2019年 AIME II 数学邀请赛真题

2019年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

两个不同的点 $C$ 和 $$D 美元$ 位于直线 $$AB 美元$ 的同一侧，因此 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 BAD$ 与 $AB=9，BC=AD=10$ 和全等 $CA=DB=17$ 。这两个三角形区域的交集有 area $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 2

睡莲叶 $1,2,3，\ldots$ 一排躺在池塘上。一只青蛙从 pad $1 美元$ 开始进行一系列跳跃。青蛙从任何 pad $$k 美元$ 跳到 Pad $$k+1 美元$ 或 Pad $$k+2 美元$ 随机选择的可能性 $\tfrac{1}{2}$ ，并且独立于其他跳跃。青蛙访问 pad $7 美元$ 的概率是 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数。查找 $p+q$ .

问题 3

求满足以下方程组的正整数 $（a，b，c，d，e，f，g）$ 元组数 $7 美元$ ： $abc=70$ $cde=71$ $efg=72.$

问题 4

标准的六面公平骰子被掷四次。所有四个数的乘积都是完全平方的概率是 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对质数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 5

四名大使和每人的一名顾问将坐在一张圆桌旁，椅子 $12 美元$ 上有编号 $12 美元$ ，以便 $1 美元$ .每位大使必须坐在一把偶数的椅子上。每位顾问必须坐在其大使旁边的椅子上。在这种情况下， $8 美元$ 人们有 $$N 美元$ 办法坐在谈判桌前。求除以 $1000 美元$ 时 $$N 美元$ 的余数。

问题 6

在火星文明中，所有未指定 base 的对数都被假定为 base $$b 美元$ ，对于一些固定 $b\ge2$ 的。一名火星学生写下来，发现这个方程组只有一个实数解 $$x>1 美元$ 。查找 $$b 美元$ . $3\log（\sqrt{x}\log x）=56$ $\log_{\log x}（x）=54$

问题 7

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB=120，BC=220$ ，和 $$AC=180 美元$ 。线 $\ell_A，\ell_B$ ，和 $$\ell_C$ 美元$ 分别平行于 $\overline{BC}，\overline{AC}$ 、和 $\overline{AB}$ ，使得 $\ell_A，\ell_B$ 的交点和 $$\ell_C$ 美元$ 与的内部的 $\三角形 ABC$ 交点分别是长度为 $55,45$ 、和 $15 美元$ 的线段。求边位于线 $\ell_A，\ell_B$ 上的三角形的周长，以及 $$\ell_C$ 美元$ 。

问题 8

多项式 $f（z）=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的实系数不超过 $2019 美元，$$ 和 $f\left（\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right）=2015+2019\sqrt3i$ 。求除以 $1000 美元$ 时 $f（1）$ 的余数。

问题 9

如果正整数 $n$ 正好有 $$k 美元$ 正正数，并且 $n$ 能被 $$k 美元$ 整除，则调用 $$k 美元$ -pretty 。 $n$ 例如， $18 美元$ 是 $6 美元$ -pretty。设 $S$ 为小于 $2019$ $20 美元$ -pretty 的正整数之和。查找 $\tfrac{S}{20}$ .

问题 10

和之间有一个唯一的角度 $\theta$ ，因此，对于非负整数 $n，$ ，当是的 $3 美元$ 倍数时 $n$ ，其 $\tan（2^n\theta）$ 值为正，否则为负。 $0^\circ$ $90^\circ$ 的度测度 $\theta$ 是 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ .

问题 11

三角形 $ABC$ 有边长 $AB=7，BC=8，$ ， $CA=9.$ 圆 $$\omega_1$ 美元$ 穿过 $$B 美元$ ，在圆穿过时与线相切 $C$ ，在圆 $$\omega_2$ 美元$ 穿过时与线 $$AC 美元$ $A.$ $$AB 美元$ 相切，在 $A.$ 设 $K$ 为圆的交点 $$\omega_1$ 美元$ ， $$\omega_2$ 美元$ 不等于 $A.$ Then $AK=\tfrac{m}{n}，$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m+n.$