一定彼此平行。切下 10 片后，剩余奶酪块的最大体积（立方厘米）是多少？

问题4

存在 $r$ 唯一的非负整数 $n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ 和 $r$ 整数 $a_k$ （ $1\le k\le r$ ），其中每个 $a_k$ 都是 $1$ 或， $- 1$ 并且 $a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008.$ 查找 $n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ 。

问题5

在的梯形中，设 $ABCD$ 和。设、和和分别为和的中点。求长度。 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ $BC 美元 = 1000 美元$ $AD = 2008$ $\角度 A = 37^\circ$ $\角度 D = 53^\circ$ $M$ $N$ $\overline{BC}$ $\overline{AD}$ $百万$

问题 6

该序列 $\{a_n\}$ 由 $a_0 = 1,a_1 = 1, \text{ 且 } a_n = a_{n - 1} + \frac {a_{n - 1}^2}{a_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.$ “ 查找” $\{b_n\}$ 定义。 $b_0 = 1,b_1 = 3, \text{ 且 } b_n = b_{n - 1} + \frac {b_{n - 1}^2}{b_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.$ $\frac {b_{32}}{a_{32}}$

问题 7

设 $r$ 、 $s$ 和 $t$ 分别为方程的三个根 $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ 求 $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$ 。

问题 8

令。求出使得为整数的 $a = \pi/2008$ 最小正整数。 $n$ $2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) + \cos(9a)\sin(3a) + \cdots + \cos(n^2a)\sin(呐）]$

问题 9

一个粒子位于处的坐标平面上 $(5,0)$ 。定义粒子的移动 $\pi/4$ 为绕原点逆时针旋转弧度，然后沿 $10$ 正方向平移单位 $x$ 。假设粒子 $150$ 移动后的位置为 $(p,q)$ ，找出小于或等于的最大整数 $|p| + |q|$ 。

问题 10

下图显示了一个 $4\times4$ 矩形点阵列，每个点都 $1$ 与其最近的邻居相距一个单位。

$[asy] unitize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i，j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j)); [/asy]$

将增长路径定义为数组中不同点的序列，其特性是序列中连续点之间的距离严格增加。设 $百万$ 为增长路径中可能的最大点数，设 $r$ 为恰好由点组成的增长路径的数量 $百万$ 。求 $先生$ 。

问题11

在三角形中 $ABC$ ， $AB = AC = 100$ ，和 $BC 元 = 56 美元$ 。圆的 $P$ 半径为，并与 $16$ 相切。圆与圆相切，并与相切。圆上无一点位于之外。圆的半径可以表示为，其中，和为正整数，且为不同素数的乘积。求。 $\overline{AC}$ $\overline{BC}$ $Q$ $P$ $\overline{AB}$ $\overline{BC}$ $Q$ $\bigtriangleup\overline{ABC}$ $Q$ $m-n\sqrt{k}$ $百万$ $n$ $k$ $k$ $m + nk$

问题 12

有两根可区分的旗杆，有面 $19$ 旗帜，其中面 $10$ 是相同的蓝旗，面 $9$ 是相同的绿旗。设为使用所有旗帜的可区分布置的数量，其中每根旗杆上至少有一面旗帜，并且两根旗杆上没有两面绿旗相邻。当除以 $N$ 时，求余数。 $N$ $1000$

问题 13

复平面中以原点为中心的正六边形具有相隔一个单位的相对边对。其中一对边与虚轴平行。设 $R$ 为六边形外部的区域，设 $S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$ 。则的面积 $S$ 形式为 $a\pi + \sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a + b$ 。