2021年 AIME I 数学邀请赛真题

2021年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Zou 和 Chou 正在通过互相比赛 $6 美元$ 来练习他们的 $100 美元$ 米短跑。邹赢得第一场比赛，之后，他们中的一个人赢得比赛的概率是 $\frac23$ 他们赢得了前一场比赛，但前提是 $\frac13$ 他们输掉了前一场比赛。Zou 赢得 $5 美元$ $6 美元$ 比赛的概率是 $\frac mn$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 2

在下图中， $$ABCD 美元$ 是一个边长为 $$AB=3 美元$ 和 $$BC=11 美元$ 的矩形， $AECF$ 是一个边长为 $$AF=7 美元$ 的矩形， $FC=9，$ 如图所示。两个矩形内部共有的阴影区域面积为 $\frac mn$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

$[asy] 对 A、B、C、D、E、F;A = （0,3）;B=（0,0）;C=（11,0）;D=（11,3）;E=英尺（C， A，（9/4,0））;F=英尺（A， C，（35/4,3））;draw（A--B--C--D--循环）;draw（A--E--C--F--循环）;filldraw（A--（9/4,0）--C--（35/4,3）--cycle，gray*0.5+0.5*lightgray）;点（A^^B^^C^^D^^E^^F）;标签（“$A$”， A， W）;标签（“$B$”， B， W）;标签（“$C$”， C，（1,0））;标签（“$D$”， D，（1,0））;标签（“$F$”， F， N）;标签（“$E$”， E， S）;[/亚西]$

问题 3

找到小于 $1000 美元$ 该数量的正整数数，可以表示为的两个整数幂之差 $2.$ 美元$

问题 4

找出可以将相同的硬币分成三个非空堆的方法 $66 美元$ 数量，以便第一堆中的硬币比第二堆中的硬币少，第二堆中的硬币比第三堆中的硬币少。

问题 5

如果三项的平方和等于中间项与公差的平方的乘积，则称三项严格递增的整数算术序列为 special。求所有特殊序列的第三项之和。

问题 6

线段 $\overline{AB}， \overline{AC}，$ 和 $\overline{AD}$ 是多维数据集的边， $\overline{AG}$ 是穿过多维数据集中心的对角线。Point $$P 美元$ 满足 $BP=60\sqrt{10}$ 、、 $CP=60\sqrt{5}$ $DP=120\sqrt{2}$ 和 $GP=36\sqrt{7}$ 。找到 $AP.$

问题 7

求正整数对 $（m，n）$ 的数量， $1\le m<n\le 30$ 使得存在 $$x 美元$ 一个满足 $\sin（mx）+\sin（nx）=2.$

问题 8

求整数的个数， $$c 美元$ 使方程具有不同 $12 美元$ 的实数解。 $\left||20|x|-x^2|-c\right|=21$

问题 9

设 $$ABCD 美元$ 为等腰梯形，其中 $AD=BC$ 和 $AB<CD.$ 假设到 $$A 美元$ 线 $BC，CD，$ 的距离和 $$BD 美元$ 分别为 $15,18，$ 和 $10，美元$ 。设 $K$ 为 Find 的 $ABCD.$ 面积 $\sqrt2 \cdot K.$

问题 10

考虑由和定义的正有理数序列 $（a_k）_{k\ge 1}$ ，如果 $k\ge 1$ $a_k = \frac{m}{n}$ 对于相对素数正 $$m 美元$ 整数和 $n$ ，则 $a_1 = \frac{2020}{2021}$

$a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}.$ 确定所有正整数的总和， $$j 美元$ 以便有理数 $a_j$ 可以写成 $\frac{t}{t+1}$ 某个正整数 $$t 美元$ 的形式。

问题 11

设 $$ABCD 美元$ 为循环四边形，其中 $AB=4，BC=5，CD=6，$ 和 $DA=7.$ 设 $A_1$ 和 $C_1$ 分别是 $$A 美元$ $$C，美元$ 垂线的脚，以和分别为和 $BD，$ $B_1$ 的垂线的脚，以 $$B 美元$ 和 $D_1$ $D，$ 分别为和的垂线的英尺，以线 $AC.$ 的周长 $A_1B_1C_1D_1$ 是 $\frac mn，$ 其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m+n.$

问题 12

设 $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ 为十二边形（ $12 美元$ -gon）。三只青蛙最初坐在 $A_4，A_8，$ 和 $A_{12}$ 上。在每一分钟结束时，三只青蛙中的每只都会同时跳到与其当前位置相邻的两个顶点之一，随机且独立地选择，两种选择的可能性相同。一旦两只青蛙同时到达同一顶点，所有三只青蛙都会停止跳跃。青蛙停止跳跃之前的预期分钟数是 $\frac mn$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .