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谁有资格参加美国数学邀请赛AIME？晋级途径有哪些？

美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination，简称AIME）是美国数学竞赛体系中的重要环节，旨在选拔和培养数学能力突出的学生。AIME由美国数学竞赛AMC10和AMC12的成绩决定，表现优异的学生将受邀参加。

一、AIME数学竞赛参赛资格

通过AMC10/12晋级：

在AMC 10A/10B考生中，至少前2.5%的学生有资格参加AIME。

在AMC 12A/12B考生中，至少前5%的学生有资格参加AIME。

达到AIME分数线的学生将收到官方邮件邀请参加。

通过USAMTS晋级：

美国数学才能搜索（USAMTS）是另一途径。获得USAMTS前5%的金奖的学生可直接晋级AIME。

二、AIME数学竞赛赛事安排

考试时间：每年有两个日期，分别为AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参赛。

考试形式：个人赛，有15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

题型：答案为三位数的正整数（从000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

三、AIME数学竞赛晋级途径

通过AMC10/12成绩：

AIME成绩与AMC10/12成绩结合用于评估学生的数学潜力。

晋级USAJMO或USAMO的标准是将AIME得分乘以10，加上AMC10或AMC12的总分。

例如，AMC12得分为110，AIME得分为8，则USAMO指数分数为110 + 10×8 = 190。

通过USAMTS成绩：

通过USAMTS获得前5%的金奖可晋级AIME。

晋级关系与分数要求

AMC、AIME与USA(J)MO晋级关系：

AMC10/12成绩与AIME成绩共同决定USAJMO和USAMO资格。

USAJMO指数分数：AMC10分数 + 10×AIME分数。

USAMO指数分数：AMC12分数 + 10×AIME分数。

USA(J)MO的典型临界值通常在210到230之间。

申请角度：

AIME 7分以上为竞争性分数，9分左右适用于申请ROSS、SUMaC等数学夏令营。

重要提示

单场考试：学生只能选择参加AIME Ⅰ或AIME Ⅱ，不能同时参加，否则将被取消资格。

受邀确认：AIME是邀请赛，受邀学生需在规定时间内确认参加。

AIME不仅是对学生数学能力的认可，也是通向更高级别数学竞赛的桥梁。通过AIME的成绩，学生不仅可以展示自己的数学才能，还能为未来的学术和职业发展奠定坚实基础。

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AIME数学竞赛考试形式是什么？AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点？

AIME是美国数学邀请赛的一部分，旨在考查学生的高级数学能力，是AMC（美国数学竞赛）10和12的晋级考试。以下是关于AIME的考试形式、详细考察范围及其与AMC的异同点。

一、AIME考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时。

考察内容：代数、几何、数论和组合学，展示卓越数学所需的多种技能。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10/12相似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率，但允许使用微积分方法解题。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程

三、AIME与AMC10/12考试内容的异同

异同点分析：

AMC：主要考查基础数学知识和技能，适合广泛学生群体。

AIME：更侧重于综合能力和深度思考，需要学生在复杂情境中灵活应用知识。

AIME强调“最优化计算路径”的寻找，要求学生评估不同的解决方案，选择最有效的计算方式。

四、AMC10/12晋级AIME需要补充的知识点

AMC10晋级AIME：

需补充的知识点较多，特别是代数和几何方面。

代数：复数、单位元、三角函数

几何：余弦定理

排列组合：递归、马尔可夫链

AMC12晋级AIME：

AIME考点与AMC12重合度高，但在几何、数论和组合方面有少量额外知识点。

几何：Bashing方法、根轴

数论：LTE定理、不定方程

五、近两年 AIME I 试题分析

试题分类：

代数与几何为核心：需要复杂计算。

数论与组合数学为核心：要求较强的逻辑思维能力和数学技巧。

通过这些详细的知识点和考试形式的了解，学生可以更好地准备AIME，以便在竞赛中展示出色的数学能力。

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2019年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

两个不同的点 $C$ 和 $D 美元位于直线$AB 美元的同一侧，因此 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 BAD$ 与 $AB=9，BC=AD=10$和 全等$CA=DB=17$。这两个三角形区域的交集有 area $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 2

睡莲叶$1,2,3，\ldots$一排躺在池塘上。一只青蛙从 pad 1 美元开始进行一系列跳跃。青蛙从任何 pad $k 美元 跳到 Pad $k+1 美元 或 Pad $k+2 美元 随机选择的可能性$\tfrac{1}{2}$，并且独立于其他跳跃。青蛙访问 pad 7 美元 的概率是 $\tfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数。查找 $p+q$.

问题 3

求满足以下方程组的正整数$（a，b，c，d，e，f，g）$元组数7 美元：\[abc=70\]\[cde=71\]\[efg=72.\]

问题 4

标准的六面公平骰子被掷四次。所有四个数的乘积都是完全平方的概率是 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对质数的正整数。查找 $m+n$.

问题 5

四名大使和每人的一名顾问将坐在一张圆桌旁，椅子12 美元上有编号12 美元，以便 1 美元 .每位大使必须坐在一把偶数的椅子上。每位顾问必须坐在其大使旁边的椅子上。在这种情况下，8 美元人们有$N 美元办法坐在谈判桌前。求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 6

在火星文明中，所有未指定 base 的对数都被假定为 base $b 美元，对于一些固定$b\ge2$的 。一名火星学生写下来，发现这个方程组只有一个实数解$x>1 美元。查找 $b 美元.\[3\log（\sqrt{x}\log x）=56\]\[\log_{\log x}（x）=54\]

问题 7

三角形$ABC$的边长为 $AB=120，BC=220$，和 $AC=180 美元。线 $\ell_A，\ell_B$， 和 $\ell_C$ 美元 分别平行于 $\overline{BC}，\overline{AC}$、 和 $\overline{AB}$，使得 $\ell_A，\ell_B$的交点 和 $\ell_C$ 美元 与 的内部 的$\三角形 ABC$交点分别是长度为 $55,45$、 和 15 美元的线段。求边位于线 $\ell_A，\ell_B$上的 三角形的周长 ，以及 $\ell_C$ 美元。

问题 8

多项式$f（z）=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$的实系数不超过 2019 美元，$ 和 $f\left（\tfrac{1+\sqrt3i}{2}\right）=2015+2019\sqrt3i$。求除以 1000 美元时 $f（1）$ 的余数。

问题 9

如果正整数$n$正好有$k 美元正正数，并且$n$能被 $k 美元整除，则调用 $k 美元-pretty 。$n$例如，18 美元是 6 美元-pretty。设 $S$ 为小于 $2019$ 20 美元-pretty 的正整数之和。查找 $\tfrac{S}{20}$.

问题 10

和 之间有一个唯一的角度$\theta$，因此，对于非负整数$n，$，当 是 的3 美元倍数时$n$，其$\tan（2^n\theta）$值为 正，否则为负。$0^\circ$ $90^\circ$的度测度$\theta$是 $\tfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.

问题 11

三角形$ABC$有边长$AB=7，BC=8，$，$CA=9.$圆$\omega_1$ 美元穿过$B 美元，在圆穿过时与线相切$C$，在圆$\omega_2$ 美元穿过时与线$AC 美元 $A.$ $AB 美元相切，在$A.$设$K$为圆的交点$\omega_1$ 美元，$\omega_2$ 美元不等于 $A.$ Then$AK=\tfrac{m}{n}，$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 12

for $n\ge1$ 调用一个有限正整数序列$（a_1，a_2，\ldots，a_n）$，如果 则进行递增，$a_i<a_{i+1}$并为 $a_i$ 进行除法$a_{i+1}$。$1\le i\le n-1$求渐进序列的数量，使序列中各项的总和等于360.美元

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2019年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

考虑整数 求 的位数之和 $N 美元。\[N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 位数字}.\]

问题 2

Jenn 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$中随机选择一个数字$J 美元。然后，Bela 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$ distinct from $J 美元中随机选择一个数字$B 美元。的值 $B - J$ is 至少2 美元具有可以用 形式表示的概率$\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

在 、 $PR=15 美元、 $QR=20 美元和 $PQ=25 美元中$\三角形 PQR$。点 $A 美元 和 $B 美元 躺在 $\overline{PQ}$上 ，点 $C$ 和 $D 美元 躺在 $\overline{QR}$上 ，点 $E 美元 和 $F$ 躺在 $\overline{PR}$上 ，其中 $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$。求 六边形 $ABCDEF 美元的面积。

问题 4

足球队有22 美元可用的球员。一组固定的11 美元球员开始比赛，而另一11 美元组球员则作为替补。在比赛中，教练可以进行多达数量的3 美元换人，其中比赛中的任何一名11 美元球员被一名替补球员换下。从游戏中被移除的玩家不得重新进入游戏，但稍后可以替换进入游戏的替补球员。不能同时发生两个换人。参与的球员和换人的顺序很重要。设 $n$ 为教练在比赛中可以进行换人的方式数（包括不换人的可能性）。求除以 1000 美元时 $n$ 的余数。

问题 5

移动的粒子从该点$（4,4）$开始移动，直到它第一次碰到其中一个坐标轴。当粒子位于点 $（a，b）$处时，它会随机移动到点 、 $（a，b-1）$或 $（a-1，b-1）$中的一个点，每个点$（a-1，b）$的概率$\tfrac{1}{3}$与 之前的移动无关。它击中坐标轴 的$（0,0）$概率为 $\tfrac{m}{3^n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，$m 美元不能被 3 美元整除。查找 $m + n$.

问题 6

在凸四边形$KLMN 美元中，边$\overline{MN}$垂直于对角线 $\overline{KM}$，边$\overline{KL}$垂直于对角线 $\overline{LN}$，$MN = 65 美元和 $KL = 28 美元。穿过 $L 美元 side $\overline{KN}$ 的线与 $\overline{KM}$ .$O 美元 $KO = 8 美元查找 $MO 美元.

问题 7

有正整数 $x 美元 和 $y 美元 满足方程组 设 $m 美元 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数的数量$x 美元，设 $n$ 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数 $y 美元的数量。查找 $3m+2n$.\[\log_{10} x + 2 \log_{10} （\gcd（x，y）） = 60\]\[\log_{10} y + 2 \log_{10} （\text{lcm}（x，y）） = 570.\]

问题 8

设 $x 美元 为实数，使得 $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$。然后 $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 9

设 $\tau（n）$ 表示 的正整数除数的个数$n$。求 的 6 个最小正整数之和$n$，这些整数是 的$\tau （n） + \tau （n+1） = 7$解。

问题 10

对于不同的复数 $z_1，z_2，\dots，z_{673}$，多项式可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018} + 19x^{2017}+g（x）$，其中 $g（x）$ 是具有复系数且最大2016 美元具有度数 的多项式。的值可以用 $\tfrac{m}{n}$的形式表示，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.\[（x-z_1）^3（x-z_2）^3 \cdots （x-z_{673}）^3\]\[\left| \sum_{1 \le j <k \le 673} z_jz_k \right|\]

问题 11

在 $\三角形 ABC$中，边具有整数长度 和 $AB=AC$。圆$\omega$的中心位于 $\三角形 ABC$的内侧。的外圆$\三角形 ABC$是位于三角形外部的圆，$\三角形 ABC$它与三角形的一侧相切，与其他两侧的延伸相切。假设 相$\overline{BC}$切的外圆在 内部与 $\omega$相切，而其他两个外圆都在 外切于 $\omega$。求 的$\三角形 ABC$周长的最小可能值。

问题 12

给定 $f（z） = z^2-19z$，存在具有 、 和 $f（f（z））$ 性质$z$$f（z）$的复数$z$，它们是复平面中直角为 的直角三角形$f（z）$的顶点。有正整数$m 美元，$n$因此 的一个$z$这样的值为 $m+\sqrt{n}+11i$是 。查找 $m+n$.

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2020年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求正整数的有序对数，$（m，n）$使得 ${m^2n = 20 ^{20}}$。

问题 2

设 $P 美元 为在单位正方形内部均匀随机选择的点，其顶点位于 $（0,0）， （1,0）， （1,1）$、 和 $（0,1）$处。由 $P 美元 和 点$\left（\frac58， \frac38 \right）$确定的线的斜率大于或等于的概率$\frac12$可以写为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

满足的值$x 美元$\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 4

三角形 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 A'B'C'$ 位于坐标平面中，顶点为 $A（0,0）$、 $B（0,12）$$C（16,0）美元$A'（24,18）$$B'（36,18）$$C'（24,2）$。围绕点顺时针旋转$m 美元度数，其中 $0<m<180$，将转换为 $\三角形 ABC$ $\三角形 A'B'C'$。$（x，y）$查找 $m+x+y$.

问题 5

对于每个正整数 $n$，设 $f（n）$ 为以 4 为基数表示中的位数之和 $n$ ，设 $g（n）$ 为 的以 8 为基数表示中的位数之和 $f（n）$。例如， $f（2020） = f（133210_{\text{4}}） = 10 = 12_{\text{8}}$和 $g（2020） = \text{}12_{\text{8}} = 3$ 的位数和。.设 $N 美元 的最小值，$n$使得 的以 16 为基数$g（n）$的表示不能仅使用数字到 9 美元来表示。$0$求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 6

通过 $t_1 = 20 美元、 $t_2 = 21 美元、 和 for all $n \ge 3$递归定义序列。then $t_{2020}$ 可以写成 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.\[t_n = \frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}\]

问题 7

两个全等的直圆锥体，每个圆锥体的底面半径3 美元和高度8 美元都具有对称轴，这些圆锥体在圆锥体内部的一点上以直角相交，该点距每个圆锥体的底面有一段距离3 美元。半径较大的球$r 美元体位于两个圆锥体内。的最大可能值为 $r^2$ $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 8

通过 $f_1（x）=|x-1|$ 和 $f_n（x）=f_{n-1}（|x-n|）$ for integers $n>1美元递归定义序列。求 的$n$最小值，使得 的零之和$f_n$超过 $500,000$。

问题 9

在观看表演时，Ayako、Billy、Carlos、Dahlia、Ehuang 和 Frank 按此顺序坐在一排六把椅子上。休息时，他们去厨房吃点心。当他们回来时，他们坐在那六把椅子上，如果其中两个人在休息前挨着坐，那么他们在休息后就不会挨着坐。查找他们在休息后可以选择的可能座位顺序的数量。

问题 10

求所有正整数的和，$n$使得当除以 $n+5 美元时$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$，余数为 17 美元。

问题 11

设 $P（x） = x^2 - 3x - 7$，和 设 $Q（x）$ 和 $R（x）$ 是两个系数$x^2$等于 1 美元的二次多项式。David 计算了三个和$P + Q$$P + R$中的每一个，并且$Q + R$惊讶地发现这些和的每一对都有一个公共根，而这三个公共根是不同的。如果 $Q（0） = 2 美元， 则 $R（0） = \frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 12

设 $m 美元 和 $n$ 为大于 的奇数 1.$ 美元 矩形$m\次 n$由单位正方形组成，其中顶行中的正方形从左到右编号，整数1 美元通过 $n$，第二行中的正方形从左到右编号，整数$n + 1 美元通过 $2n$ 美元，依此类推。Square 200 美元 位于顶行，square 2000 美元 位于底行。求大于 1 美元 在$m\次 n$矩形中穿过正方形中心200 美元并与2000 美元正方形$1099$内部相交的线 的属性的有序奇数对$（m，n）$的数量。

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2020年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在 $\三角形 ABC$ with $AB=AC，$ point $D 美元 严格位于 and $C$ on side $\overline{AC}，$ 和 $A 美元 point $E 美元 严格位于 and $A 美元 $B 美元 on side $\overline{AB}$ 中，使得 $AE=ED=DB=BC.$ 的度测$\angle ABC$度是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到$m+n.$

问题 2

有一个唯一的正实数$x 美元，使得这三个数字$\log_8（2x），\log_4x，$并$\log_2x，$按该顺序形成具有正公比的几何级数。该数字$x 美元可以写为 $\tfrac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 3

正整数$N 美元具有以 11 为基数的表示$\underline{a}\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}$形式和以 8 为底的表示$\underline1\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}\kern 0.1em\underline{a}，$形式，其中 $a，b，$ 和 $c 美元 表示（不一定是不同的）数字。找到以 10 为基数表示的最小 such $N 美元 值。

问题 4

设 $S$ 是一组正整数，$N 美元其属性为最后四位数字 $N 美元 are2020 美元，$，当删除最后四位数字时，结果是 $N.$ 例如， $42{，}020$ is in $S$ because 4 美元 是 的除数 $42{，}020.$ 美元 查找中所有数字的所有数字之和 $S.$ 例如，该数字$42{，}020$对这个总数有贡献$4+2+0+2+0=8$。

问题 5

六张编号1 美元的6 美元牌将排成一排。找出这六张牌的排列数量，其中一张牌可以被移除，其余五张牌按升序或降序排列。

问题 6

平板具有一个半径较大的圆孔1 美元和一个半径较大的圆孔，2 美元使得两个孔的中心之间的距离为 7 美元。两个半径相等的球体位于两个孔中，使得球体彼此相切。球体半径的平方为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 7

由11 美元男性和12 美元女性组成的俱乐部需要从其成员中选择一个委员会，以便委员会中的女性人数比委员会中的男性人数多一。委员会可以有 1 1 美元 个成员，也可以有 1 23 美元 个成员。设 $N 美元 可以成立的此类委员会的数量。求除以的素数之和$N.$

问题 8

虫子整天走路，整夜睡觉。第一天，它从面向东的点$O，$开始，向正东走一段5 美元单位的距离。每天晚上，虫子都会$60^\circ$逆时针旋转。它每天朝这个新方向走的路程只有前一天走的一半。该错误任意接近点 $P.$ Then $OP^2=\tfrac{m}{n}，$ where$m 美元，并且$n$是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 9

设 $S$ 为三个数字的正整数除数$20^9.$ 美元的集合，这些数字是独立且随机选择的，并从集合$S$中替换并按它们被选择的顺序进行标记$a_1，a_2，$$a_3$。除法和除法的$a_1$概率是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。$a_3$ $a_2$ $a_2$找到$m.$

问题 10

让 $m 美元 和 $n$ 为满足条件的正整数

$\quad\bullet\ \gcd（m+n，210）=1，$

$\quad\bullet\ m^m$是 和 的$n^n，$倍数

$\quad\bullet\ m$不是 的倍数$n.$

求 的最小可能值$m+n.$

问题 11

对于整数$a，b，c$和 $d，$ let 和 $g（x）=x^2+cx+d.$ 求$f（x）=x^2+ax+b$绝对值不超过10 美元其整数的有序三元$（a，b，c）$组的数量，其中有一个整数，$d 美元使得$g（f（2））=g（f（4））=0.$

问题 12

设 $n$ 为可被 除以 $3^3\cdot5^5\cdot7^7.$ 的最少正整数 $149^n-2^n$ 求 的正整数除数$n.$

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2021年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析，来试试难度？

2021年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求所有三位数回文的算术平均值。（回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字，例如 $777$ 或 $383$。

问题 2

等边三角形$ABC$的边长840 美元为 。Point $D 美元 位于直线$BC 美元的同一侧，因此 $A 美元 $\overline{BD} \perp \overline{BC}$.$\ell$直线平行$D 美元于直线$BC 美元相交两侧$\overline{AB}$和$\overline{AC}$点 $E 美元 和 $F$。点$G 美元位于 $\ell$ $F$ 和 $G 美元$\triangle AFG$ 之间 $E 美元 是等腰，面积$\triangle AFG$与 面积$\三角形 BED$的比值为 $8：9$。查找 $AF$.[asy] 对 A，B，C，D，E，F，G;B=原点;A=5*目录（60）;C=（5,0）;E=0.6*A+0.4*B;F=0.6*A+0.4*C;G=旋转（240，F）*A;D=扩展（E，F，B，dir（90））;draw（D--G--A，灰色）;draw（B--0.5*A+rotate（60，B）*A*0.5，grey）;draw（A--B--C--cycle，linewidth（1.5））;dot（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G）;标签（“$A$”，A，dir（90））;标签（“$B$”，B，dir（225））;标签（“$C$”，C，dir（-45））;标签（“$D$”，D，dir（180））;标签（“$E$”，E，dir（-45））;标签（“$F$”，F，dir（225））;标签（“$G$”，G，dir（0））;标签（“$\ell$”，midpoint（E--F），dir（90））;[/亚西]

问题 3

求数字1 美元、2 美元、3 美元、4 美元、5 美元的排列$x_1、x_2、x_3、x_4、x_5$数，使得五个乘积之和可以被 3 美元整除。\[x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 + x_5x_1x_2\]

问题 4

有实数 $a、b、c、$ 和 $d 美元 这样的 是 $-20$ $x^3 + 斧头 + b$ 的根 和 $-21$ 美元 是 的根 $x^3 + cx^2 + d.$ 这两个多项式共享一个复根$m + \sqrt{n} \cdot i，$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，而 $i = \sqrt{-1}.$ Find$m+n.$

问题 5

对于正实数 $s 美元，设 表示$\tau（s）$所有具有面积$s 美元和两条边的长度为 4 美元 和 10 美元的钝三角形的集合。all $s 美元 $\tau（s）$ 的集合为非空，但 中的所有$\tau（s）$三角形都是全等的，是一个区间 $[a，b）$。查找 $a^2+b^2$.

问题 6

对于任何有限集 $S$，设 $|S|$ 表示 中的$S$元素数。查找有序对$（A，B）$的数量，使得 $A 美元 和 $B 美元 是 满足 的 （不一定是不同的） 子集$\{1,2,3,4,5\}$\[|A|\cdot |B|= |A \cap B|\cdot |A \cup B|\]

问题 7

设 $a、b、c、$ 和 $d 美元 为满足方程组的实数 存在相对素数的$m 美元正整数，$n$因此 Find $m + n$。\begin{align*} a + b &= -3， \\ ab + bc + ca &= -4， \\ abc + bcd + cda + dab &= 14， \\ abcd &= 30.\end{对齐*}\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.\]

问题 8

蚂蚁在立方体上进行一系列移动，其中一次移动包括沿立方体的边缘从一个顶点走到相邻顶点。最初，ant 位于立方体底面的顶点处，并从三个相邻顶点中选择一个作为它的第一次移动。对于第一次移动之后的所有移动，ant 不会返回到其前一个顶点，而是选择移动到其他两个相邻顶点之一。所有选项都是随机选择的，因此每个可能的移动可能性都相等。在恰好8 美元移动之后，该 ant 位于立方体顶面的顶点的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m + n.$

问题 9

求有序对$（m， n）$的数量，使得 $m 美元 和 $n$ 是集合$\{1， 2， ...， 30\}$中的正整数，并且 $2^m + 1$ 和 $2^n - 1$ 的最大公约数 不是 1 美元。

问题 10

两个半径为的球体36 美元和一个半径为13 美元的球体分别与其他两个球体和两个不同的平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$在外部相切。平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 的交点是直线 $\ell$。从线$\ell$到半径13 美元为的球体与平面$\mathcal{P}$相切的点的距离为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 11

一位老师正在带领一个由四个完美逻辑的学生组成的班级。老师选择了一组$S$四个整数$S$，并为每个学生提供了一个不同的数字。然后，老师向全班宣布，里面$S$的数字是四个连续的两位数正整数，某个数字 in $S$ 可以被 6 美元整除，而另一个数字 in $S$ 可以被 7 美元整除。然后老师问是否有学生能推断出什么是$S$，但所有学生都异口同声地回答说没有。

然而，在听到四个学生都回答“否”后，每个学生都能够确定 的$S$要素。求 的最大元素 的所有$S$可能值之和 。

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2021年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析，看看难不难？

2021年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Zou 和 Chou 正在通过互相比赛6 美元来练习他们的100 美元米短跑。邹赢得第一场比赛，之后，他们中的一个人赢得比赛的概率是$\frac23$他们赢得了前一场比赛，但前提是$\frac13$他们输掉了前一场比赛。Zou 赢得5 美元6 美元比赛的概率是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 2

在下图中， $ABCD 美元 是一个边长为 $AB=3 美元 和 $BC=11 美元的矩形，$AECF$是一个边长为 $AF=7 美元 的矩形，$FC=9，$如图所示。两个矩形内部共有的阴影区域面积为 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

[asy] 对 A、B、C、D、E、F;A = （0,3）;B=（0,0）;C=（11,0）;D=（11,3）;E=英尺（C， A， （9/4,0））;F=英尺（A， C， （35/4,3））;draw（A--B--C--D--循环）;draw（A--E--C--F--循环）;filldraw（A--（9/4,0）--C--（35/4,3）--cycle，gray*0.5+0.5*lightgray）;点（A^^B^^C^^D^^E^^F）;标签（“$A$”， A， W）;标签（“$B$”， B， W）;标签（“$C$”， C， （1,0））;标签（“$D$”， D， （1,0））;标签（“$F$”， F， N）;标签（“$E$”， E， S）;[/亚西]

问题 3

找到小于1000 美元该数量的正整数数，可以表示为 的两个整数幂之差2.$ 美元

问题 4

找出可以将相同的硬币分成三个非空堆的方法66 美元数量，以便第一堆中的硬币比第二堆中的硬币少，第二堆中的硬币比第三堆中的硬币少。

问题 5

如果三项的平方和等于中间项与公差的平方的乘积，则称三项严格递增的整数算术序列为 special。求所有特殊序列的第三项之和。

问题 6

线段 $\overline{AB}， \overline{AC}，$ 和 $\overline{AD}$ 是多维数据集的边，$\overline{AG}$是穿过多维数据集中心的对角线。Point $P 美元 满足 $BP=60\sqrt{10}$、 、 $CP=60\sqrt{5}$$DP=120\sqrt{2}$和 $GP=36\sqrt{7}$。找到$AP.$

问题 7

求正整数对$（m，n）$的数量，$1\le m<n\le 30$使得存在$x 美元一个满足\[\sin（mx）+\sin（nx）=2.\]

问题 8

求整数的个数，$c 美元使方程具有不同12 美元的实数解。\[\left||20|x|-x^2|-c\right|=21\]

问题 9

设 $ABCD 美元 为等腰梯形，其中 $AD=BC$ 和 $AB<CD.$ 假设到$A 美元线$BC，CD，$的距离 和 $BD 美元 分别为 $15,18，$ 和 10，美元 。设 $K$ 为 Find 的$ABCD.$面积$\sqrt2 \cdot K.$

问题 10

考虑由 和 定义的正有理数序列 $（a_k）_{k\ge 1}$ ，如果 $k\ge 1$$a_k = \frac{m}{n}$ 对于 相对素数正$m 美元整数 和 $n$，则$a_1 = \frac{2020}{2021}$

\[a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}.\]确定所有正整数的总和，$j 美元以便有理数$a_j$可以写成$\frac{t}{t+1}$某个正整数 $t 美元的形式。

问题 11

设 $ABCD 美元 为循环四边形，其中 $AB=4，BC=5，CD=6，$ 和 $DA=7.$ 设 $A_1$ 和 $C_1$ 分别是$A 美元$C，美元垂线的脚，以 和 分别为 和 $BD，$ $B_1$ 的垂线的脚，以 $B 美元 和 $D_1$ $D，$ 分别为 和 的垂线的英尺，以线$AC.$的周长 $A_1B_1C_1D_1$ 是$\frac mn，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 12

设 $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ 为十二边形 （12 美元-gon）。三只青蛙最初坐在 $A_4，A_8，$ 和 $A_{12}$上。在每一分钟结束时，三只青蛙中的每只都会同时跳到与其当前位置相邻的两个顶点之一，随机且独立地选择，两种选择的可能性相同。一旦两只青蛙同时到达同一顶点，所有三只青蛙都会停止跳跃。青蛙停止跳跃之前的预期分钟数是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

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2022年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2022年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

由音乐会上的人群组成的$\frac5{12}$成年人。在一辆载有50 美元更多人的公共汽车到达后，由音乐会现场的人们组成的$\frac{11}{25}$成年人组成。找出巴士到达后可能参加音乐会的最少成人人数。

问题 2

Azar、Carl、Jon 和 Sergey 是单打网球锦标赛中剩下的四名球员。他们在半决赛中被随机分配对手，这些比赛的获胜者在决赛中相互对战，以确定锦标赛的获胜者。当 Azar 对阵 Carl 时，Azar 将以概率$\frac23$赢得比赛。当 Azar 或 Carl 与 Jon 或 Sergey 对战时，Azar 或 Carl 将有概率$\frac34$赢得比赛。假设不同对战的结果是独立的。Carl 赢得比赛的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.

问题 3

具有体积54 美元的直方形金字塔具有边长$6.$的底面 金字塔的五个顶点都位于半径$\frac mn$为 的球体上，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 4

有一个不等于 either $\tfrac{1}{20}$ 或 的正实数$x 美元该值$\log_{20x} （22x）$可以写为 $\log_{10} （\tfrac{m}{n}）$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正$\tfrac{1}{2}$整数。查找 $m+n$.\[\log_{20x} （22x）=\log_{2x} （202x）.\]

问题 5

20 个不同的点标记在一个圆圈上，并按顺时针顺序标记1 美元。20 美元在标签相差一个素数的每对点之间绘制一条线段。查找其顶点位于原始20 美元点之间的三角形数。

问题 6

设 $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ 为实数，使得 $|x_1|+ |x_2|+ \cdots + |x_{100}|= 1 美元 和 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$。在所有此类100 美元数字元组中，$x_{76} - x_{16}$可以实现的最大值是 $\tfrac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 7

半径为 6 美元 的圆与半径为 24 美元的圆在外部相切。求由这两个圆的三条公共切线界定的三角形区域的面积。

问题 8

求当给定 ， ， 和 $\左\lfloor\frac n6\右\rfloor$ 的值时可以唯一确定其值的正整数$n \le 600$的数量，其中$\lfloor x \rfloor$表示小于或等于实数 $x 美元的最大整数。$\left\lfloor \frac n4\right\rfloor$$\左\l地板\frac n5\右\r地板$

问题 9

设 $\ell_A$ 美元 和 $\ell_B$ 美元 为两条不同的平行线。对于正整数 $m 美元 和 $n$，不同的点位于 $\ell_A$ 美元上，不同的点$B_1、B_2、B_3、\ldots、B_n$$A_1、A_2、\allowbreak A_3、\allowbreak \ldots、\allowbreak A_m$位于 $\ell_B$ 美元上。此外，当为 all $i=1,2,3，\ldots，m$ 和 绘制线段$\overline{A_iB_j}$时，没有一个点严格位于 和 之间$\ell_A$ 美元，位于$\ell_B$ 美元两个以上的线段$j=1，\allowbreak 2，\allowbreak 3， \ldots， \allowbreak n$上。求此图例在 和 $n=5 美元时$m=7$将平面划分为的有界区域数。该图显示 when $m=3$ 和 $n=2$有 8 个区域。[asy] import geometry;尺寸（10 厘米）;draw（（-2,0）--（13,0））;draw（（0,4）--（10,4））;标签（“$\ell_A$”，（-2,0），W）;标签（“$\ell_B$”，（0,4），W）;点 A1=（0,0），A2=（5,0），A3=（11,0），B1=（2,4），B2=（8,4），I1=扩展（B1，A2，A1，B2），I2=扩展（B1，A3，A1，B2），I3=扩展（B1，A3，A2，B2）;draw（B1--A1--B2）;draw（B1--A2--B2）;draw（B1--A3--B2）;标签（“$A_1$”，A1，S）;标签（“$A_2$”，A2，S）;标签（“$A_3$”，A3，S）;标签（“$B_1$”，B1，N）;标签（“$B_2$”，B2，N）;标签（“1”，质心（A1，B1，I1））;标签（“2”，质心（B1，I1，I3））;标签（“3”，质心（B1，B2，I3））;标签（“4”，质心（A1，A2，I1））;标签（“5”，（A2+I1+I2+I3）/4）;标签（“6”，质心（B2，I2，I3））;标签（“7”，质心（A2，A3，I2））;标签（“8”，质心（A3，B2，I2））;点 （A1）;点 （A2）;点 （A3）;点 （B1）;点 （B2）;[/亚西]

问题 10

求余数 when除以 1000 美元。\[\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \dots + \binom{\binom{40}{2}}{2}\]

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2022年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2022年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

二次多项式 $P（x）$ 和 $Q（x）$ 分别具有前导系数 2 美元 和 $-2，$ 。两个多项式的图形都通过两个点$（16,54）$和 $（20,53）.$ Find$P（0） + Q（0）.$

问题 2

找到三位数的正整数$\underline{a}\，\underline{b}\，\underline{c}$，其在基数 9 中的表示形式是$\underline{b}\，\underline{c}\，\underline{a}_{\，\text{nine}}，$其中 $a，$ $b，$ 和 $c 美元 是（不一定不同的）数字。

问题 3

在等腰中，梯形$ABCD，$平行底 和 $\overline{CD}$ 分别具有长度 500 美元 和 ，$650，美元以及 $AD=BC=333.$ $\angle A$ 和 的角平分线 和 $\angle D$ 相交于 $P，$ $Q.$ 和 的角平分线 $\angle B$ 和 $\angle C$ 在 Find $\overline{AB}$ 处相交$PQ.$

问题 4

设 $w = \dfrac{\sqrt{3} + i}{2}$ 和 $z = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}，$ where $i = \sqrt{-1}.$ 查找不超过100 美元满足方程的正整数的有序对$（r，s）$数$i \cdot w^r = z^s.$

问题 5

一条数$264$米宽的笔直河流以每分钟14 美元米的速度从西向东流淌。Melanie 和 Sherry 坐在河的南岸，Melanie 距离 Sherry 下游几$D 美元米远。相对于水，Melanie 以80 美元每分钟米数游泳，而 Sherry 以每分钟60 美元米数游泳。与此同时，Melanie 和 Sherry 开始直线游到河北岸与她们的起始位置等距的点。两个女人同时到达了这一点。找到$D.$

问题 6

求有序整数对的数量，$（a，b）$使得序列严格递增，并且没有一组四个（不一定是连续的）项形成算术级数。\[3,4,5，a，b，30,40,50\]

问题 7

设 $a，b，c，d，e，f，g，h，i$ 不同的整数 from 1 美元 到 9.$ 美元 的最小可能正值可以写为 $\frac{m}{n}，$ where$m 美元，并且$n$是相对素数的正整数。找到\[\dfrac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}\]$m+n.$

问题 8

等边三角形$\三角形 ABC$内接在$\omega$半径18.$ 美元为 Circle 的圆上，Circle $\omega_A$ 美元 与边$\overline{AB}$相切，$\overline{AC}$内部与 Circle 相切$\omega.$$\omega_B$ 美元，$\omega_C$ 美元定义类似。圆圈$\omega_A，$$\omega_B，$并在 $\omega_C$ 美元 6 个点中相遇---每对圆圈 2 个点。最靠近顶点的三个交点$\三角形 ABC$是 内部$\三角形 ABC，$一个大等边三角形的顶点，其他三个交点是 内部一个较小的等边三角形的顶点$\三角形 ABC.$，较小的等边三角形的边长可以写成 $\sqrt{a} - \sqrt{b}，$ 其中 $a 美元 和 $b 美元 是正整数。找到$a+b.$

问题 9

Ellina 有 12 个块，红色 （$\textbf{R}$）、蓝色 （$\textbf{B}$）、黄色 （$\textbf{Y}$）、绿色 （$\textbf{G}$）、橙色 （）$\textbf{O}$ 和紫色 （）$\textbf{P}$ 各两个。如果每对相同颜色的块之间有偶数个块，则调用块$\textit{even}$的排列。例如，排列是均匀的。Ellina 以随机顺序将她的块排成一行。她的排列为 偶数 的概率是 $\frac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到\[\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}\]$m+n.$

问题 10

三个半径为 11，美元 13，美元 且19 美元相互外部切线的球体。一个平面在三个分别以 $A，$ $B，$ 和 $C，美元 为中心的全等圆中与球体相交，并且球体的中心都位于该平面的同一侧。假设 $AB^2 = 560.$ Find$AC^2.$

问题 11

设$ABCD 美元一个平行四边形，其中 $\angle 坏< 90^\circ.$ A 圆与侧面$\overline{DA}，$$\overline{AB}，$相切，$\overline{BC}$$\overline{AC}$并在点$P 美元处对角线相交，$Q 美元如图所示$AP < AQ，$。假设 $AP=3，$ $PQ=9，$ 和 $QC=16.$ 则 $ABCD 美元 的面积可以用其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数的形式$m\sqrt{n}，$表示，并且$n$不能被任何素数的平方整除。找到$m+n.$

[asy] defaultpen（线宽（0.6）+字体大小（11））;尺寸（8 厘米）;对 A，B，C，D，P，Q;A=（0,0）;标签（“$A$”， A， SW）;B=（6,15）;标签（“$B$”， B， NW）;C=（30,15）;标签（“$C$”， C， NE）;D=（24,0）;标签（“$D$”， D， SE）;P=（5.2,2.6）;标签（“$P$”， （5.8,2.6）， N）;Q=（18.3,9.1）;标签（“$Q$”， （18.1,9.7）， W）;draw（A--B--C--D--循环）;平局 （C--A）;draw（圆（（10.95,7.45）， 7.45））;dot（A^^B^^C^^D^^P^^Q）;[/亚西]

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