2022年 AIME II 数学邀请赛真题

2022年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

由音乐会上的人群组成的 $\frac5{12}$ 成年人。在一辆载有 $50 美元$ 更多人的公共汽车到达后，由音乐会现场的人们组成的 $\frac{11}{25}$ 成年人组成。找出巴士到达后可能参加音乐会的最少成人人数。

问题 2

Azar、Carl、Jon 和 Sergey 是单打网球锦标赛中剩下的四名球员。他们在半决赛中被随机分配对手，这些比赛的获胜者在决赛中相互对战，以确定锦标赛的获胜者。当 Azar 对阵 Carl 时，Azar 将以概率 $\frac23$ 赢得比赛。当 Azar 或 Carl 与 Jon 或 Sergey 对战时，Azar 或 Carl 将有概率 $\frac34$ 赢得比赛。假设不同对战的结果是独立的。Carl 赢得比赛的概率是 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ .

问题 3

具有体积 $54 美元$ 的直方形金字塔具有边长 $6.$ 的底面金字塔的五个顶点都位于半径 $\frac mn$ 为的球体上，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 4

有一个不等于 either $\tfrac{1}{20}$ 或的正实数 $$x 美元$ 该值 $\log_{20x} （22x）$ 可以写为 $\log_{10} （\tfrac{m}{n}）$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正 $\tfrac{1}{2}$ 整数。查找 $m+n$ . $\log_{20x} （22x）=\log_{2x} （202x）.$

问题 5

20 个不同的点标记在一个圆圈上，并按顺时针顺序标记 $1 美元$ 。 $20 美元$ 在标签相差一个素数的每对点之间绘制一条线段。查找其顶点位于原始 $20 美元$ 点之间的三角形数。

问题 6

设 $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ 为实数，使得 $$|x_1|+ |x_2|+ \cdots + |x_{100}|= 1 美元$ 和 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$ 。在所有此类 $100 美元$ 数字元组中， $x_{76} - x_{16}$ 可以实现的最大值是 $\tfrac mn$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$ .

问题 7

半径为 $6 美元$ 的圆与半径为 $24 美元$ 的圆在外部相切。求由这两个圆的三条公共切线界定的三角形区域的面积。

问题 8

求当给定，，和 $\左\lfloor\frac n6\右\rfloor$ 的值时可以唯一确定其值的正整数 $n \le 600$ 的数量，其中 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于实数 $$x 美元$ 的最大整数。 $\left\lfloor \frac n4\right\rfloor$ $\左\l地板\frac n5\右\r地板$

问题 9

设 $$\ell_A$ 美元$ 和 $$\ell_B$ 美元$ 为两条不同的平行线。对于正整数 $$m 美元$ 和 $n$ ，不同的点位于 $$\ell_A$ 美元$ 上，不同的点 $B_1、B_2、B_3、\ldots、B_n$ $A_1、A_2、\allowbreak A_3、\allowbreak \ldots、\allowbreak A_m$ 位于 $$\ell_B$ 美元$ 上。此外，当为 all $i=1,2,3，\ldots，m$ 和绘制线段 $\overline{A_iB_j}$ 时，没有一个点严格位于和之间 $$\ell_A$ 美元$ ，位于 $$\ell_B$ 美元$ 两个以上的线段 $j=1，\allowbreak 2，\allowbreak 3， \ldots， \allowbreak n$ 上。求此图例在和 $$n=5 美元$ 时 $m=7$ 将平面划分为的有界区域数。该图显示 when $m=3$ 和 $n=2$ 有 8 个区域。 $[asy] import geometry;尺寸（10 厘米）;draw（（-2,0）--（13,0））;draw（（0,4）--（10,4））;标签（“$\ell_A$”，（-2,0），W）;标签（“$\ell_B$”，（0,4），W）;点 A1=（0,0），A2=（5,0），A3=（11,0），B1=（2,4），B2=（8,4），I1=扩展（B1，A2，A1，B2），I2=扩展（B1，A3，A1，B2），I3=扩展（B1，A3，A2，B2）;draw（B1--A1--B2）;draw（B1--A2--B2）;draw（B1--A3--B2）;标签（“$A_1$”，A1，S）;标签（“$A_2$”，A2，S）;标签（“$A_3$”，A3，S）;标签（“$B_1$”，B1，N）;标签（“$B_2$”，B2，N）;标签（“1”，质心（A1，B1，I1））;标签（“2”，质心（B1，I1，I3））;标签（“3”，质心（B1，B2，I3））;标签（“4”，质心（A1，A2，I1））;标签（“5”，（A2+I1+I2+I3）/4）;标签（“6”，质心（B2，I2，I3））;标签（“7”，质心（A2，A3，I2））;标签（“8”，质心（A3，B2，I2））;点（A1）;点（A2）;点（A3）;点（B1）;点（B2）;[/亚西]$