2023年 AIME I 数学邀请赛真题

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问题 1

五男九女以随机顺序围着一个圆圈等距站立。每个男性都与女性截然相反的概率是 $\frac{m}{n}，$ where $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m+n.$

问题 2

正实数 $b \not= 1$ 并 $n$ 满足方程 $n$ 的值是 $\frac{j}{k}，$ 其中 $$j 美元$ 和 $$k 美元$ 是相对素数的正整数。找到 $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n} \qquad \text{and} \qquad b \cdot \log_b n = \log_b （bn）.$ $j+k.$

问题 3

平面包含 $40 美元$ 线，其中没有 $2 美元$ 一条线是平行的。假设有 $3 美元$ 恰好 $3 美元$ 是 lines 相交的点、 $4 美元$ 恰 $4 美元$ 好是 lines 相交的点、 $5 美元$ 恰 $5 美元$ 好是 $6 美元$ lines 相交的点、 $6 美元$ 正好是 lines 相交的点，并且没有多 $6 美元$ 于 lines 相交的点。求直线相交处的 $2 美元$ 点数。

问题 4

所有正整数之和 $$m 美元$ ，即 $\frac{13！}{m}$ 完美平方，可以写为 $2^a3^b5^c7^d11^e13^f，$ where $a，b，c，d，e，$ 和 $$f 美元$ 是正整数。找到 $a+b+c+d+e+f.$

问题 5

设 $$P 美元$ 为圆外接正方形 $$ABCD 美元$ 上满足的点 $$PA \cdot PC = 56 美元$ ，并 $PB \cdot PD = 90.$ 求 $ABCD.$

问题 6

Alice 知道 $3 美元$ 红牌和 $3 美元$ 黑牌会以随机顺序一次向她展示一张。在每张卡片被揭开之前，Alice 必须猜出它的颜色。如果 Alice 玩得最好，她会猜对的预期牌数是 $\frac{m}{n}，$ where $$m 美元$ 和相对 $n$ 素数正整数。找到 $m+n.$

问题 7

如果余数 when $n$ 被 $2、3、4、5、$ 美元$ 和 $6 美元$ disdistinct 除以，则调用 $n$ extra-distinct 正整数。求小于 $1000 美元$ 的 extra-distinct 正整数的个数。

问题 8

菱形 $$ABCD 美元$ 有 $\angle 坏< 90^\circ.$ 在菱形的内圆上有一个点 $$P 美元$ ，使得到线 $DA，AB，$ 和 $$BC 美元$ 的距离 $$P 美元$ 分别为 $9,5，$ 和 $16，美元$ 。找到的周长 $ABCD.$

问题 9

求三次多项式的数量， $p（x） = x^3 + ax^2 + bx + c，$ 其中 $a、b、$ 和 $$c 美元$ 是整数， $\{-20，-19，-18，\ldots，18,19,20\}，$ 使得有一个唯一的整数 $m \not= 2$ $p（m） = p（2）.$

问题 10

存在一个唯一的正整数， $$a 美元$ 其总和是严格介于和之间的 $1000 美元$ $1000 美元$ 整数。对于该唯一 $$a 美元$ ，请查找 $a+U$ 。 $U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor$

（请注意， $\lfloor x\rfloor$ 表示小于或等于 $$x 美元$ 的最大整数。

问题 11

查找恰好包含一对连续整数的子集 $\{1,2,3，\ldots，10\}$ 数。此类子集的示例包括 $\{\mathbf{1}，\mathbf{2}，5\}$ 和 $\{1,3，\mathbf{6}，\mathbf{7}，10\}.$

问题 12

设 $\三角形 ABC$ 是一个边长 $55.$ 美元$ 为 Points $D，$ $E，$ 和 $F$ 位于和 $\overline{AB}，$ 的 $\overline{BC}，$ $\overline{CA}，$ 等边三角形，其中 $$BD = 7，美元$ $$CE=30，美元$ 和 $AF=40.$ Point $$P 美元$ inside $\三角形 ABC$ 具有 Find 的属性 $\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP.$ $\tan^2（\angle AEP）.$

问题 13

两个非全等平行六面体的每个面都是一个菱形，其对角线的长度为 $\sqrt{21}$ 和 $\sqrt{31}$ 。两个多面体中较大的一个的体积与较小多面体的体积之比为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$ .平行六面体是具有六个平行四边形面的实体，如下所示。

$[ASY] 单位尺寸（2cm）;对 o = （0， 0）， u = （1， 0）， v = 0.8*dir（40）， w = dir（70）;draw（o--u--（u+v））;draw（o--v--（u+v），点）;绘制（shift（w）*（o--u--（u+v）--v--cycle））;draw（o--w）;draw（u--（u+w））;draw（v--（v+w），点线）;draw（（u+v）--（u+v+w））;[/亚西]$

问题 14

下面的 analog clock 有两根指针，可以彼此独立地移动。最初，双手指向数字 $12 美元$ 。时钟执行一系列指针运动，因此在每次移动时，两根指针中的一根顺时针移动到钟面上的下一个数字，而另一根指针不动。 $[ASY] 单位尺寸（2cm）;draw（unitcircle，black+linewidth（2））;for （int i = 0; i < 12; ++i） { draw（0.9*dir（30*i）--dir（30*i））; } for （int i = 0; i < 4; ++i） { draw（0.85*dir（90*i）--dir（90*i），black+linewidth（2））; } for （int i = 1; i < 13; ++i） { label（“\small” + （string） i， dir（90 - i * 30） * 0.75）; } draw（（0,0）--0.6*dir（90），黑色+线宽（2），箭头（TeXHead，2bp））;draw（（0,0）--0.4*dir（90），black+linewidth（2），箭头（TeXHead，2bp））;[/亚西]$