2005年 AIME I 数学邀请赛真题

2005年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

$加元$ 六个全等圆组成一个环，每个圆都与两个相邻的圆外切。所有圆都与半径为 30 的圆内切。设是环内六个圆外的 $K$ 区域的面积。求 $加元$ $\lfloor K \rfloor.$

问题 2

对于每个正整数， $k,$ 让 $S_k$ 表示整数的递增算术序列，其首项为 1，其公差为 $k.$ 例如， $S_3$ 序列是多少 $1,4,7,10,\ldots.$ 个值包含项 2005？ $k$ $S_k$

问题 3

有多少个正整数恰好有三个真因数（不包括其本身的正整数因数），并且每个真因数都小于 50？

问题4

一支游行乐队的指挥希望将乐队成员排成一个包括所有成员的队形，并且没有空缺。如果将他们排成方阵，则剩余 5 名成员。指挥意识到，如果他将乐队排成行数比列数多 7 的队形，则没有剩余成员。求出这支乐队最多可以容纳多少成员。

问题5

罗伯特有 4 枚无法区分的金币和 4 枚无法区分的银币。每枚硬币的一面都雕刻有一面的图案，而另一面则没有。他想将桌上的 8 枚硬币堆成一摞，使相邻的两枚硬币不会面对面。求出 8 枚硬币可能出现的可区分排列方式的数量。

问题 6

设 $P$ 是非实根的乘积，则 $x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$ 发现 $\lfloor P\rfloor.$

问题 7

在四边形 $ABCD, BC=8, CD=12, AD=10,$ 和中，假设 $m\angle A= m\angle B = 60^\circ.$ 和为正整数，求 $AB = p + \sqrt{q},$ $p$ $q$ $p+q.$

问题 8

该方程 $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ 有三个实根。已知它们的和为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数，求 $m+n.$

问题 9

将 27 个单位立方体的四个面涂成橙色，使两个未涂漆的面共用一个边。然后将 27 个立方体随机排列成一个 $3\乘以 3 \乘以 3$ 立方体。假设大立方体的整个表面都是橙色的概率为 $\frac{p^a}{q^br^c},$ 其中 $p,q,$ 和 $r$ 是不同的素数，和 $a,b,$ 是 $c$ 正整数，求 $a+b+c+p+q+r.$

问题 10

三角形 $ABC$ 位于笛卡尔平面，面积为 70。的坐标 $B$ 和 $加元$ 分别为 $(12,19)$ 和 $(23,20),$ ，的坐标为 $A$ 包含 $(p,q).$ 中线到边的直线的 $BC$$ 斜率 $-5.$ 为 $p+q.$

问题11

一个直径为的半圆包含在一个边长为 8 的正方形中。已知 $d$ 的最大值，求 $d$ $m-\sqrt{n},$ $m+n.$

问题 12

对于正整数， $n,$ 设表示包括1和的 $\tau(n)$ 正整数因数的个数。例如，和定义为设表示奇数正整数的个数，设表示偶数正整数的个数。查找 $n,$ $n.$ $\tau(1)=1$ $\tau(6) =4.$ $S(n)$ $S(n)=\tau(1)+ \tau(2) + \cdots + \tau(n).$ $a$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $b$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $|ab|.$