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2013年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2013年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

AIME 铁人三项赛包括半英里游泳、30 英里自行车骑行和八英里跑步。汤姆以恒定的速度游泳、骑自行车和跑步。他的跑步速度是游泳速度的五倍，骑自行车的速度是跑步速度的两倍。汤姆在四个半小时内完成了 AIME 铁人三项赛。他骑自行车花了多少分钟？

问题 2

$n$求出满足以下条件的 五位正整数的数量：

（a）该数字$n$可以被整除$5,$（b）的首位数字和末位数字$n$相等，并且（c） 的数字$n$之和可以被整除5 美元

问题 3

设$ABCD$是一个正方形，设和$E$分别是和$F$上的点。过平行线和过平行线的线将正方形分成两个正方形和两个非正方形的矩形。两个正方形的面积之和为正方形的面积求$\overline{AB}$$\overline{BC},$$E$$\overline{BC}$$F$$\overline{AB}$$ABCD$$\frac{9}{10}$$ABCD.$$\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

问题4

在下面显示的正方形数组中$13$，$8$正方形被涂成红色，其余$5$正方形被涂成蓝色。如果随机选择所有可能的颜色之一，则所选颜色数组在$90^{\circ}$围绕中心正方形旋转时出现相同的概率为$\frac{1}{n}$，其中$n$为正整数。求$n$。

[asy] 绘制((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0)); 绘制((2,0)--(2,2)--(3,2)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(4,1)--(4,0)--(2,0)); 绘制((1,2)--(1,4)--(0,4)--(0,2)--(0,3)--(1,3)--(-1,3)--(-1,2)--(1,2)); 绘制((-1,1)--(-3,1)--(-3,0)--(-1,0)--(-2,0)--(-2,1)--(-2,-1)--(-1,-1)--(-1,1));绘制（（0，-1）--（0，-3）--（1，-3）--（1，-1）--（1，-2）--（0，-2）--（2，-2）--（2，-1）--（0，-1））；大小（100）；[/asy]

问题5

该方程的实数根$8x^3-3x^2-3x-1=0$可以写成 的形式$\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$，其中$a$、$b$和$c$为正整数。求$a+b+c$。

问题 6

梅琳达有三个空盒子和$12$教科书，其中三本是数学教科书。一个盒子可以装她的任意三本教科书，一个盒子可以装她的任意四本教科书，一个盒子可以装她的任意五本教科书。如果梅琳达以随机顺序将她的教科书装入这些盒子，那么所有三本数学教科书最终都装在同一个盒子中的概率可以写成$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 7

一个矩形盒子的宽度为$12$英寸，长度为$16$英寸，高度为$\frac{m}{n}$英寸，其中$百万$和$n$是互质正整数。盒子的三个面在盒子的一个角相交。这三个面的中心点是面积为$30$平方英寸的三角形的顶点。求$m+n$。

问题 8

函数的定义域$f(x) = \arcsin(\log_{m}(nx))$是长度为 的一个闭区间$\frac{1}{2013}$，其中$百万$和$n$为正整数和。求除以$m> 1$后的最小可能和的余数。 $m+n$$1000$

问题 9

一个纸质等边三角形，$ABC$边长为$12$。将纸质三角形折叠起来，使顶点与距离的$A$边上的一点相切。折叠三角形所沿的线段长度可以写成，其中、和为正整数，和互质，且不能被任何质数的平方整除。求。 $\overline{BC}$$9$$B$$\frac{m\sqrt{p}}{n}$$百万$$n$$p$$百万$$n$$p$$m+n+p$

[asy] 导入 cse5; 大小(12cm); 笔 tpen = defaultpen + 1.337; 实际 a = 39/5.0; 实际 b = 39/7.0; 对 B = MP("B", (0,0), dir(200)); 对 A = MP("A", (9,0), dir(-80)); 对 C = MP("C", (12,0), dir(-20)); 对 K = (6,10.392); 对 M = (a*B+(12-a)*K) / 12; 对 N = (b*C+(12-b)*K) / 12; 绘制(B--M--N--C--cycle, tpen); 绘制(M--A--N--cycle); 填充(M--A--N--cycle, mediumgrey); 对 shift = (-20.13, 0);对 B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); 对 A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); 对 C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]

问题 10

有非零整数$a$、$b$、$r$和，$s$使得复数$r+si$是多项式的零点。对于和$P(x)={x}^{3}-a{x}^{2}+bx-65$的每种可能组合，设为 的零点之和。求和 的所有可能组合的 之和。 $a$$b$${p}_{a,b}$$P(x)$${p}_{a,b}$$a$$b$

问题11

Math 女士的幼儿园班级有$16$注册学生。教室里有非常多的积木，$N$满足以下条件：

（a）如果班上有 、 或 名学生，则在每种情况下，所有的积木都可以平等地分配给每个学生 $16$，$15$并且$14$

(b) 有三个整数$0<x<y<z<14$，当有$x$、$y$或 名$z$学生在场，并将积木数量相等地分配给每个学生时，恰好剩下三块积木。

$N$找出满足上述条件 的最小可能值的不同素因数的和。

问题 12

设$\bigtriangleup PQR$为三角形，$\角度 P = 75^o$且。在 内画$\角度 Q = 60^o$一个边长为 1 的正六边形，使 边位于 上， 边位于 上，其余顶点之一位于 上。有正整数和 ，使得 的面积可以表示为 的形式，其中和互质，且 c 不能被任何质数的平方整除。求。 $ABCDEF$$\三角PQR$$\overline{AB}$$\overline{PQ}$$\overline{CD}$$\overline{QR}$$\overline{RP}$$a,b,c,$$d$$\三角PQR$$\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$$a$$d$$a+b+c+d$

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2014年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

Abe 可以在 15 小时内粉刷完房间，Bea 的粉刷速度比 Abe 快 50%，而 Coe 的粉刷速度是 Abe 的两倍。Abe 开始粉刷房间，前一个半小时他独自工作。然后 Bea 加入 Abe，他们一起工作，直到粉刷完一半的房间。然后 Coe 加入 Abe 和 Bea，他们一起工作，直到粉刷完整个房间。求出 Abe 开始工作后他们三个人完成粉刷房间所需的分钟数。

问题 2

阿诺德正在研究男性群体中三个健康风险因素（分别表示为 A、B 和 C）的流行程度。对于这三个因素中的每一个，在群体中随机选择的一名男性只具有这一个风险因素（而没有其他风险因素）的概率为 0.1。对于这三个因素中的任意两个，随机选择的一名男性恰好具有这两个风险因素（但没有第三个风险因素）的概率为 0.14。假设一名随机选择的男性具有 A 和 B，则他同时具有所有三个风险因素的概率为$\frac{1}{3}$。假设一名男性没有风险因素 A，则他同时不具有这三个风险因素中的任何一个的概率为$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。

问题 3

一个矩形的边长为$a$和 36。在矩形的每个顶点以及每条边长为 36 的中点处都安装了一个铰链。$a$可以将长度为 的边压向彼此，使这两条边保持平行，这样矩形就变成了如图所示的凸六边形。当图形为六边形，且长度为 的边$a$平行且相距 24 时，六边形的面积与原始矩形相同。求$a^2$。

[asy] 对 A、B、C、D、E、F、R、S、T、X、Y、Z；dotfactor = 2；unitsize(.1cm)；A = (0,0);B = (0,18);C = (0,36);//不要看这里D = (12*2.236, 36);E = (12*2.236, 18);F = (12*2.236, 0);draw(A--B--C--D--E--F--cycle);dot(" ",A,NW);dot(" ",B,NW);dot(" ",C,NW);dot(" ",D,NW);dot(" ",E,NW);dot(" ",F,NW);//不要看这里R = (12*2.236 +22,0); S = (12*2.236 + 22 - 13.4164,12); T = (12*2.236 + 22,24); X = (12*4.472+ 22,24); Y = (12*4.472+ 22 + 13.4164,12); Z = (12*4.472+ 22,0); draw(R--S--T--X--Y--Z--cycle); dot(" ",R,NW); dot(" ",S,NW); dot(" ",T,NW); dot(" ",X,NW); dot(" ",Y,NW); dot(" ",Z,NW); // sqrt180 = 13.4164 // sqrt5 = 2.236[/asy]

问题4

循环小数$0.abab\overline{ab}$并$0.abcabc\overline{abc}$满足

$0.abab\overline{ab}+0.abcabc\overline{abc}=\frac{33}{37},$

其中$a$、$b$和$c$是（不一定是不同的）数字。求三位数$abc$。

问题5

实数$r$和$s$是的根$p(x)=x^3+ax+b$，而$r+4$和$s-3$是的根$q(x)=x^3+ax+b+240$。求出所有可能值的和$|b|$。

问题 6

查尔斯有两个六面骰子。其中一个骰子是公平的，另一个骰子有偏差，因此它出现六的概率为 ，$\frac{2}{3}$而其他五个面的概率均为$\frac{1}{15}$。查尔斯随机选择两个骰子中的一个并掷三次。假设前两次掷出的都是六，那么第三次掷出的也是六的概率为$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。

问题 7

设$f(x)=(x^2+3x+2)^{\cos(\pi x)}$。求出所有正整数的和，$n$满足 $\left |\sum_{k=1}^n\log_{10}f(k)\right|=1.$

问题 8

半径加元为2的圆直径为$\overline{AB}$。圆$D$在 处内切于圆加元。$A$圆$E$内切于圆加元，外切于圆$D$，并切于$\overline{AB}$。圆的半径$D$是圆 半径的三倍$E$，可以写成 的形式$\sqrt{m}-n$，其中$百万$和$n$为正整数。求$m+n$。

问题 9

十把椅子围成一圈。求这组椅子中至少包含三把相邻椅子的子集的数量。

问题 10

设$z$为复数，且。 $|z|=2014$设$P$为复平面上的多边形，其顶点为 ，$z$且 ，$w$使得$\frac{1}{z+w}=\frac{1}{z}+\frac{1}{w}$。则 所围面积$P$可写成 的形式$n\sqrt{3}$，其中$n$为整数。求$n$除以后的余数。$1000$

问题11

在 中$\triangle 红色$，$\measuredangle DRE=75^{\circ}$且$\measuredangle RED=45^{\circ}$。$RD=1$设$M$为线段 的中点$\overline{RD}$。点加元位于 边，$\overline{ED}$使得$\overline{RC}\perp\overline{EM}$。延伸线段$\overline{DE}$至$E$点，$A$使得$CA=AR$。则$AE=\frac{a-\sqrt{b}}{c}$，其中$a$和$c$为互质正整数，且$b$为正整数。求$a+b+c$。

问题 12

假设 的角$\三角形ABC$满足$\cos(3A)+\cos(3B)+\cos(3C)=1$。三角形的两条边的长度分别为 10 和 13。存在一个正整数$百万$，使得 剩余一条边的最大可能长度为$\三角形ABC$。$\sqrt{m}$求$百万$。

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2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

问题 1

运动鞋鞋带的 8 个鞋眼都位于一个矩形上，长边上各有 4 个鞋眼，间距相等。矩形宽 50 毫米，长 80 毫米。矩形的每个顶点都有一个鞋眼。鞋带本身必须沿着矩形的一条宽边穿过顶点鞋眼，然后在连续的鞋眼之间交叉，直到到达矩形另一条宽边的两个鞋眼，如图所示。穿过最后的鞋眼后，鞋带的每一端必须延伸至少 200 毫米，以便打结。求出鞋带的最小长度（以毫米为单位）。

[asy] 尺寸（200）；默认笔（线宽（0.7））；路径 laceL=（-20，-30）..张力 0.75 ..（-90，-135）..（-102，-147）..（-152，-150）..张力 2 ..（-155，-140）..（-135，-40）..（-50，-4）..张力 0.8 ..原点；路径 laceR=reflect（（75,0），（75，-240））*laceL；绘制（原点--（0，-240）--（150，-240）--（150,0）--循环，灰色）； for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]

问题 2

一个瓮里有$4$绿球和$6$蓝球。另一个瓮里有$16$绿球和$N$蓝球。从每个瓮中随机抽取一个球。两个球颜色相同的概率是$0.58$。求$N$。

问题 3

求有理数的数量$r$，$0<r<1,$当$r$写成最低项的分数时，分子与分母的和为$1000$。

问题4

乔恩和史蒂夫沿着一条与东西方向两条并排的火车轨道平行的路径骑自行车。乔恩以$20$每小时英里的速度向东骑行，史蒂夫以$20$每小时英里的速度向西骑行。两列长度相等的火车以恒定但不同的速度向相反的方向行驶，每列火车都经过这两名乘客。每列火车经过$1$乔恩的时间恰好是分钟。西行的火车经过$10$史蒂夫的时间与东行的火车一样长。每列火车的长度为$\tfrac{m}{n}$英里，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题5

假设集合$S = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\}$由一个正边形的十二个顶点组成$12$。如果存在一个圆，使得 的所有点都在圆内，而 的所有不在圆内的点都在圆外，则$Q$的子集被称为公有子集。有多少个公有子集？（请注意，空集是公有子集。） $S$$Q$$S$$Q$

问题 6

图$y = 3(xh)^2 + j$和的$y = 2(xh)^2 + k$y 截距分别为$2013$和$2014$，且每个图都有两个正整数 x 截距。求$h$。

问题 7

设$w$和$z$为复数，且$|w| = 1$和$|z| = 10$。设$\theta = \arg \left(\tfrac{wz}{z}\right)$。的最大可能值$\tan^2 \theta$可以写成$\tfrac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。（注意$\arg(w)$，对于，表示从到$w \neq 0$的射线与复平面中的正实轴所成的角度的度数。） $0$$w$

问题 8

正整数$N$和以十进制表示时，$N^2$结尾都是相同的四位数序列，其中数字不为零。求三位数。 $abcd$$a$$abc$

问题 9

设$x_1<x_2<x_3$是方程的三个实根$\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$。求$x_2(x_1+x_3)$。

问题 10

半径为 的圆盘与$1$半径为 的圆盘外切$5$。设$A$为圆盘切点，加元为小圆盘中心，$E$为大圆盘中心。大圆盘保持不动，小圆盘可以沿大圆盘外侧滚动，直到小圆盘旋转 的角度。$360^\circ$也就是说，如果小圆盘中心移动到点$D$，小圆盘上从 开始的点$A$现在移动到点$B$，则$\overline{AC}$平行于$\overline{BD}$。然后$\sin^2(\angle BEA)=\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题11

$(0,0)$一个标记从 - 坐标网格的点开始$xy$，然后进行六次移动。每次移动都是在与其中一个坐标轴平行的方向上移动 1 个单位。每次移动都是从四个可能的方向中随机选择的，并且与其他移动无关。标记在图形上某个点结束的概率$|y|=|x|$是$\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 12

设$A=\{1,2,3,4\}$，和$f$和是从到$g$随机选取的（不一定不同）函数。 的范围和 的范围不相交的概率为，其中和是互质正整数。求。 $A$$A$$f$$g$$\tfrac{m}{n}$$百万$$n$$百万$

问题 13

在正方形 上$ABCD$，点$E,F,G$、 和分别$H$位于边$\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},$和 上$\overline{DA},$，使得$\overline{EG} \perp \overline{FH}$和$EG=FH = 34$。线段$\overline{EG}$和$\overline{FH}$相交于点，四边形和$P$的面积比为求正方形 的面积。 $AEPH、BFPE、CGPF,$$DHPG$$269:275:405:411.$$ABCD$

[asy] 对 A = (0,sqrt(850));对 B = (0,0)；对 C = (sqrt(850),0);对 D = (sqrt(850),sqrt(850));绘制（A--B--C--D--循环）；点因子 = 3；点(“$A$”,A,dir(135));点(“$B$”,B,dir(215));点(“$C$”,C,dir(305));点(“$D$”,D,dir(45));对 H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850));对 F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0);点(“$H$”,H,dir(90));点（“$F$”，F，dir（270））；绘制（H--F）；对 E = (0，（sqrt（850）-6）/2）；对 G = (sqrt（850） ,(sqrt(850)+sqrt(100))/2); 点("$E$",E,dir(180)); 点("$G$",G,dir(0)); 绘制( E--G); 对 P = 扩展（H，F，E，G）； 点（“$P$”，P，dir（60））； 标签（“$w$”， 交点（A--P , E--H )); 标签("$x$", 交点( B--P, E--F )); 标签("$y$", 交点( C--P, G--F ) ); 标签("$z$", 交点( D--P, G--H ));[/asy]

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2015年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2015年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为既比一个整数小百分之几又比另一个整数大百分之几$N$的最小正整数。求除以时的余数。 $22$$16$$N$$1000$

问题 2

在一所新学校中，$40$百分之 的学生是新生，$30$百分之 是二年级学生，$20$百分之 是三年级学生，$10$百分之 是四年级学生。所有新生都必须选修拉丁语，$80$百分之 的二年级学生、$50$百分之 的三年级学生和$20$百分之 的四年级学生选择选修拉丁语。随机选择的拉丁学生是二年级学生的概率为$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 3

设$百万$为能被 整除的最小正整数，$17$其各位数字之和为$17$。求$百万$。

问题4

等腰梯形的两条平行底边的长度分别$\log 3$为 和$\log 192$，两条底边的高的长度分别为$\log 16$。梯形的周长可以写成 的形式$\log2^p3^q$，其中$p$和$q$为正整数。求$p + q$。

问题5

从单位正方形网格中随机不重复地选择两个单位正方形$n \乘以 n$。找出最小正整数$n$，使得两个选定的单位正方形水平或垂直相邻的概率小于$\frac{1}{2015}$。

问题 6

史蒂夫对乔恩说：“我正在考虑一个多项式，它的根都是正整数。这个多项式的形式$P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)xc$为一些正整数$a$和。你能告诉我和$c$的值吗？” $a$$c$

经过一番计算，乔恩说：“这样的多项式不止一个。”

史蒂夫说：“你说得对。这是 的值$a$。”他写下一个正整数并问：“你能告诉我 的值吗$c$？”

Jon 说：“ 仍然有两个可能的值$c$。”

求出 的两个可能值的总和$c$。

问题 7

三角形$ABC$的边长$AB = 12$为 、BC 美元 = 25 美元和加元 = 17美元。矩形的$PQRS$顶点$P$在$\overline{AB}$，顶点$Q$在$\overline{AC}$，顶点$R$和$S$在$\overline{BC}$。就边长而言$PQ = w$， 的面积$PQRS$可以表示为二次多项式

\[\text{面积}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.\]

然后系数$\beta = \frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 8

设$a$和$b$为满足的正整数$\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$。的最大可能值为$\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$，$\frac{p}{q}$其中$p$和$q$为互质正整数。求$p+q$。

问题 9

一个圆柱形桶，桶半径为$4$英尺，高度为英尺，桶内$10$装满水。将一个边长为$8$英尺的立方体放入桶中，使立方体的对角线垂直。这样排出的水的体积为$v$立方英尺。求$v^2$。

[asy] 导入三个；导入固体；尺寸（5cm）；当前投影=正交（1，-1/6,1/6）；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,360）），白色，无光）；三重A =（8*sqrt（6）/3,0,8*sqrt（3）/3），B = (-4*sqrt（6）/3,4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），C = (-4*sqrt（6）/3,-4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），X = (0,0，-2*sqrt（2））；绘制（X--X+A--X+A+B--X+A+B+C）；绘制（X--X+B--X+A+B）；绘制（X--X+C--X+A+C--X+A+B+C）；绘制（X+A--X+A+C）；绘制（X+C--X+C+B--X+A+B+C，线型（“2 4”））；绘制（X+B--X+C+B，线型（“2 4”））；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,240）），白色，无光）；绘制（（-2，-2*sqrt（3），0）..（4,0,0）..（-2,2*sqrt（3），0））；绘制((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..( 4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0));绘制((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]

问题 10

如果对于每个， 则称$a_1, a_2, \ldots, a_n$整数 的排列$1, 2, \ldots, n$ 为准增排列。例如，和是整数 的准增排列，但不是。求整数 的准增排列的数量。 $a_k \leq a_{k+1} + 2$$1 \leq k \leq n-1$$53421$$14253$1、2、3、4、5 美元$45123$$1, 2, \ldots, 7$

问题11

锐角的外接圆$\三角形ABC$有中心$O$。通过点的$O$垂直线与线和分别在和$\overline{OB}$相交。此外，，，和，其中和是互质正整数。求。 $AB$BC$$P$$Q$$AB=5$$BC=4$$BQ=4.5$$BP=\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 12

$2^{10} = 1024$可能存在$10$-字母字符串，其中每个字母都是 A 或 B。找出此类字符串中不包含超过 个$3$相邻相同字母的数量。

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2015年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2015年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

表达式$A$=$1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$和$B$=是通过在连续整数之间交替写入乘法和加法运算符而得到的。求整数和$1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$之间的正差。 $A$$B$

问题 2

经济合作会议的九名代表包括$2$墨西哥、$3$加拿大和$4$美国的官员。在开幕式上，有三名代表睡着了。假设三名睡着者是随机确定的，那么恰好两名睡着者来自同一个国家的概率为$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 3

存在一个素数$p$，使得$16p+1$是某个正整数的立方。求$p$。

问题4

点$B$位于线段$\overline{AC}$和$AB=16$上$BC=4$。点$D$和$E$位于线的同一侧，$AC$形成等边三角形$\三角形ABD$和$\triangle BCE$。设$M$为 的中点$\overline{AE}$，$N$为 的中点$\overline{CD}$。 的面积$\三角形BMN$为$x$。求$x^2$。

问题5

桑迪的抽屉里有$5$几双袜子，每双颜色不同。星期一，桑迪$10$从抽屉里的袜子中随机挑选两只袜子。星期二，桑迪随机挑选$2$剩下的$8$袜子，星期三，桑迪$6$随机挑选剩下的两只袜子。星期三是桑迪第一次挑选匹配袜子的概率是$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 6

点$A,B,C,D,$和$E$等距分布在一个圆的优弧上。点$E,F,G,H,I$和$A$等距分布在第二个圆的优弧上，圆心加元如下图所示。角度$\角度ABD$超过$\角度AHG$。$12^\circ$求度数$\角度袋$。

[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,I,O; O=(0,0); C=dir(90); B=dir(70); A=dir(50); D=dir(110); E=dir(130); draw(arc(O,1,50,130)); real x=2*sin(20*pi/180); F=x*dir(228)+C; G=x*dir(256)+C; H=x*dir(284)+C; I=x*dir(312)+C; draw(arc(C,x,200,340)); label("$A$",A,dir(0)); label("$B$",B,dir(75)); label("$C$",C,dir(90)); label("$D$",D,dir(105));标签(“$E$”,E,目录(180));标签(“$F$”,F,目录(225));标签（“$G$”，G，目录（260））；标签(“$H$”,H,目录(280));标签(“$I$”,I,dir(315));[/asy]

问题 7

下图中，$ABCD$为正方形。点$E$为 的中点$\overline{AD}$。点$F$和黄金分别位于 上$\overline{CE}$， 和$H$分别$J$位于$\overline{AB}$和上$\overline{BC}$，故 为$FGHJ$正方形。点$K$和$L$分别位于 上$\overline{GH}$， 和$M$分别$N$位于$\overline{AD}$和上$\overline{AB}$，故$吉隆坡$为正方形。 的面积$吉隆坡$为 99。求 的面积$FGHJ$。

[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N; B=(0,0); real m=7*sqrt(55)/5; J=(m,0); C=(7*m/2,0); A=(0,7*m/2); D=(7*m/2,7*m/2); E=(A+D)/2; H=(0,2m); N=(0,2m+3*sqrt(55)/2); G=foot(H,E,C); F=foot(J,E,C); draw(A--B--C--D--cycle); draw(C--E); draw(G--H--J--F); 对 X=foot(N,E,C); M=extension(N,X,A,D); K=foot(N,H,G); L=foot(M,H,G);画(K--N--M--L);标签（“$A$”，A，NW）；标签（“$B$”，B，SW）；标签（“$C$”，C，SE）；标签（“$D$”，D，NE）；标签（“$E$”，E，目录（90））；标签（“$F$”，F，NE）；标签（“$G$”，G，NE）；标签（“$H$”，H，W）；标签（“$J$”，J，S）；标签（“$K$”，K，SE）；标签（“$L$”，L，SE）；标签(“$M$”,M,目录(90));标签(“$N$”,N,dir(180)); [/asy]

问题 8

对于正整数$n$，设$s(n)$表示的数字之和$n$。找出满足的最小正整数$s(n) = s(n+864) = 20$。

问题 9

设为$S$所有 的有序整数三元组的集合。 中的每个有序三元组都根据的规则生成一个序列。 求出其中某些 的序列的数量。 $(a_1,a_2,a_3)$$1 ≤ a_1,a_2,a_3 ≤ 10$$S$$a_n=a_{n-1}\cdot | a_{n-2}-a_{n-3} |$$n\ge 4$$a_n=0$$n$

问题 10

设是满足Find 的$f(x)$实系数的三次多项式 。\[|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.\]$|f(0)|$

问题11

三角形的$ABC$边长为正整数，且$AB=AC$。设为和$我$的角平分线的交点。假设。求 的最小可能周长。 $\角度B$$\角度C$$BI=8$$\三角形ABC$

问题 12

考虑集合 的所有 1000 个元素子集$\{ 1, 2, 3, ... , 2015 \}$。从每个这样的子集中选择最小元素。所有这些最小元素的算术平均值为$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p + q$。

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2016年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

最初，亚历克斯、贝蒂和查理共有$444$花生。查理的花生最多，亚历克斯的花生最少。每个人拥有的三个花生数量形成一个等比级数。亚历克斯吃掉$5$他的花生，贝蒂吃掉$9$她的花生，查理吃掉$25$他的花生。现在每个人拥有的三个花生数量形成了一个等差级数。求出亚历克斯最初拥有的花生数量。

问题 2

$40\%$周六有下雨的概率，$30\%$周日也有下雨的概率。但是，如果周六下雨，周日下雨的概率是周六不下雨的两倍。本周末至少有一天下雨的概率是$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$是互质正整数。求$a+b$。

问题 3

设$x,y,$和$z$为满足系统实数\begin{align*} \log_2(xyz-3+\log_5 x)&=5,\\ \log_3(xyz-3+\log_5 y)&=4,\\ \log_4(xyz-3+\log_5 z)&=4。\end{align*}求出的值$|\log_5 x|+|\log_5 y|+|\log_5 z|$。

问题4

一个$a \乘以 b \乘以 c$矩形盒子由单位立方体构成$a \cdot b \cdot c$。每个单位立方体的颜色为红色、绿色或黄色。与盒子表面平行$a$的每层大小恰好包含红色立方体、绿色立方体和一些黄色立方体。与盒子表面平行的每层大小恰好包含绿色立方体、黄色立方体和一些红色立方体。求出盒子的最小可能体积。 $1 \乘以 b \乘以 c$$(b\乘以c)$$9$$12$$b$$a \times 1 \times c$$(a \times c)$$20$$25$

问题5

三角形$ABC_0$在 处有一个直角$C_0$。其边长是两两互质的正整数，其周长为$p$。设$C_1$为 的高脚到$\overline{AB}$，对于$n \geq 2$，设为中$C_n$的高脚到。和。求。 $\overline{C_{n-2}B}$$\三角形 C_{n-2}C_{n-1}B$$\sum_{n=2}^\infty C_{n-2}C_{n-1} = 6p$$p$

问题 6

对于多项式$P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^{2}$，定义 $Q(x)=P(x)P(x^{3})P(x^{5})P(x^{7})P(x^{9})=\sum_{i=0}^{50} a_ix^{i}$。然后$\sum_{i=0}^{50} |a_i|=\dfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 7

正方形$ABCD$和$EFGH$有共同的中心和$\overline{AB} || \overline{EF}$。的面积$ABCD$是2016，的面积$EFGH$是较小的正整数。正方形$IJKL$的构造使得它的每个顶点都位于的边上$ABCD$，而的每个顶点都$EFGH$位于的边上$IJKL$。求出面积的最大值和最小值之间的差值$IJKL$。

问题 8

$\{a,b,c\}$求出具有以下性质的三个不同正整数集的数量：$a,b,$和的乘积$c$等于$11,21,31,41,51,$和 的乘积$61$。

问题 9

正整数序列$1，a_2，a_3，...$和$1,b_2,b_3,...$分别是递增的等差序列和递增的等比序列。设$c_n=a_n+b_n$。存在一个整数$k$使得$c_{k-1}=100$和$c_{k+1}=1000$。求$ c_k$。

问题 10

三角形$ABC$内接于圆$\omega$。点$P$和$Q$位于 边$\overline{AB}$。$AP<AQ$射线CP$和分别在和 处再次$CQ$相交（ 除外）。若和，则，其中和为互质正整数。求。 $\omega$$S$$T$加元$AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,$$AS=7$$ST=\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题11

对于正整数$N$和$k$，如果存在一个正整数，并且恰好有正因数，则定义$N$为-nice 。找出小于的正整数的数量，既不是-nice的也不是-nice的。 $k$$a$$a^{k}$$N$$1000$$7$$8$

问题 12

下图显示了一个由六个小部分组成的环，您要将其涂在墙上。您有四种油漆颜色可供选择，您将为六个部分涂上纯色。如果相邻的两个部分不能涂上相同的颜色，请找出您可以选择的涂漆方式的数量。

[asy] 绘制（圆（（0,0），4））；绘制（圆（（0,0），3））；绘制（（0,4）--（0,3））；绘制（（0，-4）--（0，-3））；绘制（（-2.598，1.5）--（-3.4641，2））；绘制（（-2.598，-1.5）--（-3.4641，-2））；绘制（（2.598，-1.5）--（3.4641，-2））；绘制（（2.598，1.5）--（3.4641，2））；[/asy]

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2016年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

对于$-1<r<1$，设$S(r)$表示几何级数的和\[12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .\]设和$a$之间满足。求。 $-1$$1$$S(a)S(-a)=2016$$S(a)+S(-a)$

问题 2

两个骰子看起来是普通骰子，其面数从$1$到$6$，但每个骰子都有权重，因此掷出数字的概率$k$与 成正比。这对骰子$k$掷出 的概率是，其中和是互质正整数。求。 $7$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 3

正二十面体是一种$20$面体，每个面都是等边三角形，五个三角形在每个顶点处相交。下图所示的正二十面体顶部有一个顶点，底部有一个顶点，上部五边形有五个顶点，所有顶点都与顶部顶点相邻且位于同一水平面上，下部五边形有五个顶点，所有顶点都与底部顶点相邻且位于另一个水平面上。求从顶部顶点到底部顶点的路径数，使得路径的每一部分都沿着二十面体的一条边向下或水平延伸，并且没有重复的顶点。[asy] 尺寸(3cm); 对 A=(0.05,0),B=(-.9,-0.6),C=(0,-0.45),D=(.9,-0.6),E=(.55,-0.85),F=(-0.55,-0.85),G=B-(0,1.1),H=F-(0,0.6),I=E-(0,0.6),J=D-(0,1.1),K=C-(0,1.4),L=C+KA; 绘制(A--B--F--E--D--A--E--A--F--A^^B--G--F--K--G--L--J--K--E--J--D--J--L--K);绘制（B--C--D--C--A--C--H--I--C--H--G^^H--L--I--J^^I--D^^H--B，虚线）；点（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H^^I^^J^^K^^L）；[/asy]

问题4

一个直棱柱，其高为 ，$h$底面为正六边形，边长为$12$。$A$棱柱的一个顶点和其三个相邻顶点是三角锥的顶点。棱柱底面的棱锥面与不包含 的棱锥面形成的二面角（两个平面之间的角度）为$A$。$60^\circ$求$h^2$。

问题5

Anh 读了一本书。第一天，她在几分钟$n$内读完了页数$t$，其中$n$和$t$是正整数。第二天，Anh 读了$n + 1$几分钟$t + 1$。此后的每一天，Anh 都比前一天多读了一页，并且她花的时间比前一天多一分钟才读完这$374$本书。她总共花了$319$几分钟读完这本书。求$n + t$。

问题 6

在$\三角形ABC$设$我$是内切圆的圆心，设的角平分线$\角度ACB$交$\overline{AB}$于$L$。过和的直线加元与$L$的外接圆相交$\三角形ABC$于和两点加元。$D$若$LI=2$和$LD=3$，则$IC= \frac{p}{q}$，其中$p$和$q$为互质正整数。求$p+q$。

问题 7

对于整数$a$并$b$考虑复数，\[\frac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left(\frac{\sqrt{|a+b|}}{ab+100}\right)i.\]查找有序整数对的数量，$(a,b)$使得该复数为实数。

问题 8

$p = (a_1,a_2,\ldots,a_9)$对于数字 的排列$1,2,\ldots,9$，设$s(p)$表示三位数$3$、$a_1a_2a_3$和$a_4a_5a_6$的和$a_7a_8a_9$。设$百万$为 的最小值，但$s(p)$的个位数为$s(p)$。$0$设$n$表示 的排列数。求。 $p$$s(p) = m$$|m-n|$

问题 9

三角形$ABC$有$AB=40,AC=31,$和。此三角形$\sin{A}=\frac{1}{5}$内接于 矩形，且 和$AQRS$。$B$求的最大可能面积。 $\overline{QR}$加元$\overline{RS}$$AQRS$

问题 10

一个严格递增的正整数序列$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$具有以下性质：对于每个正整数$k$，子序列$a_{2k-1}$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$是几何序列，而子序列$a_{2k}$，$a_{2k+1}$，$a_{2k+2}$是算术序列。假设$a_{13} = 2016$。求$a_1$。

问题11

设$P(x)$为非零多项式，使得$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$对于每个实数$x$，和$\left(P(2)\right)^2 = P(3)$。则$P(\tfrac72)=\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题 12

找到最小正整数，$百万$使得$m^2 - m + 11$是至少四个不一定不同的素数的乘积。

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2017年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2017年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$找出既不是$\{1, 2, 3, 4, 5\}$也不是 的子集的子集的数量$\{4, 5, 6, 7, 8\}$。

问题 2

$T_1$、$T_2$、$T_3$和队$T_4$进入季后赛。在半决赛中，$T_1$比赛$T_4$，和$T_2$。$T_3$这两场比赛的获胜者将在决赛中对决，争夺冠军。当 时$T_i$，获胜$T_j$的概率为 ，且所有比赛的结果都是独立的。成为冠军的概率为，其中和是互质正整数。求。 $T_i$$\frac{i}{i+j}$$T_4$$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题 3

一个三角形有顶点$A(0,0)$、$B(12,0)$和。三角形内随机选取的点距离顶点比距离顶点或顶点$C(8,10)$更近的概率可以写成，其中和是互质正整数。求。 $B$$A$加元$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题4

找出小于或等于 的正整数的数量，$2017$其以三进制表示的数不包含等于 的数字$0$。

问题5

一个集合包含四个数字。该集合中不同元素的六对和（无特定顺序）分别为$189$、$320$、$287$、$234$、$x$和$y$。求 的可能最大值$x+y$。

问题 6

求出所有正整数的和，$n$使得$\sqrt{n^2+85n+2017}$为整数。

问题 7

$k$找出闭区间内整数值的个数$[-500,500]$，使得方程$\log(kx)=2\log(x+2)$只有一个实数解。

问题 8

$n$找出小于$2017$整数的正整数的数量\[1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5 !}+\frac{n^6}{6!}\]。

问题 9

一副特殊的纸牌包含纸牌，每张纸牌都标有从到$49$的数字，并用七种颜色中的一种着色。每种数字-颜色组合只出现在一张纸牌上。Sharon 将从纸牌中随机选择一组八张纸牌。假设她得到每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌，Sharon 可以丢弃一张纸牌并拥有每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌的概率为，其中和是互质正整数。求。 $1$$7$$\textit{仍然}$$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题 10

矩形的$ABCD$边长$AB=84$为和$AD=42$。点$M$是的中点$\overline{AD}$，点$N$是的三等分点，$\overline{AB}$更接近于$A$，点是和的$O$交点。点位于四边形上，并将的面积平分。求的面积。 $\overline{CM}$$\overline{DN}$$P$$BCON$$\overline{BP}$$BCON$$\三角CDP$

问题11

五个城镇由一套道路系统连接。每对城镇之间只有一条道路相连。求有多少种方法可以将所有道路都变成单向的，并且仍然可以使用这些道路从任何城镇到达其他城镇（途中可能经过其他城镇）。

问题 12

圆的$C_0$半径为$1$，点$A_0$是圆上的一点。圆$C_1$的半径为$r<1$，并在$C_0$点处与 内切$A_0$。点$A_1$位于圆上，$C_1$即$A_1$位于上，$90^{\circ}$从 逆时针方向延伸。圆的半径为，并在点处与 内切。这样就构造了一系列圆和一系列圆上的点，其中 圆的半径为，并在点 处与 内切，点位于 上，从点 逆时针延伸，如下图所示。所有这些圆内都有一个点。当 时，从中心到 的距离为，其中和是互质正整数。求。 $A_0$$C_1$$C_2$$r^2$$C_1$$A_1$$C_1,C_2,C_3,\ldots$$A_1,A_2,A_3,\ldots$$C_n$$r^n$$C_{n-1}$$A_{n-1}$$A_n$$C_n$ $90^{\circ}$$A_{n-1}$$B$$r = \frac{11}{60}$$C_0$$B$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

[asy] 绘制（圆（（0,0），125））；绘制（圆（（25,0），100））；绘制（圆（（25,20），80））；绘制（圆（（9,20），64））；点（（125,0））；标签（“$A_0$”，（125,0），E）；点（（25,100））；标签（“$A_1$”，（25,100），SE）；点（（-55,20））；标签（“$A_2$”，（-55,20），E）；[/asy]

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2017年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2017年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在 上指定 15 个不同点$\三角形ABC$：3 个顶点$A$、$B$和加元；$3$边 上的其他点$\overline{AB}$；$4$边 上的其他点$\overline{BC}$；和$5$边 上的其他点$\overline{CA}$。求出顶点位于这些点之间的面积为正的三角形的数量$15$。

问题 2

$702$当、$787$和分别$855$除以正整数时$百万$，余数始终为正整数$r$。 当$412$、$722$和分别$815$除以正整数$n$时，余数始终为正整数$s \neq r$。 求$m+n+r+s$。

问题 3

对于正整数$n$，设$d_n$为 的个位数。求除以$1 + 2 + \dots + n$时的余数 。\[\sum_{n=1}^{2017} d_n\]$1000$

问题4

一个金字塔有一个三角形底座，边长分别为$20$、$20$和$24$。金字塔的三条边从底座的三个角到金字塔的第四个顶点的长度均为$25$。金字塔的体积为$m\sqrt{n}$，其中$百万$和$n$为正整数，并且$n$不能被任何素数的平方整除。求$m+n$。

问题5

以八进制表示的有理数为$\下划线{a} \下划线{b} .\下划线{c} \下划线{d}$，其中所有数字都非零。以十二进制表示的相同数字为$\下划线{b} \下划线{b} .\下划线{b} \下划线{a}$。求十进制数$\下划线{a} \下划线{b} \下划线{c}$。

问题 6

一个圆外接一个等腰三角形，该三角形的两个全等角的度数为$x$。在圆上随机选取两个独立且均匀的点，并在它们之间画一条弦。弦与三角形相交的概率为$\frac{14}{25}$。求 的最大可能值与最小可能值之间的差值$x$。

问题 7

对于非负整数$a$和，令$b$。 令表示所有的总和，其中 和是非负整数，令。求当除以时的余数。 $a + b \leq 6$$T(a, b) = \binom{6}{a} \binom{6}{b} \binom{6}{a + b}$$S$$T(a, b)$$a$$b$$a + b \leq 6$$S$$1000$

问题 8

从区间 中独立均匀随机选取两个实数$a$和。设和是平面上的两个点，且。设和位于直线的同一侧，且的度数分别为和，且和均为直角。等于 的概率，其中和是互质正整数。求。 $b$$(0, 75)$$O$$P$$OP = 200$$Q$$R$$OP$$\角度 POQ$$\角度POR$$a$$b$$\角度OQP$$\角度ORP$$QR \leq 100$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m + n$

问题 9

令$a_{10} = 10$，且对于每个正整数$n> 10$令$a_n = 100a_{n - 1} + n$。找出最小正数$n> 10$，使得$a_n$是 的倍数$99$。

问题 10

设$z_1 = 18 + 83i$，$z_2 = 18 + 39i,$且$z_3 = 78 + 99i,$其中$i = \sqrt{-1}$。设$z$为具有以下性质的唯一复数： 为$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$实数， 的虚部$z$为最大的虚部。求 的实部$z$。

问题11

考虑数组中$9$数字的排列。对于每个这样的排列，设、和分别为行、和中数字的中位数，设为 的中位数。设为 的排列数。当除以时，求余数。 $1, 2, 3, \dots, 9$$3 \乘以 3$$a_1$$a_2$$a_3$$1$$2$$3$$百万$$\{a_1，a_2，a_3\}$$Q$$m = 5$$Q$$1000$

问题 12

$S$如果不存在$a, b, c \in S$（不一定不同）使得 ，则称集合为无积集合$ab = c$。例如，空集和集合$\{16, 20\}$是无积集合，而集合$\{4, 16\}$和$\{2, 8, 16\}$不是无积集合。求集合 中无积集合子集的数量$\{1, 2, 3, 4, \ldots, 7, 8, 9, 10\}$。

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2018年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

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问题 1

点$A$、$B$和按照该顺序位于直线路径上，从到 的加元距离为米。Ina 的跑步速度是 Eve 的两倍，而 Paul 的跑步速度是 Ina 的两倍。三名跑步者同时开始跑步，Ina 从 出发并跑向，Paul 从 出发并跑向，而 Eve 从 出发并跑向。当 Paul 遇到 Eve 时，他转身跑向。Paul 和 Ina 同时到达。求从到 的米数。 $A$加元$1800$$A$加元$B$加元加元$A$$A$$B$$A$$B$

问题 2

设$a_{0} = 2$，$a_{1} = 5$，和$a_{2} = 8$，和 为 ，递归$n> 2$定义$a_{n}$为$4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$除以时的余数$11$。求$a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$。

问题 3

求出所有正整数的和$b < 1000$，使得底数$b$整数$36_{b}$是完全平方数并且底数$b$整数$27_{b}$是完全立方数。

问题4

在等角八边形中$卡罗琳$，$CA = RO = LI = NE =$ $\sqrt{2}$和$AR = OL = IN = EC = 1$。自相交八边形$科妮莉亚$包围六个不重叠的三角形区域。设$K$是包围的面积$科妮莉亚$，即六个三角形区域的总面积。则$K = \frac{a}{b}$，其中$a$和$b$是互质正整数。求$a + b$。

问题5

假设$x$、$y$和$z$为复数$xy = -80 - 320i$，且$yz = 60$、 和$zx = -96 + 24i$，其中$我$ $=$ $\sqrt{-1}$。则有实数$a$和 ，$b$且$x + y + z = a + bi$。求$a^2 + b^2$。

问题 6

$a$从区间 中随机均匀地选择一个实数$[-20, 18]$。多项式根的概率

\[x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2\]

均为实数，可以写成 的形式$\dfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题 7

三角形的$ABC$边长为$AB = 9$、$BC =$ $5\sqrt{3}$和$AC = 12$。对于，$A = P_{0}, P_{1}, P_{2}, ... , P_{2450} = B$线段 上的点$\overline{AB}$位于和 之间$P_{k}$，而对于，线段 上的点位于和 之间。此外，每个线段、都平行于。这些线段将三角形划分为由梯形和三角形组成的区域。每个区域的面积相同。求出有理长度的线段 、 的数量。$P_{k-1}$$P_{k+1}$$k = 1, 2, ..., 2449$$A = Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, ... , Q_{2450} = C$$\overline{AC}$$Q_{k}$$Q_{k-1}$$Q_{k+1}$$k = 1, 2, ..., 2449$$\overline{P_{k}Q_{k}}$$k = 1, 2, ..., 2449$$\overline{BC}$$2450$$2449$$1$$2450$$\overline{P_{k}Q_{k}}$$k = 1, 2, ..., 2450$

问题 8

一只青蛙位于坐标平面的原点。从点 开始，青蛙可以跳到、、或 中$(x, y)$的任意一点。求出青蛙从 开始并到 结束的不同跳跃序列的数量。 $(x + 1, y)$$(x + 2, y)$$（x，y + 1）$$(x, y + 2)$$(0, 0)$$(4, 4)$

问题 9

$ABCDEFGH$边长为 的八边形$AB = CD = EF = GH = 10$由$BC = DE = FG = HA = 11$一个长方形的角上去掉 6-8-10 个三角形得到，长方形的$23$ $\times$ $27$边长$\overline{AH}$为该长方形的短边，如图所示。设$J$为 的中点，通过画出线段、、、、和，$\overline{AH}$将八边形分成 7 个三角形。求以这 7 个三角形的质心为顶点的凸多边形的面积。 $\overline{JB}$$\overline{JC}$$\overline{JD}$$\overline{JE}$$\overline{JF}$$\overline{JG}$

[asy] unitize(6); 对 P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); 对 A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark));填充绘制（H--G--Q--循环，灰色（深色））；填充绘制（F--EE--R--循环，灰色（深色））；填充绘制（D--C--SS--循环，灰色（深色））；点（A）；点（B）；点（C）；点（D）；点（EE）；点（F）；点（G）；点（H）；点（J）；点（H）；defaultpen（fontsize（10pt））；real r = 1.3;标签（“$A$”，A，W*r）；标签（“$B$”，B，S*r）；标签（“$C$”，C，S*r）；标签（“$D$”，D，E*r）；标签（“$E$”，EE，E*r）；标签（“$F$”，F，N*r）；标签（“$G$”，G，N*r）；标签（“$H$”，H，W*r）；标签（“$J$”，J，W*r）；[/asy]

问题 10

$f(x)$找出从$\{1, 2, 3, 4, 5\}$到 的函数个数，使得其中所有 都$\{1, 2, 3, 4, 5\}$满足。 $f(f(x)) = f(f(f(x)))$$x$$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

问题11

求出 的排列数，$1, 2, 3, 4, 5, 6$使得对于每个$k$，$1$ $\leq$ $k$ $\leq$ $5$至少有一个$k$排列的第一个项大于$k$。

问题 12

设$ABCD$为凸四边形$AB = CD = 10$，有BC=14美元、 和$AD = 2\sqrt{65}$。假设 的对角线$ABCD$交于点$P$，且三角形 和 的面积之$APB$和等于三角形和成本价差的面积之和。求四边形 的面积。 $BPC$$APD$$ABCD$

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