2020年 AIME I 数学邀请赛真题

2020年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在 $\三角形 ABC$ with $AB=AC，$ point $$D 美元$ 严格位于 and $C$ on side $\overline{AC}，$ 和 $$A 美元$ point $$E 美元$ 严格位于 and $$A 美元$ $$B 美元$ on side $\overline{AB}$ 中，使得 $AE=ED=DB=BC.$ 的度测 $\angle ABC$ 度是 $\tfrac{m}{n}，$ 其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到 $m+n.$

问题 2

有一个唯一的正实数 $$x 美元$ ，使得这三个数字 $\log_8（2x），\log_4x，$ 并 $\log_2x，$ 按该顺序形成具有正公比的几何级数。该数字 $$x 美元$ 可以写为 $\tfrac{m}{n}，$ where $$m 美元$ 和 $n$ 相对素数正整数。找到 $m+n.$

问题 3

正整数 $$N 美元$ 具有以 11 为基数的表示 $\underline{a}\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}$ 形式和以 8 为底的表示 $\underline1\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}\kern 0.1em\underline{a}，$ 形式，其中 $a，b，$ 和 $$c 美元$ 表示（不一定是不同的）数字。找到以 10 为基数表示的最小 such $$N 美元$ 值。

问题 4

设 $S$ 是一组正整数， $$N 美元$ 其属性为最后四位数字 $$N 美元$ are $2020 美元，$$ ，当删除最后四位数字时，结果是 $N.$ 例如， $42{，}020$ is in $S$ because $4 美元$ 是的除数 $$42{，}020.$ 美元$ 查找中所有数字的所有数字之和 $S.$ 例如，该数字 $42{，}020$ 对这个总数有贡献 $4+2+0+2+0=8$ 。

问题 5

六张编号 $1 美元$ 的 $6 美元$ 牌将排成一排。找出这六张牌的排列数量，其中一张牌可以被移除，其余五张牌按升序或降序排列。

问题 6

平板具有一个半径较大的圆孔 $1 美元$ 和一个半径较大的圆孔， $2 美元$ 使得两个孔的中心之间的距离为 $7 美元$ 。两个半径相等的球体位于两个孔中，使得球体彼此相切。球体半径的平方为 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 7

由 $11 美元$ 男性和 $12 美元$ 女性组成的俱乐部需要从其成员中选择一个委员会，以便委员会中的女性人数比委员会中的男性人数多一。委员会可以有 1 $1 美元$ 个成员，也可以有 1 $23 美元$ 个成员。设 $$N 美元$ 可以成立的此类委员会的数量。求除以的素数之和 $N.$

问题 8

虫子整天走路，整夜睡觉。第一天，它从面向东的点 $O，$ 开始，向正东走一段 $5 美元$ 单位的距离。每天晚上，虫子都会 $60^\circ$ 逆时针旋转。它每天朝这个新方向走的路程只有前一天走的一半。该错误任意接近点 $P.$ Then $OP^2=\tfrac{m}{n}，$ where $$m 美元$ ，并且 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m+n.$

问题 9

设 $S$ 为三个数字的正整数除数 $$20^9.$ 美元$ 的集合，这些数字是独立且随机选择的，并从集合 $S$ 中替换并按它们被选择的顺序进行标记 $a_1，a_2，$ $a_3$ 。除法和除法的 $a_1$ 概率是 $\tfrac{m}{n}，$ 其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。 $a_3$ $a_2$ $a_2$ 找到 $m.$