2019年 AIME I 数学邀请赛真题

2019年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

考虑整数求的位数之和 $$N 美元$ 。 $N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 位数字}.$

问题 2

Jenn 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$ 中随机选择一个数字 $$J 美元$ 。然后，Bela 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$ distinct from $$J 美元$ 中随机选择一个数字 $$B 美元$ 。的值 $B - J$ is 至少 $2 美元$ 具有可以用形式表示的概率 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

问题 3

在、 $$PR=15 美元$ 、 $$QR=20 美元$ 和 $$PQ=25 美元$ 中 $\三角形 PQR$ 。点 $$A 美元$ 和 $$B 美元$ 躺在 $\overline{PQ}$ 上，点 $C$ 和 $$D 美元$ 躺在 $\overline{QR}$ 上，点 $$E 美元$ 和 $F$ 躺在 $\overline{PR}$ 上，其中 $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$ 。求六边形 $$ABCDEF 美元$ 的面积。

问题 4

足球队有 $22 美元$ 可用的球员。一组固定的 $11 美元$ 球员开始比赛，而另一 $11 美元$ 组球员则作为替补。在比赛中，教练可以进行多达数量的 $3 美元$ 换人，其中比赛中的任何一名 $11 美元$ 球员被一名替补球员换下。从游戏中被移除的玩家不得重新进入游戏，但稍后可以替换进入游戏的替补球员。不能同时发生两个换人。参与的球员和换人的顺序很重要。设 $n$ 为教练在比赛中可以进行换人的方式数（包括不换人的可能性）。求除以 $1000 美元$ 时 $n$ 的余数。

问题 5

移动的粒子从该点 $（4,4）$ 开始移动，直到它第一次碰到其中一个坐标轴。当粒子位于点 $（a，b）$ 处时，它会随机移动到点、 $（a，b-1）$ 或 $（a-1，b-1）$ 中的一个点，每个点 $（a-1，b）$ 的概率 $\tfrac{1}{3}$ 与之前的移动无关。它击中坐标轴的 $（0,0）$ 概率为 $\tfrac{m}{3^n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是正整数， $$m 美元$ 不能被 $3 美元$ 整除。查找 $m + n$ .

问题 6

在凸四边形 $$KLMN 美元$ 中，边 $\overline{MN}$ 垂直于对角线 $\overline{KM}$ ，边 $\overline{KL}$ 垂直于对角线 $\overline{LN}$ ， $$MN = 65 美元$ 和 $$KL = 28 美元$ 。穿过 $$L 美元$ side $\overline{KN}$ 的线与 $\overline{KM}$ . $$O 美元$ $$KO = 8 美元$ 查找 $$MO 美元$ .

问题 7

有正整数 $$x 美元$ 和 $$y 美元$ 满足方程组设 $$m 美元$ 为的质因数分解中（不一定不同的）质因数的数量 $$x 美元$ ，设 $n$ 为的质因数分解中（不一定不同的）质因数 $$y 美元$ 的数量。查找 $3m+2n$ . $\log_{10} x + 2 \log_{10} （\gcd（x，y）） = 60$ $\log_{10} y + 2 \log_{10} （\text{lcm}（x，y）） = 570.$

问题 8

设 $$x 美元$ 为实数，使得 $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$ 。然后 $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ where $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

问题 9

设 $\tau（n）$ 表示的正整数除数的个数 $n$ 。求的 6 个最小正整数之和 $n$ ，这些整数是的 $\tau （n） + \tau （n+1） = 7$ 解。

问题 10

对于不同的复数 $z_1，z_2，\dots，z_{673}$ ，多项式可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018} + 19x^{2017}+g（x）$ ，其中 $g（x）$ 是具有复系数且最大 $2016 美元$ 具有度数的多项式。的值可以用 $\tfrac{m}{n}$ 的形式表示，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ . $（x-z_1）^3（x-z_2）^3 \cdots （x-z_{673}）^3$ $\left| \sum_{1 \le j <k \le 673} z_jz_k \right|$

问题 11

在 $\三角形 ABC$ 中，边具有整数长度和 $AB=AC$ 。圆 $\omega$ 的中心位于 $\三角形 ABC$ 的内侧。的外圆 $\三角形 ABC$ 是位于三角形外部的圆， $\三角形 ABC$ 它与三角形的一侧相切，与其他两侧的延伸相切。假设相 $\overline{BC}$ 切的外圆在内部与 $\omega$ 相切，而其他两个外圆都在外切于 $\omega$ 。求的 $\三角形 ABC$ 周长的最小可能值。

问题 12

给定 $f（z） = z^2-19z$ ，存在具有、和 $f（f（z））$ 性质 $z$ $f（z）$ 的复数 $z$ ，它们是复平面中直角为的直角三角形 $f（z）$ 的顶点。有正整数 $$m 美元$ ， $n$ 因此的一个 $z$ 这样的值为 $m+\sqrt{n}+11i$ 是。查找 $m+n$ .