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2018年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析在线看！

2018年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

设为有序整数对 $S$ 的数量，且使得多项式可以分解为两个（不一定不同）具有整数系数的线性因子的乘积。当除以时，求余数。 $(a,b)$ $1 \leq 至 \leq 100$ $b \geq 0$ $x^2+ax+b$ $S$ $1000$

问题 2

该数在 $n$ 进制中可以写成，在进制中可以写成，在进制中可以写成，其中。求的进制表示。 $14$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{b}\文本{ }\下划线{c}$ $15$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{c}\文本{ }\下划线{b}$ $6$ $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }$ $a > 0$ $10$ $n$

问题 3

Kathy 有 $5$ 红牌和 $5$ 绿牌。她洗牌并按随机顺序将牌 $10$ 排成 $5$ 一排。当且仅当所有放出的红牌都是相邻的，并且所有放出的绿牌都是相邻的，她才会高兴。例如，牌的顺序 RRGGG、GGGGR 或 RRRRR 会让 Kathy 高兴，但 RRRGR 不会。Kathy 高兴的概率是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

问题4

在 $\三角形 ABC, AB = AC = 10$ 和中 $BC=12美元$ 。点 $D$ 严格位于 $A$ 和 $B$ 之间 $\overline{AB}$ ，点 $E$ 严格位于 $A$ 和 $加元$ 之间， $\overline{AC}$ 使得 $AD = DE = EC$ 。则 $AD$ 可以表示为的形式 $\dfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题5

$(x,y)$ 对于满足的每对有序实数， $\log_2(2x+y) = \log_4(x^2+xy+7y^2)$ 存在一个实数 $K$ 使得， $\log_3(3x+y) = \log_9(3x^2+4xy+Ky^2)。$ 求出所有可能值的乘积 $K$ 。

问题 6

设为具有属性 $N$ 的复数的数量，为实数。求除以时的余数。 $z$ $|z|=1$ $z^{6!}-z^{5!}$ $N$ $1000$

问题 7

一个直立六角柱的高为 $2$ 。底面是边长为的正六边形 $1$ 。任意 $3$ 一个 $12$ 顶点都可以确定一个三角形。求出这些等腰三角形（包括等边三角形）的数量。

问题 8

设 $ABCDEF$ 为等角六边形 $AB=6, BC=8, CD=10$ ，且 $DE=12$ ，。表示 $d$ 六边形内最大圆的直径。求 $d^2$ 。

问题 9

求具有以下性质的四元素子集的数量 $\{1,2,3,4,\dots, 20\}$ ：一个子集的两个不同元素的和为 $16$ ，而一个子集的两个不同元素的和为 $24$ 。例如， $\{3,5,13,19\}$ 和 $\{6,10,20,18\}$ 就是两个这样的子集。

问题 10

下图所示的轮子由两个圆圈和五根辐条组成，辐条与圆圈相交的每个点都有一个标签。一只虫子从点开始沿着轮子行走 $A$ 。在此过程的每一步，虫子都从一个标记点走到一个相邻的标记点。沿着内圈，虫子只以逆时针方向行走，沿着外圈，虫子只以顺时针方向行走。例如，虫子可以沿着路径行进 $阿贾ABCHCHIJA$ ，该路径有 $10$ 台阶。设为以点为起点和终点的有台阶 $n$ 的路径数。当除以时，求余数。 $15$ $A.$ $n$ $1000$

$[asy] 尺寸(6cm); 绘制(单位圆); 绘制(比例(2) * 单位圆); for(int d = 90; d < 360 + 90; d += 72){ 绘制(2 * dir(d) -- dir(d)); } 点(1 * dir( 90), 线宽(5)); 点(1 * dir(162), 线宽(5)); 点(1 * dir(234), 线宽(5)); 点(1 * dir(306), 线宽(5)); 点(1 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(306), 线宽(5)); 点(2 * dir(234), 线宽(5)); 点(2 * dir(162), 线宽(5));点（2 * dir（90），线宽（5））；标签("$A$", 1 * dir( 90), -dir( 90));标签("$B$", 1 * 目录(162), -dir(162));标签(“$C$”, 1 * 目录(234), -dir(234));标签(“$D$”, 1 * 目录(306), -dir(306));标签("$E$", 1 * 目录(378), -dir(378));标签(“$F$”, 2 * 目录(378), 目录(378));标签(“$G$”, 2 * 目录(306), 目录(306));标签(“$H$”, 2 * 目录(234), 目录(234));标签(“$I$”, 2 * 目录(162), 目录(162));标签("$J$", 2 * 目录( 90), 目录( 90)); [/asy]$

问题11

寻找最小正整数， $n$ 使得当以 $3^n$ 为底数写入时 $143$ ，其底数最右边的两位数字 $143$ 为 $01$ 。

问题 12

对于的每个子集，设为元素的和，定义为。如果在 $T$ 的所有子集中随机选择，则能被整除的概率为，其中和是互质正整数。求。 $U = \{ 1,2,3,\ldots,18 \}$ $s(T)$ $T$ $s(\空集)$ $0$ $T$ $U$ $s(T)$ $3$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $百万$

问题 13

设 $\三角形ABC$ 边长 $AB=30$ 为 $BC=32$ 、和 $AC=34$ 。点 $X$ 位于的内部 $\overline{BC}$ ，点 $I_1$ 和分别是和的 $I_2$ 内心。求当沿变化时的最小可能面积。 $\三角形ABX$ $\三角形ACX$ $\三角形AI_1I_2$ $X$ $\overline{BC}$

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AIME竞赛成绩对美国大学申请的影响有哪些？考多少分才有竞争力？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级阶段考试，满分为15分。其成绩不仅对美国大学申请有重要影响，还对数学夏令营的申请具有参考价值。以下是对AIME竞赛成绩的分析以及其在不同领域中的影响。

一、AIME竞赛成绩分析

平均分：每年的平均分大约在5分左右。

竞争力分数：通常考到7分以上被认为是有竞争力的分数。高分不仅证明学生在数学领域的卓越才能，还显示他们有能力解决复杂而抽象的问题。

二、AIME成绩对美国大学申请的影响

Top30院校申请

历年数据显示，申请美国Top30院校的学生通常需要AIME成绩达到7分以上。这一分数显示了学生在数学方面的扎实基础和潜力。

Top20院校申请

对于Top20院校，至少需要8分以上的AIME成绩。这表明这些院校对数学能力有更高的要求，尤其是对于申请理工科专业的学生。

三、AIME成绩对数学夏令营申请的影响

顶级数学夏令营

像Ross、SUMaC等顶级数学夏令营对AIME成绩有较高要求。参加这些夏令营可以为学生后续申请院校提高竞争力。一般来说，AIME成绩达到9分左右会更具竞争力。

晋级USA(J)MO的要求

晋级分数：要晋级到USAMO（美国数学奥林匹克）或USJMO（美国初中数学奥林匹克），通常需要答对8-9道题，即取得8-9分的成绩。这是对学生数学能力的进一步考验。

晋级分数算法：

USAMO标准分数 = AMC12分 + 10 x AIME分数。

USAJMO标准分数 = AMC10分 + 10 x AIME分数。

AIME不仅是展示数学才能的平台，也是进入更高级别数学竞赛的关键。通过AIME，学生可以获得展示其数学能力的机会，这对于未来的学术发展和大学申请都是一个重要的加分项。高分成绩在竞争激烈的大学申请和夏令营中起到显著的作用，帮助学生在众多申请者中脱颖而出。

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2025年AIME邀请赛考试时间是什么时候？参赛条件是什么？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。以下是关于AIME的参赛条件、考试时间、竞赛规则以及考试策略的详细介绍。

一、AIME竞赛参赛条件

报名渠道：通过AMC中国区组委会（AMC China）报名参加AMC10/12考试，并达到AIME晋级分数线的学生将自动获邀参加AIME。

参赛方式：无需单独报名，晋级学生会自动注册AIME I的考试，并收到官方邮件通知。

二、2025年AIME邀请赛考试时间

AIME Ⅰ：2025年2月6日（美国时间）

AIME Ⅱ：2025年2月12日（美国时间）

三、AIME竞赛规则

考试时间：每年有两个考试日期，AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参加。

考试形式：个人赛，包含15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

考试题型：填空题，每个问题的答案是一个三位数的正整数（000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

四、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目7~10：作为过渡题，要求考生对知识点有深刻理解和高熟练度，如排列组合、二项式定理、韦达定理、高次方程、不定方程、牛顿恒等式等。建议大约30到40分钟完成。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

通过这些策略，考生可以在AIME中有效提升解题效率和得分能力。AIME不仅考查数学知识，还评估考生的解题策略和思维能力，因此，合理的时间分配和解题技巧是取得高分的关键。

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有哪些途径可以晋级到AIME数学竞赛？AMC、AIME和USA(J)MO晋级关系是？

美国数学邀请赛（AIME）是美国数学竞赛体系中的重要环节，旨在选拔数学能力突出的学生。以下是晋级到AIME的主要途径：

1. 通过AMC10/12晋级

AMC10/12成绩要求：

在AMC10和AMC12中达到AIME分数线的学生将获得AIME的参赛邀请。

在AMC10A/10B考生中，至少前2.5%的学生有资格参加AIME。

在AMC12A/12B考生中，至少前5%的学生有资格参加AIME。

重要性：

获得AIME资格是对学生数学能力的认可，并为他们提供了参加更高级别竞赛（如USAJMO或USAMO）的机会。

AIME成绩与AMC10/12成绩结合用于评估学生的数学潜力，是许多顶尖大学录取时的重要考量因素。

晋级标准：

AIME的得分乘以10，加上AMC10或AMC12的总分，用于USA(J)MO的资格认证。

2. 通过美国数学才能搜索（USAMTS）晋级

USAMTS简介：

美国数学才能搜索（USAMTS）是除了AMC10和AMC12之外，唯一可以直接晋级AIME的数学竞赛。

参赛者需拥有美国身份或提供美国地址。

晋级条件：

在USAMTS中获得前5%的金奖的学生可以直接晋级到AIME。

3、AMC、AIME和USA(J)MO晋级关系

AMC和AIME的成绩共同决定USAJMO和USAMO的资格。以下是相关的指数分数计算方式：

USAJMO指数分数：

AMC10分数 + 10 × AIME分数

USAMO指数分数：

AMC12分数 + 10 × AIME分数

晋级标准：

USA(J)MO的典型临界值通常在210到230之间。

申请角度

AIME成绩的重要性：

AIME 7分以上被视为具有竞争力的分数。

申请数学夏令营（如ROSS, SUMaC）通常需要AIME成绩在9分左右。

通过AIME的成绩，学生不仅可以展示其数学能力，还能为未来的学术和职业发展奠定基础。AIME是通向更高级别竞赛和学术机会的桥梁，帮助学生在数学领域取得更高成就。

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AIME数学邀请赛难度如何？考试策略是什么？高分技巧有哪些？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。其难度体现在多个方面，以下是详细分析及考试策略。

一、AIME数学竞赛难度

考察内容更深，知识面更广

AIME不仅考查考生的数学知识广度，还强调对数学知识的深入理解。考生需要熟练掌握多种数学概念和技巧，并能够灵活运用这些知识来解决复杂问题。试题从第6题开始难度逐渐增加，第7题和第8题作为过渡，难度上升，而第9到第15题则进入难题阶段，要求考生具备更高的解决问题能力。

几何部分图形更为复杂

在AIME中，几何部分的难度显著提升。无论是平面几何还是立体几何，解析几何的考察难度已接近中国高考水平。这对考生的空间想象力和几何推理能力提出了更高的要求。

二、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

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AIME数学邀请赛的历年晋级分数线是什么？考试形式是什么？

AIME，即美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination），是中国学生参与AMC系列数学竞赛的终极挑战赛。该竞赛由美国数学协会（MAA）主办，是美国数学竞赛体系中的一个重要环节。

一、AIME数学竞赛考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器使用：不允许使用计算器。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10和AMC 12类似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率。虽然微积分不在考查范围内，但解题时可以运用微积分方法。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程、二次方程的整数根

三、AIME的历年晋级分数线是什么？

AMC10 A卷		AMC10 B卷
年份	AIME晋级分数线	年份	AIME晋级分数线
2023	103.5	2023	105
2022	93	2022	94.5
2021（Fall）	96	2021（Fall）	96
2021(Spring）	103.5	2021(Spring）	102
2020	103.5	2020	102
2019	103.5	2019	108
2018	111	2018	108
2017	112.5	2017	120
2016	110	2016	110
2015	106.5	2015	120
2014	120	2014	120
2013	108	2013	120
2012	115.5	2012	120

AMC12 A卷		AMC12 B卷
年份	AIME晋级分数线	年份	AIME晋级分数线
2023	85.5	2023	88.5
2022	85.5	2022	81
2021（Fall）	91.5	2021（Fall）	84
2021(Spring）	93	2021(Spring）	91.5
2020	87	2020	87
2019	84	2019	94.5
2018	93	2018	99
2017	96	2017	100
2016	93	2016	100.5
2015	0	2015	100.5
2014	93	2014	100.5
2013	88.5	2013	93
2012	94.5	2012	99

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AIME是美国数学竞赛考试安排是什么？AIME竞赛的难度体现在哪？

AIME是美国数学竞赛体系中的一项重要考试，旨在选拔优秀的数学人才。以下是关于AIME的详细资格要求、考试安排、以及与AMC的区别和联系。

1. 如何获得AIME的资格？

AMC 10：邀请至少向得分最高的2.5%的考生发出。

AMC 12：邀请至少向得分最高的5%的考生发出。

具体截止分数：取决于每场比赛的难度。

2. AIME和其他数学竞赛的监考安排

监考人员：应由学校老师（最好是数学老师）或管理人员、学院或大学数学教师，或其他负责任的成年人（如数学俱乐部教练或图书管理员）担任。监考员不应与任何参与者有关系。

3. AIME结果的查看时间

AIME分数可在提交后24小时内在AMC平台上查看。

USAMO和USAJMO的资格赛和奖励报告将在3到4周内在AMC平台上提供。

4. AMC成绩与AIME资格的匹配

如果参加了多个AMC测试（A-date和B-date），系统将自动选择更高的分数用于AIME资格。

5. AIME考试地点安排

学生应尽可能在参加AMC 10或AMC 12的同一地点参加AIME。

如果需要更改考试地点，学生需与新的比赛经理安排，并填写“更改地点”表格。

6. AIME1与AIME2的选择

不能同时参加：考生只能选择AIME I或AIME II中的一场。

考试安排：AIME I通常在AIME II之前一周举行。

难度和晋级：两者题目难度相差不大，但AIME II的平均分通常略高于AIME I。

7. AIME成绩的用途

Top 30院校申请：通常需要AIME成绩达到7分以上。

Top 20院校申请：AIME成绩至少需要达到8分以上。

数学夏令营申请：AIME成绩达到9分左右会更具竞争力。

晋级USA(J)MO：通常需要在AIME中取得8-9分的成绩。

8. AIME竞赛的难度

题型差异：

AMC10/12：主要为选择题，可以通过排除法或猜测。

AIME：填空题，没有选择项，要求准确计算。

计算要求：

AMC10/12：有选择题选项，允许估算。

AIME：严格要求精确计算。

思维深度：

AMC10/12：涉及基础概念和直接应用。

AIME：要求更深入的数学理解和解决复杂问题的能力。

AIME的考试不仅考查学生的数学知识，还评估他们的计算能力和解决问题的技巧。通过AIME，学生可以展示其数学才能，并为未来的学术发展奠定坚实基础。

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谁有资格参加美国数学邀请赛AIME？晋级途径有哪些？

美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination，简称AIME）是美国数学竞赛体系中的重要环节，旨在选拔和培养数学能力突出的学生。AIME由美国数学竞赛AMC10和AMC12的成绩决定，表现优异的学生将受邀参加。

一、AIME数学竞赛参赛资格

通过AMC10/12晋级：

在AMC 10A/10B考生中，至少前2.5%的学生有资格参加AIME。

在AMC 12A/12B考生中，至少前5%的学生有资格参加AIME。

达到AIME分数线的学生将收到官方邮件邀请参加。

通过USAMTS晋级：

美国数学才能搜索（USAMTS）是另一途径。获得USAMTS前5%的金奖的学生可直接晋级AIME。

二、AIME数学竞赛赛事安排

考试时间：每年有两个日期，分别为AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参赛。

考试形式：个人赛，有15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

题型：答案为三位数的正整数（从000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

三、AIME数学竞赛晋级途径

通过AMC10/12成绩：

AIME成绩与AMC10/12成绩结合用于评估学生的数学潜力。

晋级USAJMO或USAMO的标准是将AIME得分乘以10，加上AMC10或AMC12的总分。

例如，AMC12得分为110，AIME得分为8，则USAMO指数分数为110 + 10×8 = 190。

通过USAMTS成绩：

通过USAMTS获得前5%的金奖可晋级AIME。

晋级关系与分数要求

AMC、AIME与USA(J)MO晋级关系：

AMC10/12成绩与AIME成绩共同决定USAJMO和USAMO资格。

USAJMO指数分数：AMC10分数 + 10×AIME分数。

USAMO指数分数：AMC12分数 + 10×AIME分数。

USA(J)MO的典型临界值通常在210到230之间。

申请角度：

AIME 7分以上为竞争性分数，9分左右适用于申请ROSS、SUMaC等数学夏令营。

重要提示

单场考试：学生只能选择参加AIME Ⅰ或AIME Ⅱ，不能同时参加，否则将被取消资格。

受邀确认：AIME是邀请赛，受邀学生需在规定时间内确认参加。

AIME不仅是对学生数学能力的认可，也是通向更高级别数学竞赛的桥梁。通过AIME的成绩，学生不仅可以展示自己的数学才能，还能为未来的学术和职业发展奠定坚实基础。

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AIME数学竞赛考试形式是什么？AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点？

AIME是美国数学邀请赛的一部分，旨在考查学生的高级数学能力，是AMC（美国数学竞赛）10和12的晋级考试。以下是关于AIME的考试形式、详细考察范围及其与AMC的异同点。

一、AIME考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时。

考察内容：代数、几何、数论和组合学，展示卓越数学所需的多种技能。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10/12相似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率，但允许使用微积分方法解题。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程

三、AIME与AMC10/12考试内容的异同

异同点分析：

AMC：主要考查基础数学知识和技能，适合广泛学生群体。

AIME：更侧重于综合能力和深度思考，需要学生在复杂情境中灵活应用知识。

AIME强调“最优化计算路径”的寻找，要求学生评估不同的解决方案，选择最有效的计算方式。

四、AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点

AMC10晋级AIME：

需补充的知识点较多，特别是代数和几何方面。

代数：复数、单位元、三角函数

几何：余弦定理

排列组合：递归、马尔可夫链

AMC12晋级AIME：

AIME考点与AMC12重合度高，但在几何、数论和组合方面有少量额外知识点。

几何：Bashing方法、根轴

数论：LTE定理、不定方程

五、近两年 AIME I 试题分析

试题分类：

代数与几何为核心：需要复杂计算。

数论与组合数学为核心：要求较强的逻辑思维能力和数学技巧。

通过这些详细的知识点和考试形式的了解，学生可以更好地准备AIME，以便在竞赛中展示出色的数学能力。

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2019年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

两个不同的点 $C$ 和 $$D 美元$ 位于直线 $$AB 美元$ 的同一侧，因此 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 BAD$ 与 $AB=9，BC=AD=10$ 和全等 $CA=DB=17$ 。这两个三角形区域的交集有 area $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 2

睡莲叶 $1,2,3，\ldots$ 一排躺在池塘上。一只青蛙从 pad $1 美元$ 开始进行一系列跳跃。青蛙从任何 pad $$k 美元$ 跳到 Pad $$k+1 美元$ 或 Pad $$k+2 美元$ 随机选择的可能性 $\tfrac{1}{2}$ ，并且独立于其他跳跃。青蛙访问 pad $7 美元$ 的概率是 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数。查找 $p+q$ .

问题 3

求满足以下方程组的正整数 $（a，b，c，d，e，f，g）$ 元组数 $7 美元$ ： $abc=70$ $cde=71$ $efg=72.$

问题 4

标准的六面公平骰子被掷四次。所有四个数的乘积都是完全平方的概率是 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对质数的正整数。查找 $m+n$ .

问题 5

四名大使和每人的一名顾问将坐在一张圆桌旁，椅子 $12 美元$ 上有编号 $12 美元$ ，以便 $1 美元$ .每位大使必须坐在一把偶数的椅子上。每位顾问必须坐在其大使旁边的椅子上。在这种情况下， $8 美元$ 人们有 $$N 美元$ 办法坐在谈判桌前。求除以 $1000 美元$ 时 $$N 美元$ 的余数。

问题 6

在火星文明中，所有未指定 base 的对数都被假定为 base $$b 美元$ ，对于一些固定 $b\ge2$ 的。一名火星学生写下来，发现这个方程组只有一个实数解 $$x>1 美元$ 。查找 $$b 美元$ . $3\log（\sqrt{x}\log x）=56$ $\log_{\log x}（x）=54$

问题 7

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB=120，BC=220$ ，和 $$AC=180 美元$ 。线 $\ell_A，\ell_B$ ，和 $$\ell_C$ 美元$ 分别平行于 $\overline{BC}，\overline{AC}$ 、和 $\overline{AB}$ ，使得 $\ell_A，\ell_B$ 的交点和 $$\ell_C$ 美元$ 与的内部的 $\三角形 ABC$ 交点分别是长度为 $55,45$ 、和 $15 美元$ 的线段。求边位于线 $\ell_A，\ell_B$ 上的三角形的周长，以及 $$\ell_C$ 美元$ 。

问题 8

多项式 $f（z）=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的实系数不超过 $2019 美元，$$ 和 $f\left（\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right）=2015+2019\sqrt3i$ 。求除以 $1000 美元$ 时 $f（1）$ 的余数。

问题 9

如果正整数 $n$ 正好有 $$k 美元$ 正正数，并且 $n$ 能被 $$k 美元$ 整除，则调用 $$k 美元$ -pretty 。 $n$ 例如， $18 美元$ 是 $6 美元$ -pretty。设 $S$ 为小于 $2019$ $20 美元$ -pretty 的正整数之和。查找 $\tfrac{S}{20}$ .

问题 10

和之间有一个唯一的角度 $\theta$ ，因此，对于非负整数 $n，$ ，当是的 $3 美元$ 倍数时 $n$ ，其 $\tan（2^n\theta）$ 值为正，否则为负。 $0^\circ$ $90^\circ$ 的度测度 $\theta$ 是 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$ .

问题 11

三角形 $ABC$ 有边长 $AB=7，BC=8，$ ， $CA=9.$ 圆 $$\omega_1$ 美元$ 穿过 $$B 美元$ ，在圆穿过时与线相切 $C$ ，在圆 $$\omega_2$ 美元$ 穿过时与线 $$AC 美元$ $A.$ $$AB 美元$ 相切，在 $A.$ 设 $K$ 为圆的交点 $$\omega_1$ 美元$ ， $$\omega_2$ 美元$ 不等于 $A.$ Then $AK=\tfrac{m}{n}，$ ，其中 $$m 美元$ 和 $n$ 是相对素数正整数。找到 $m+n.$