2024年 AIME II 数学邀请赛真题

2024年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在 Aimeville 的 $900 美元$ 居民中，有些人 $195 美元$ 拥有一枚钻戒， $367$ 有些人拥有一套高尔夫球杆，有些人 $562$ 拥有一把花园铁锹。此外，每个 $900 美元$ 居民都拥有一袋糖果心。有些 $437美元$ 居民恰好拥有其中的两件物品，有些 $234$ 居民也恰好拥有其中的三件物品。查找拥有所有这四种物品的 Aimeville 居民的数量。

问题 2

正整数列表具有以下属性：

$\bullet$ 列表中各项的总和为 $30 美元$ 。

$\bullet$ 列表的唯一模式是 $9 美元$ 。

$\bullet$ 列表的中位数是一个正整数，它不会出现在列表本身中。

求列表中所有项目的平方和。

问题 3

找到在 2x3 网格的每个单元格中放置一个数字的方法数，使得从左到右阅读形成的两个数字之和为 $999 美元$ ，从上到下阅读形成的三个数字之和为 $99 美元$ 。下面的网格是这种排列的一个例子，因为 $8+991=999$ 和 $9+9+81=99$ 。

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 0 & 8 \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array}$

问题 4

设 $x，y$ 和 $z$ 为满足以下方程组的正实数：则的值 $\left|\log_2（x^4y^3z^2）\right|$ 是 $\tfrac{m}{n}$ 其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ . $\log_2\left（{x \over yz}\right） = {1 \over 2}$ $\log_2\left（{y \over xz}\right） = {1 \over 3}$ $\log_2\left（{z \over xy}\right） = {1 \over 4}$

问题 5

设 $$ABCDEF 美元$ 为一个凸等边六边形，其中所有对立的边都是平行的。边是线段 $\overline{AB}$ 的延伸、 $\overline{CD}$ 且 $\overline{EF}$ 边长为 $200 美元、240 美元（含 240 美元）$ 和 $300 美元$ 的三角形。求六边形的边长。

问题 6

Alice 选择一组 $$A 美元$ 正整数。然后 Bob 列出所有具有最大元素 $$B 美元$ 所属的属性的有限非空正整数集 $$A 美元$ $$B 美元$ 。Bob 的列表有 $2024 美元$ 集合。求的 $$A 美元$ 元素之和。

问题 7

设 $$N 美元$ 为最大的四位整数，其属性是每当其一位数字更改为 $1 美元$ 时，结果数字可被 $7 美元$ 整除。设 $$Q 美元$ 和 $$R 美元$ 分别是商和余数，当 $$N 美元$ 除以 $1000 美元$ 时。查找 $Q+R$ .

问题 8

圆环 $$T 美元$ 是通过将半径为 3 的圆在距圆心 6 距离的圆平面（就像圆环一样）的平面上绕轴旋转而产生的表面。设 $S$ 为半径为 11 的球体。当 $$T 美元$ 位于的 $S$ 内侧时，它与的内侧相切， $S$ 沿半径 $r_i$ 为的圆，当 $$T 美元$ 位于 $S$ 的外侧时，它与 $S$ 沿半径 $r_o$ 为的圆外切。差值 $r_i-r_o$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

$[ASY] 单位尺寸（0.3 英寸）;draw（ellipse（（0,0）， 3， 1.75））;draw（（-1.2,0.1）..(-0.8,-0.03)..(-0.4,-0.11)..(0,-0.15)..(0.4,-0.11)..(0.8,-0.03)..(1.2,0.1));平局（（-1,0.04）..(-0.5,0.12)..(0,0.16)..(0.5,0.12)..(1,0.04));draw（（0,2.4）--（0，-0.15））;draw（（0，-0.15）--（0，-1.75），虚线）;平局（（0，-1.75）--（0，-2.25））;绘制（ellipse（（2,0）， 1， 0.9））;平局（（2.03，-0.02）--（2.9，-0.4））;[/亚西]$

问题 9

有 $25 美元$ 无法区分的白色筹码和 $25 美元$ 无法区分的黑色筹码。找到将其中一些筹码放置在 $5 \乘以 5$ 网格中的方法数量，以便

每个电池单元最多包含一个芯片

同一行中的所有筹码和同一列中的所有筹码具有相同的颜色
放置在网格上的任何额外筹码都将违反前两个条件中的一个或多个。

问题 10

设 $\三角形$ $ABC$ incenter $$I 美元$ 和 circumcenter $$O 美元$ 与 $\overline{IA} \perp \overline{OI}$ 、 circumradius $13 美元$ 和 inradius $6 美元$ 。查找 $AB \cdot AC$ .

问题 11

求 $（a， b， c）$ 满足 $$a + b + c = 300 美元$ 和

$\[a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b = 6,000,000。$

问题 12

让 $O（0,0），A（\tfrac{1}{2}，0），$ 和 $B（0，\tfrac{\sqrt{3}}{2}）$ 成为坐标平面中的点。设 $\mathcal{F}$ 是位于第一象限中，在 $$P 美元$ $$x 美元$ -轴和 $$Q 美元$ $$y 美元$ -轴上的单位长度段的系列 $\overline{PQ}$ 。上有一个唯一的点 $C$ ，不同于 $$A 美元$ ，并且 $B，$ 不属于除之外的任何段 $\mathcal{F}$ $\overline{AB}$ 。 $\overline{AB}，$ 然后 $OC^2=\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ .

问题 13

设 $\omega\neq 1$ 为第 13 个团结根。求除以 1000 时的余数。 $\prod_{k=0}^{12}（2-2\omega^k+\omega^{2k}）$

问题 14

设 $b \geq 2$ 为整数。 $b\textit{-eautiful}$ 如果正整数在 base $$b 美元$ 中表示时正好有两位数，并且这两个数字之和为 $\sqrt{n}$ ，则调用正整数 $n$ 。例如， $81$ is $13 美元$ -eautiful because $81=\下划线{6}$ $\下划线{3}_{13}$ 和 $6+3=\sqrt{81}$ .查找具有 10 $$b 美元$ 个以上 -eautiful 整数的最小整数 $b\geq 2$ 。

问题 15

求在固定的正十二边形（ $12 美元$ -gon）内可以形成的矩形数，其中矩形的每一边都位于十二边形的边或对角线上。下图显示了其中的三个矩形。

$[ASY] 单位尺寸（0.6 英寸）;for（int i=0; i<360; i+=30） { dot（dir（i）， 4+black）; draw（dir（i）--dir（i+30））; } draw（dir（120）--dir（330））;filldraw（dir（210）--dir（240）--dir（30）--dir（60）--cycle， mediumgray， linewidth（1.5））;绘制（（0,0.366）--（0.366,0），线宽（1.5））;[/亚西]$

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