2022年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2022年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

二次多项式 $P（x）$ 和 $Q（x）$ 分别具有前导系数 $2 美元$ 和 $-2，$ 。两个多项式的图形都通过两个点 $（16,54）$ 和 $（20,53）.$ Find $P（0） + Q（0）.$

问题 2

找到三位数的正整数 $\underline{a}\，\underline{b}\，\underline{c}$ ，其在基数 9 中的表示形式是 $\underline{b}\，\underline{c}\，\underline{a}_{\，\text{nine}}，$ 其中 $a，$ $b，$ 和 $$c 美元$ 是（不一定不同的）数字。

问题 3

在等腰中，梯形 $ABCD，$ 平行底和 $\overline{CD}$ 分别具有长度 $500 美元$ 和， $$650，美元$ 以及 $AD=BC=333.$ $\angle A$ 和的角平分线和 $\angle D$ 相交于 $P，$ $Q.$ 和的角平分线 $\angle B$ 和 $\angle C$ 在 Find $\overline{AB}$ 处相交 $PQ.$

问题 4

设 $w = \dfrac{\sqrt{3} + i}{2}$ 和 $z = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}，$ where $i = \sqrt{-1}.$ 查找不超过 $100 美元$ 满足方程的正整数的有序对 $（r，s）$ 数 $i \cdot w^r = z^s.$

问题 5

一条数 $264$ 米宽的笔直河流以每分钟 $14 美元$ 米的速度从西向东流淌。Melanie 和 Sherry 坐在河的南岸，Melanie 距离 Sherry 下游几 $$D 美元$ 米远。相对于水，Melanie 以 $80 美元$ 每分钟米数游泳，而 Sherry 以每分钟 $60 美元$ 米数游泳。与此同时，Melanie 和 Sherry 开始直线游到河北岸与她们的起始位置等距的点。两个女人同时到达了这一点。找到 $D.$

问题 6

求有序整数对的数量， $（a，b）$ 使得序列严格递增，并且没有一组四个（不一定是连续的）项形成算术级数。 $3,4,5，a，b，30,40,50$

问题 7

设 $a，b，c，d，e，f，g，h，i$ 不同的整数 from $1 美元$ 到 $9.$ 美元$ 的最小可能正值可以写为 $\frac{m}{n}，$ where $$m 美元$ ，并且 $n$ 是相对素数的正整数。找到 $\dfrac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ $m+n.$

问题 8

等边三角形 $\三角形 ABC$ 内接在 $\omega$ 半径 $18.$ 美元$ 为 Circle 的圆上，Circle $$\omega_A$ 美元$ 与边 $\overline{AB}$ 相切， $\overline{AC}$ 内部与 Circle 相切 $\omega.$ $$\omega_B$ 美元$ ， $$\omega_C$ 美元$ 定义类似。圆圈 $\omega_A，$ $\omega_B，$ 并在 $$\omega_C$ 美元$ 6 个点中相遇---每对圆圈 2 个点。最靠近顶点的三个交点 $\三角形 ABC$ 是内部 $\三角形 ABC，$ 一个大等边三角形的顶点，其他三个交点是内部一个较小的等边三角形的顶点 $\三角形 ABC.$ ，较小的等边三角形的边长可以写成 $\sqrt{a} - \sqrt{b}，$ 其中 $$a 美元$ 和 $$b 美元$ 是正整数。找到 $a+b.$

问题 9

Ellina 有 12 个块，红色（ $\textbf{R}$ ）、蓝色（ $\textbf{B}$ ）、黄色（ $\textbf{Y}$ ）、绿色（ $\textbf{G}$ ）、橙色（） $\textbf{O}$ 和紫色（） $\textbf{P}$ 各两个。如果每对相同颜色的块之间有偶数个块，则调用块 $\textit{even}$ 的排列。例如，排列是均匀的。Ellina 以随机顺序将她的块排成一行。她的排列为偶数的概率是 $\frac{m}{n}，$ where $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}$ $m+n.$

问题 10

三个半径为 $11，美元$ $13，美元$ 且 $19 美元$ 相互外部切线的球体。一个平面在三个分别以 $A，$ $B，$ 和 $$C，美元$ 为中心的全等圆中与球体相交，并且球体的中心都位于该平面的同一侧。假设 $AB^2 = 560.$ Find $AC^2.$

问题 11

设 $$ABCD 美元$ 一个平行四边形，其中 $\angle 坏< 90^\circ.$ A 圆与侧面 $\overline{DA}，$ $\overline{AB}，$ 相切， $\overline{BC}$ $\overline{AC}$ 并在点 $$P 美元$ 处对角线相交， $$Q 美元$ 如图所示 $AP < AQ，$ 。假设 $AP=3，$ $PQ=9，$ 和 $QC=16.$ 则 $$ABCD 美元$ 的面积可以用其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是正整数的形式 $m\sqrt{n}，$ 表示，并且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。找到 $m+n.$

$[asy] defaultpen（线宽（0.6）+字体大小（11））;尺寸（8 厘米）;对 A，B，C，D，P，Q;A=（0,0）;标签（“$A$”， A， SW）;B=（6,15）;标签（“$B$”， B， NW）;C=（30,15）;标签（“$C$”， C， NE）;D=（24,0）;标签（“$D$”， D， SE）;P=（5.2,2.6）;标签（“$P$”，（5.8,2.6）， N）;Q=（18.3,9.1）;标签（“$Q$”，（18.1,9.7）， W）;draw（A--B--C--D--循环）;平局（C--A）;draw（圆（（10.95,7.45）， 7.45））;dot（A^^B^^C^^D^^P^^Q）;[/亚西]$

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