2021年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2021年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求所有三位数回文的算术平均值。（回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字，例如 $777$ 或 $383$ 。

问题 2

等边三角形 $ABC$ 的边长 $840 美元$ 为。Point $$D 美元$ 位于直线 $$BC 美元$ 的同一侧，因此 $$A 美元$ $\overline{BD} \perp \overline{BC}$ . $\ell$ 直线平行 $$D 美元$ 于直线 $$BC 美元$ 相交两侧 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 点 $$E 美元$ 和 $F$ 。点 $$G 美元$ 位于 $\ell$ $F$ 和 $$G 美元$ $\triangle AFG$ 之间 $$E 美元$ 是等腰，面积 $\triangle AFG$ 与面积 $\三角形 BED$ 的比值为 $8：9$ 。查找 $AF$ . $[asy] 对 A，B，C，D，E，F，G;B=原点;A=5*目录（60）;C=（5,0）;E=0.6*A+0.4*B;F=0.6*A+0.4*C;G=旋转（240，F）*A;D=扩展（E，F，B，dir（90））;draw（D--G--A，灰色）;draw（B--0.5*A+rotate（60，B）*A*0.5，grey）;draw（A--B--C--cycle，linewidth（1.5））;dot（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G）;标签（“$A$”，A，dir（90））;标签（“$B$”，B，dir（225））;标签（“$C$”，C，dir（-45））;标签（“$D$”，D，dir（180））;标签（“$E$”，E，dir（-45））;标签（“$F$”，F，dir（225））;标签（“$G$”，G，dir（0））;标签（“$\ell$”，midpoint（E--F），dir（90））;[/亚西]$

问题 3

求数字 $1 美元、2 美元、3 美元、4 美元、5 美元$ 的排列 $x_1、x_2、x_3、x_4、x_5$ 数，使得五个乘积之和可以被 $3 美元$ 整除。 $x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 + x_5x_1x_2$

问题 4

有实数 $a、b、c、$ 和 $$d 美元$ 这样的是 $-20$ $x^3 + 斧头 + b$ 的根和 $$-21$ 美元$ 是的根 $x^3 + cx^2 + d.$ 这两个多项式共享一个复根 $m + \sqrt{n} \cdot i，$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是正整数，而 $i = \sqrt{-1}.$ Find $m+n.$

问题 5

对于正实数 $$s 美元$ ，设表示 $\tau（s）$ 所有具有面积 $$s 美元$ 和两条边的长度为 $4 美元$ 和 $10 美元$ 的钝三角形的集合。all $$s 美元$ $\tau（s）$ 的集合为非空，但中的所有 $\tau（s）$ 三角形都是全等的，是一个区间 $[a，b）$ 。查找 $a^2+b^2$ .

问题 6

对于任何有限集 $S$ ，设 $|S|$ 表示中的 $S$ 元素数。查找有序对 $（A，B）$ 的数量，使得 $$A 美元$ 和 $$B 美元$ 是满足的（不一定是不同的）子集 $\{1,2,3,4,5\}$ $|A|\cdot |B|= |A \cap B|\cdot |A \cup B|$

问题 7

设 $a、b、c、$ 和 $$d 美元$ 为满足方程组的实数存在相对素数的 $$m 美元$ 正整数， $n$ 因此 Find $m + n$ 。 $\begin{align*} a + b &= -3， \\ ab + bc + ca &= -4， \\ abc + bcd + cda + dab &= 14， \\ abcd &= 30.\end{对齐*}$ $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.$

问题 8

蚂蚁在立方体上进行一系列移动，其中一次移动包括沿立方体的边缘从一个顶点走到相邻顶点。最初，ant 位于立方体底面的顶点处，并从三个相邻顶点中选择一个作为它的第一次移动。对于第一次移动之后的所有移动，ant 不会返回到其前一个顶点，而是选择移动到其他两个相邻顶点之一。所有选项都是随机选择的，因此每个可能的移动可能性都相等。在恰好 $8 美元$ 移动之后，该 ant 位于立方体顶面的顶点的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m + n.$

问题 9

求有序对 $（m， n）$ 的数量，使得 $$m 美元$ 和 $n$ 是集合 $\{1， 2， ...， 30\}$ 中的正整数，并且 $2^m + 1$ 和 $2^n - 1$ 的最大公约数不是 $1 美元$ 。

问题 10

两个半径为的球体 $36 美元$ 和一个半径为 $13 美元$ 的球体分别与其他两个球体和两个不同的平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 在外部相切。平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 的交点是直线 $\ell$ 。从线 $\ell$ 到半径 $13 美元$ 为的球体与平面 $\mathcal{P}$ 相切的点的距离为 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$ .

问题 11

一位老师正在带领一个由四个完美逻辑的学生组成的班级。老师选择了一组 $S$ 四个整数 $S$ ，并为每个学生提供了一个不同的数字。然后，老师向全班宣布，里面 $S$ 的数字是四个连续的两位数正整数，某个数字 in $S$ 可以被 $6 美元$ 整除，而另一个数字 in $S$ 可以被 $7 美元$ 整除。然后老师问是否有学生能推断出什么是 $S$ ，但所有学生都异口同声地回答说没有。