2020年 AIME II 数学邀请赛真题

2020年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求正整数的有序对数， $（m，n）$ 使得 ${m^2n = 20 ^{20}}$ 。

问题 2

设 $$P 美元$ 为在单位正方形内部均匀随机选择的点，其顶点位于 $（0,0），（1,0），（1,1）$ 、和 $（0,1）$ 处。由 $$P 美元$ 和点 $\left（\frac58， \frac38 \right）$ 确定的线的斜率大于或等于的概率 $\frac12$ 可以写为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

问题 3

满足的值 $$x 美元$ $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 4

三角形 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 A'B'C'$ 位于坐标平面中，顶点为 $A（0,0）$ 、 $B（0,12）$ $$C（16,0）美元$ $A'（24,18）$ $B'（36,18）$ $C'（24,2）$ 。围绕点顺时针旋转 $$m 美元$ 度数，其中 $0<m<180$ ，将转换为 $\三角形 ABC$ $\三角形 A'B'C'$ 。 $（x，y）$ 查找 $m+x+y$ .

问题 5

对于每个正整数 $n$ ，设 $f（n）$ 为以 4 为基数表示中的位数之和 $n$ ，设 $g（n）$ 为的以 8 为基数表示中的位数之和 $f（n）$ 。例如， $f（2020） = f（133210_{\text{4}}） = 10 = 12_{\text{8}}$ 和 $$g（2020） = \text{}12_{\text{8}} = 3$ 的位数和。$ .设 $$N 美元$ 的最小值， $n$ 使得的以 16 为基数 $g（n）$ 的表示不能仅使用数字到 $9 美元$ 来表示。 $0$ 求除以 $1000 美元$ 时 $$N 美元$ 的余数。

问题 6

通过 $$t_1 = 20 美元$ 、 $$t_2 = 21 美元$ 、和 for all $n \ge 3$ 递归定义序列。then $t_{2020}$ 可以写成 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ . $t_n = \frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}$

问题 7

两个全等的直圆锥体，每个圆锥体的底面半径 $3 美元$ 和高度 $8 美元$ 都具有对称轴，这些圆锥体在圆锥体内部的一点上以直角相交，该点距每个圆锥体的底面有一段距离 $3 美元$ 。半径较大的球 $$r 美元$ 体位于两个圆锥体内。的最大可能值为 $r^2$ $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 8

通过 $f_1（x）=|x-1|$ 和 $f_n（x）=f_{n-1}（|x-n|）$ for integers $$n>1美元$ 递归定义序列。求的 $n$ 最小值，使得的零之和 $f_n$ 超过 $500,000$ 。

问题 9

在观看表演时，Ayako、Billy、Carlos、Dahlia、Ehuang 和 Frank 按此顺序坐在一排六把椅子上。休息时，他们去厨房吃点心。当他们回来时，他们坐在那六把椅子上，如果其中两个人在休息前挨着坐，那么他们在休息后就不会挨着坐。查找他们在休息后可以选择的可能座位顺序的数量。

问题 10

求所有正整数的和， $n$ 使得当除以 $$n+5 美元$ 时 $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ ，余数为 $17 美元$ 。

问题 11

设 $P（x） = x^2 - 3x - 7$ ，和设 $Q（x）$ 和 $R（x）$ 是两个系数 $x^2$ 等于 $1 美元$ 的二次多项式。David 计算了三个和 $P + Q$ $P + R$ 中的每一个，并且 $Q + R$ 惊讶地发现这些和的每一对都有一个公共根，而这三个公共根是不同的。如果 $$Q（0） = 2 美元$ ，则 $R（0） = \frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$ .

问题 12

设 $$m 美元$ 和 $n$ 为大于的奇数 $1.$ 美元$ 矩形 $m\次 n$ 由单位正方形组成，其中顶行中的正方形从左到右编号，整数 $1 美元$ 通过 $n$ ，第二行中的正方形从左到右编号，整数 $$n + 1 美元$ 通过 $$2n$ 美元$ ，依此类推。Square $200 美元$ 位于顶行，square $2000 美元$ 位于底行。求大于 $1 美元$ 在 $m\次 n$ 矩形中穿过正方形中心 $200 美元$ 并与 $2000 美元$ 正方形 $1099$ 内部相交的线的属性的有序奇数对 $（m，n）$ 的数量。