2008年 AIME I 数学邀请赛真题

2008年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在参加学校聚会的学生中， $60\%$ 有的学生是女生， $40\%$ 有的学生喜欢跳舞。当这些学生中又加入了 $20$ 更多喜欢跳舞的男生后，聚会就变成了 $58\%$ 女生聚会。现在聚会上有多少学生喜欢跳舞？

问题 2

正方形 $艾美$ 的边长为长度 $10$ 单位。等腰三角形的 $创业板$ 底边为，三角形和正方形 $EM$ 的公共面积为平方单位。求中高的长度为。 $创业板$ $艾美$ $80$ $EM$ $\triangle 宝石$

问题 3

艾德和苏以相等且恒定的速度骑自行车。同样，他们以相等且恒定的速度慢跑，并以相等且恒定的速度游泳。艾德 $74$ 在骑自行车几个 $2$ 小时、慢跑几个 $3$ 小时和游泳几个 $4$ 小时后才走了几公里，而苏 $91$ 在慢跑几个 $2$ 小时、游泳几个 $3$ 小时和骑自行车几个 $4$ 小时后才走了几公里。他们的骑自行车、慢跑和游泳速度都是每小时公里的整数倍。求出艾德骑自行车、慢跑和游泳速度的平方和。

问题4

存在唯一的正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + 84x + 2008 = y^2$ 。求 $x + y$ 。

问题5

一个直圆锥的底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 。该圆锥侧放在平坦的桌面上。当圆锥在桌面上滚动而不滑动时，圆锥底面与桌面的交点画出以顶点与桌面接触点为中心的圆弧。圆锥在完成 $17$ 旋转后首先回到桌面上的原始位置。的值 $h/r$ 可以写成的形式 $m\sqrt {n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数， $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m + n$ 。

问题 6

一个三角形数字数组，第一行由按递增顺序排列的奇数组成 $1,3,5,\ldots,99$ 。第一行下方的每一行都比其上方的行少一个条目，而底部一行只有一个条目。顶行之后的任何一行中的每个条目都等于其上一行中对角线上方两个条目的总和。数组中有多少个条目是的倍数 $67$ ？

问题 7

设 $S_i$ 为所有整数的集合， $n$ 满足 $100i\leq n < 100(i + 1)$ 。例如， $S_4$ 是集合 ${400,401,402,\ldots,499}$ 。有多少个集合 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ 不包含完全平方数？

问题 8

找到正整数， $n$ 使得

$\arctan\frac {1}{3} + \arctan\frac {1}{4} + \arctan\frac {1}{5} + \arctan\frac {1}{n} = \frac {\圆周率}{4}。$

问题 9

十个相同的板条箱，每个尺寸为 $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft。第一个板条箱平放在地板上。其余九个板条箱依次平放在前一个板条箱的顶部，每个板条箱的方向都是随机选择的。设 $\frac {m}{n}$ 为板条箱堆正好高 ft 的概率 $41$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $百万$ 。

问题 10

设 $ABCD$ 是等腰梯形， $\overline{AD}||\overline{BC}$ 其长底角 $\overline{AD}$ 为 $\dfrac{\pi}{3}$ 。对角线长度为 $10\sqrt {21}$ ，点为，与顶点和 $E$ 的距离分别为和。设是从到的高的底边。距离可以表示为形式，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除。求。 $10\sqrt {7}$ $30\sqrt {7}$ $A$ $D$ $F$ $加元$ $\overline{AD}$ $EF$ $m\sqrt {n}$ $百万$ $n$ $n$ $m + n$

问题11

考虑完全由 $A$ 和组成的序列 $B$ ，其特性是连续的每个 $A$ 序列长度为偶数，而连续的每个序列 $B$ 长度为奇数。此类序列的示例有 $AA$ 、 $B$ 和， $AABAA$ 而 $BBAB$ 不是此类序列。有多少个此类序列的长度为 14？

问题 12

在一条长而直的单向单车道公路上，所有车辆都以相同的速度行驶，并遵守安全规则：前车尾部到后车尾部的距离，每以 15 公里/小时的速度或其分数表示，正好是一辆车的长度（因此，以 52 公里/小时行驶的汽车的车头将落后于前车车头四辆车的长度。）路边的光电眼会计算一小时内通过的汽车数量。假设每辆车长 4 米，汽车可以以任何速度行驶，设 $M$ 为一小时内通过光电眼的最大整数汽车数。求当 $M$ 除以 10 时的商。

问题 13

让 $p(x,y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_3x^2 + a_4xy + a_5y^2 + a_6x^3 + a_7x^2y + a_8xy^2 + a_9y^3$ 。

假设 $p(0,0) = p(1,0) = p( - 1,0) = p(0,1) = p(0, - 1) = p(1,1) = p(1, - 1) = p(2,2) = 0$ 。

$\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right)$ 对于 $p\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right) = 0$ 所有这样的多项式，存在一个点，其中 $a$ ，， $b$ 和 $c$ 为正整数， $a$ 和 $c$ 互质，且 $c> 1$ 。求 $a + b + c$ 。