2023年 AIME II 数学邀请赛真题

2023年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

六棵苹果树上每棵树上生长的苹果数量形成一个算术序列，其中六棵树上生长的苹果数量最多的是六棵树上生长的苹果数量最少的两倍。所有六棵树上生长的苹果总数为 $990.美元$ 查找六棵树上生长的最大苹果数。

问题 2

回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字。找到小于 $1000 美元$ 该值的最大整数在以 10 为基数写入和以 8 为基数写入时都是回文，例如 $292 = 444_{\text{eight}}.$

问题 3

设 $\三角形 ABC$ 为一个等腰三角形，其中 $\angle A = 90^\circ.$ There exists a point $$P 美元$ inside $\三角形 ABC$ 使得 $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ 并 $AP = 10.$ 找到的面积 $\三角形 ABC.$

问题 4

设 $x，y，$ 和 $z$ 为满足方程组的实数设 $S$ 为可能值的集合 $x.$ 求的元素平方和 $\begin{align*} xy + 4z &= 60 \\ yz + 4x &= 60 \\ zx + 4y &= 60.\end{对齐*}$ $S.$

问题 5

设 $S$ 是所有正有理数 $$r 美元$ 的集合，使得当两个数字 $$r 美元$ 和 $55r$ 以最低项写为分数时，一个分数的分子和分母之和与另一个分数的分子和分母之和相同。的所有元素之和 $S$ 可以用 where $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数的形式 $\frac{p}{q}，$ 表示。找到 $p+q.$

问题 6

考虑由三个在两侧连接的单位方块形成的 L 形区域，如下所示。两个点 $$A 美元$ $$B 美元$ ，是从区域内部独立且均匀地随机选择的。的中点 $\overline{AB}$ 也位于该 L 形区域内的概率可以表示为 $\frac{m}{n}，$ 其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到 $m+n.$ $[ASY] 单位尺寸（2cm）;draw（（0,0）--（2,0）--（2,1）--（1,1）--（1,2）--（0,2）--cycle）;draw（（0,1）--（1,1）--（1,0），虚线）;[/亚西]$