2005年 AIME II 数学邀请赛真题

2005年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

游戏使用一副 $n$ 不同的牌，其中 $n$ 是整数，并且 $n \geq 6.$ 从牌组中可以抽出的 6 张牌的可能组合数是可以抽出的 3 张牌的可能组合数的 6 倍。求 $n.$

问题 2

一家酒店为三位客人准备了早餐。每份早餐应该包括三种面包卷，坚果卷、奶酪卷和水果卷各一份。准备者将九个面包卷一一包好，一旦包好，这些面包卷就无法区分了。然后，她随机将三个面包卷放在一个袋子里，送给每位客人。假设每位客人得到每种面包卷的概率为 $\frac mn,$ 其中 $百万$ 和 $n$ 是互质整数，求 $m+n.$

问题 3

一个无穷几何级数的和为 2005。对原级数的每个项取平方后得到一个新级数，其和为原级数的 10 倍。原级数的公比为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质整数。求 $m+n.$

问题4

找出至少能被其中一个整除的正整数的数量 $10^{10},15^7,18^{11}.$

问题5

确定有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得 $\log_a b + 6\log_b a=5, 2 \leq a \leq 2005,$ 和 $2 \leq b \leq 2005.$

问题 6

一叠卡片中的卡片从上到下按 $2n$ 从 1 到 1 的顺序连续编号。移除最上面的卡片，按顺序排列，形成一堆。剩下的卡片形成一堆。然后交替从堆和的顶部取卡片重新堆叠。在此过程中，卡片编号成为新一叠的底部卡片，卡片编号 1 位于此卡片之上，依此类推，直到堆和都用完。如果在重新堆叠过程之后，每一堆中至少有一张卡片占据了与原始堆中相同的位置，则该堆被称为神奇堆。求出神奇堆中卡片编号 131 保留其原始位置的卡片数量。 $2n$ $n$ $A.$ $B.$ $B$ $A,$ $(n+1)$ $A$ $B$

问题 7

让 $x=\frac{4}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt[8]{5}+1)(\sqrt[16]{5}+1)}.$ 找到 $(x+1)^{48}.$

问题 8

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 是外切圆，并且它们都是圆的内切圆和的 $C_3.$ 半径分别为4和10，三个圆的圆心共线。的弦也是和的公共外切线。已知弦长为其中和为正整数，和为互质数，且不能被任何质数的平方整除，求 $C_1$ $C_2$ $C_3$ $C_1$ $C_2.$ $\frac{m\sqrt{n}}p$ $m,n,$ $p$ $百万$ $p$ $n$ $m+n+p.$

问题 9

对于所有实数来说，有多少 $n$ 个小于或等于 1000 的正整数为真？ $(\sin t + i \cos t)^n = \sin nt + i \cos nt$ $t$

问题 10

已知 $O$ 是正八面体，即 $加元$ 以面心为顶点的立方体 $O,$ ，且的体积 $O$ 与的体积之比为其中 $加元$ 和为互质整数，求 $\frac mn,$ $百万$ $n$ $m+n.$

问题11

设 $百万$ 是一个正整数，设是一个实 $a_0, a_1,\ldots,a_m$ 数序列， $a_0 = 37, a_1 = 72, a_m = 0,$ 且 $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac 3{a_k}$ 对于 $k = 1,2,\ldots, m-1.$ $百万$

问题 12

平方 $ABCD$ 有中心 $O, AB=900, E$ ，并且 $F$ 在上，且在和和 $AB$ 之间。假设和为正整数，且不能被任何素数的平方整除，求 $AE<BF$ $E$ $A$ $F, m\angle EOF =45^\circ,$ $EF=400.$ $BF=p+q\sqrt{r},$ $p,q,$ $r$ $r$ $p+q+r.$