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2019年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2019年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

考虑整数 求 的位数之和 $N 美元。\[N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{321 位数字}.\]

问题 2

Jenn 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$中随机选择一个数字$J 美元。然后，Bela 从 $1， 2， 3，\ldots， 19， 20$ distinct from $J 美元中随机选择一个数字$B 美元。的值 $B - J$ is 至少2 美元具有可以用 形式表示的概率$\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

在 、 $PR=15 美元、 $QR=20 美元和 $PQ=25 美元中$\三角形 PQR$。点 $A 美元 和 $B 美元 躺在 $\overline{PQ}$上 ，点 $C$ 和 $D 美元 躺在 $\overline{QR}$上 ，点 $E 美元 和 $F$ 躺在 $\overline{PR}$上 ，其中 $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$。求 六边形 $ABCDEF 美元的面积。

问题 4

足球队有22 美元可用的球员。一组固定的11 美元球员开始比赛，而另一11 美元组球员则作为替补。在比赛中，教练可以进行多达数量的3 美元换人，其中比赛中的任何一名11 美元球员被一名替补球员换下。从游戏中被移除的玩家不得重新进入游戏，但稍后可以替换进入游戏的替补球员。不能同时发生两个换人。参与的球员和换人的顺序很重要。设 $n$ 为教练在比赛中可以进行换人的方式数（包括不换人的可能性）。求除以 1000 美元时 $n$ 的余数。

问题 5

移动的粒子从该点$（4,4）$开始移动，直到它第一次碰到其中一个坐标轴。当粒子位于点 $（a，b）$处时，它会随机移动到点 、 $（a，b-1）$或 $（a-1，b-1）$中的一个点，每个点$（a-1，b）$的概率$\tfrac{1}{3}$与 之前的移动无关。它击中坐标轴 的$（0,0）$概率为 $\tfrac{m}{3^n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，$m 美元不能被 3 美元整除。查找 $m + n$.

问题 6

在凸四边形$KLMN 美元中，边$\overline{MN}$垂直于对角线 $\overline{KM}$，边$\overline{KL}$垂直于对角线 $\overline{LN}$，$MN = 65 美元和 $KL = 28 美元。穿过 $L 美元 side $\overline{KN}$ 的线与 $\overline{KM}$ .$O 美元 $KO = 8 美元查找 $MO 美元.

问题 7

有正整数 $x 美元 和 $y 美元 满足方程组 设 $m 美元 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数的数量$x 美元，设 $n$ 为 的质因数分解中（不一定不同的）质因数 $y 美元的数量。查找 $3m+2n$.\[\log_{10} x + 2 \log_{10} （\gcd（x，y）） = 60\]\[\log_{10} y + 2 \log_{10} （\text{lcm}（x，y）） = 570.\]

问题 8

设 $x 美元 为实数，使得 $\sin^{10}x+\cos^{10} x = \tfrac{11}{36}$。然后 $\sin^{12}x+\cos^{12} x = \tfrac{m}{n}$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 9

设 $\tau（n）$ 表示 的正整数除数的个数$n$。求 的 6 个最小正整数之和$n$，这些整数是 的$\tau （n） + \tau （n+1） = 7$解。

问题 10

对于不同的复数 $z_1，z_2，\dots，z_{673}$，多项式可以表示为 $x^{2019} + 20x^{2018} + 19x^{2017}+g（x）$，其中 $g（x）$ 是具有复系数且最大2016 美元具有度数 的多项式。的值可以用 $\tfrac{m}{n}$的形式表示，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.\[（x-z_1）^3（x-z_2）^3 \cdots （x-z_{673}）^3\]\[\left| \sum_{1 \le j <k \le 673} z_jz_k \right|\]

问题 11

在 $\三角形 ABC$中，边具有整数长度 和 $AB=AC$。圆$\omega$的中心位于 $\三角形 ABC$的内侧。的外圆$\三角形 ABC$是位于三角形外部的圆，$\三角形 ABC$它与三角形的一侧相切，与其他两侧的延伸相切。假设 相$\overline{BC}$切的外圆在 内部与 $\omega$相切，而其他两个外圆都在 外切于 $\omega$。求 的$\三角形 ABC$周长的最小可能值。

问题 12

给定 $f（z） = z^2-19z$，存在具有 、 和 $f（f（z））$ 性质$z$$f（z）$的复数$z$，它们是复平面中直角为 的直角三角形$f（z）$的顶点。有正整数$m 美元，$n$因此 的一个$z$这样的值为 $m+\sqrt{n}+11i$是 。查找 $m+n$.

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2020年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求正整数的有序对数，$（m，n）$使得 ${m^2n = 20 ^{20}}$。

问题 2

设 $P 美元 为在单位正方形内部均匀随机选择的点，其顶点位于 $（0,0）， （1,0）， （1,1）$、 和 $（0,1）$处。由 $P 美元 和 点$\left（\frac58， \frac38 \right）$确定的线的斜率大于或等于的概率$\frac12$可以写为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 3

满足的值$x 美元$\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 4

三角形 $\三角形 ABC$ 和 $\三角形 A'B'C'$ 位于坐标平面中，顶点为 $A（0,0）$、 $B（0,12）$$C（16,0）美元$A'（24,18）$$B'（36,18）$$C'（24,2）$。围绕点顺时针旋转$m 美元度数，其中 $0<m<180$，将转换为 $\三角形 ABC$ $\三角形 A'B'C'$。$（x，y）$查找 $m+x+y$.

问题 5

对于每个正整数 $n$，设 $f（n）$ 为以 4 为基数表示中的位数之和 $n$ ，设 $g（n）$ 为 的以 8 为基数表示中的位数之和 $f（n）$。例如， $f（2020） = f（133210_{\text{4}}） = 10 = 12_{\text{8}}$和 $g（2020） = \text{}12_{\text{8}} = 3$ 的位数和。.设 $N 美元 的最小值，$n$使得 的以 16 为基数$g（n）$的表示不能仅使用数字到 9 美元来表示。$0$求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 6

通过 $t_1 = 20 美元、 $t_2 = 21 美元、 和 for all $n \ge 3$递归定义序列。then $t_{2020}$ 可以写成 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.\[t_n = \frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}\]

问题 7

两个全等的直圆锥体，每个圆锥体的底面半径3 美元和高度8 美元都具有对称轴，这些圆锥体在圆锥体内部的一点上以直角相交，该点距每个圆锥体的底面有一段距离3 美元。半径较大的球$r 美元体位于两个圆锥体内。的最大可能值为 $r^2$ $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 8

通过 $f_1（x）=|x-1|$ 和 $f_n（x）=f_{n-1}（|x-n|）$ for integers $n>1美元递归定义序列。求 的$n$最小值，使得 的零之和$f_n$超过 $500,000$。

问题 9

在观看表演时，Ayako、Billy、Carlos、Dahlia、Ehuang 和 Frank 按此顺序坐在一排六把椅子上。休息时，他们去厨房吃点心。当他们回来时，他们坐在那六把椅子上，如果其中两个人在休息前挨着坐，那么他们在休息后就不会挨着坐。查找他们在休息后可以选择的可能座位顺序的数量。

问题 10

求所有正整数的和，$n$使得当除以 $n+5 美元时$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$，余数为 17 美元。

问题 11

设 $P（x） = x^2 - 3x - 7$，和 设 $Q（x）$ 和 $R（x）$ 是两个系数$x^2$等于 1 美元的二次多项式。David 计算了三个和$P + Q$$P + R$中的每一个，并且$Q + R$惊讶地发现这些和的每一对都有一个公共根，而这三个公共根是不同的。如果 $Q（0） = 2 美元， 则 $R（0） = \frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 12

设 $m 美元 和 $n$ 为大于 的奇数 1.$ 美元 矩形$m\次 n$由单位正方形组成，其中顶行中的正方形从左到右编号，整数1 美元通过 $n$，第二行中的正方形从左到右编号，整数$n + 1 美元通过 $2n$ 美元，依此类推。Square 200 美元 位于顶行，square 2000 美元 位于底行。求大于 1 美元 在$m\次 n$矩形中穿过正方形中心200 美元并与2000 美元正方形$1099$内部相交的线 的属性的有序奇数对$（m，n）$的数量。

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2020年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2020年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在 $\三角形 ABC$ with $AB=AC，$ point $D 美元 严格位于 and $C$ on side $\overline{AC}，$ 和 $A 美元 point $E 美元 严格位于 and $A 美元 $B 美元 on side $\overline{AB}$ 中，使得 $AE=ED=DB=BC.$ 的度测$\angle ABC$度是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到$m+n.$

问题 2

有一个唯一的正实数$x 美元，使得这三个数字$\log_8（2x），\log_4x，$并$\log_2x，$按该顺序形成具有正公比的几何级数。该数字$x 美元可以写为 $\tfrac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 3

正整数$N 美元具有以 11 为基数的表示$\underline{a}\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}$形式和以 8 为底的表示$\underline1\kern 0.1em\underline{b}\kern 0.1em\underline{c}\kern 0.1em\underline{a}，$形式，其中 $a，b，$ 和 $c 美元 表示（不一定是不同的）数字。找到以 10 为基数表示的最小 such $N 美元 值。

问题 4

设 $S$ 是一组正整数，$N 美元其属性为最后四位数字 $N 美元 are2020 美元，$，当删除最后四位数字时，结果是 $N.$ 例如， $42{，}020$ is in $S$ because 4 美元 是 的除数 $42{，}020.$ 美元 查找中所有数字的所有数字之和 $S.$ 例如，该数字$42{，}020$对这个总数有贡献$4+2+0+2+0=8$。

问题 5

六张编号1 美元的6 美元牌将排成一排。找出这六张牌的排列数量，其中一张牌可以被移除，其余五张牌按升序或降序排列。

问题 6

平板具有一个半径较大的圆孔1 美元和一个半径较大的圆孔，2 美元使得两个孔的中心之间的距离为 7 美元。两个半径相等的球体位于两个孔中，使得球体彼此相切。球体半径的平方为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 7

由11 美元男性和12 美元女性组成的俱乐部需要从其成员中选择一个委员会，以便委员会中的女性人数比委员会中的男性人数多一。委员会可以有 1 1 美元 个成员，也可以有 1 23 美元 个成员。设 $N 美元 可以成立的此类委员会的数量。求除以的素数之和$N.$

问题 8

虫子整天走路，整夜睡觉。第一天，它从面向东的点$O，$开始，向正东走一段5 美元单位的距离。每天晚上，虫子都会$60^\circ$逆时针旋转。它每天朝这个新方向走的路程只有前一天走的一半。该错误任意接近点 $P.$ Then $OP^2=\tfrac{m}{n}，$ where$m 美元，并且$n$是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 9

设 $S$ 为三个数字的正整数除数$20^9.$ 美元的集合，这些数字是独立且随机选择的，并从集合$S$中替换并按它们被选择的顺序进行标记$a_1，a_2，$$a_3$。除法和除法的$a_1$概率是$\tfrac{m}{n}，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。$a_3$ $a_2$ $a_2$找到$m.$

问题 10

让 $m 美元 和 $n$ 为满足条件的正整数

$\quad\bullet\ \gcd（m+n，210）=1，$

$\quad\bullet\ m^m$是 和 的$n^n，$倍数

$\quad\bullet\ m$不是 的倍数$n.$

求 的最小可能值$m+n.$

问题 11

对于整数$a，b，c$和 $d，$ let 和 $g（x）=x^2+cx+d.$ 求$f（x）=x^2+ax+b$绝对值不超过10 美元其整数的有序三元$（a，b，c）$组的数量，其中有一个整数，$d 美元使得$g（f（2））=g（f（4））=0.$

问题 12

设 $n$ 为可被 除以 $3^3\cdot5^5\cdot7^7.$ 的最少正整数 $149^n-2^n$ 求 的正整数除数$n.$

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2021年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析，来试试难度？

2021年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

求所有三位数回文的算术平均值。（回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字，例如 $777$ 或 $383$。

问题 2

等边三角形$ABC$的边长840 美元为 。Point $D 美元 位于直线$BC 美元的同一侧，因此 $A 美元 $\overline{BD} \perp \overline{BC}$.$\ell$直线平行$D 美元于直线$BC 美元相交两侧$\overline{AB}$和$\overline{AC}$点 $E 美元 和 $F$。点$G 美元位于 $\ell$ $F$ 和 $G 美元$\triangle AFG$ 之间 $E 美元 是等腰，面积$\triangle AFG$与 面积$\三角形 BED$的比值为 $8：9$。查找 $AF$.[asy] 对 A，B，C，D，E，F，G;B=原点;A=5*目录（60）;C=（5,0）;E=0.6*A+0.4*B;F=0.6*A+0.4*C;G=旋转（240，F）*A;D=扩展（E，F，B，dir（90））;draw（D--G--A，灰色）;draw（B--0.5*A+rotate（60，B）*A*0.5，grey）;draw（A--B--C--cycle，linewidth（1.5））;dot（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G）;标签（“$A$”，A，dir（90））;标签（“$B$”，B，dir（225））;标签（“$C$”，C，dir（-45））;标签（“$D$”，D，dir（180））;标签（“$E$”，E，dir（-45））;标签（“$F$”，F，dir（225））;标签（“$G$”，G，dir（0））;标签（“$\ell$”，midpoint（E--F），dir（90））;[/亚西]

问题 3

求数字1 美元、2 美元、3 美元、4 美元、5 美元的排列$x_1、x_2、x_3、x_4、x_5$数，使得五个乘积之和可以被 3 美元整除。\[x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 + x_5x_1x_2\]

问题 4

有实数 $a、b、c、$ 和 $d 美元 这样的 是 $-20$ $x^3 + 斧头 + b$ 的根 和 $-21$ 美元 是 的根 $x^3 + cx^2 + d.$ 这两个多项式共享一个复根$m + \sqrt{n} \cdot i，$，其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数，而 $i = \sqrt{-1}.$ Find$m+n.$

问题 5

对于正实数 $s 美元，设 表示$\tau（s）$所有具有面积$s 美元和两条边的长度为 4 美元 和 10 美元的钝三角形的集合。all $s 美元 $\tau（s）$ 的集合为非空，但 中的所有$\tau（s）$三角形都是全等的，是一个区间 $[a，b）$。查找 $a^2+b^2$.

问题 6

对于任何有限集 $S$，设 $|S|$ 表示 中的$S$元素数。查找有序对$（A，B）$的数量，使得 $A 美元 和 $B 美元 是 满足 的 （不一定是不同的） 子集$\{1,2,3,4,5\}$\[|A|\cdot |B|= |A \cap B|\cdot |A \cup B|\]

问题 7

设 $a、b、c、$ 和 $d 美元 为满足方程组的实数 存在相对素数的$m 美元正整数，$n$因此 Find $m + n$。\begin{align*} a + b &= -3， \\ ab + bc + ca &= -4， \\ abc + bcd + cda + dab &= 14， \\ abcd &= 30.\end{对齐*}\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.\]

问题 8

蚂蚁在立方体上进行一系列移动，其中一次移动包括沿立方体的边缘从一个顶点走到相邻顶点。最初，ant 位于立方体底面的顶点处，并从三个相邻顶点中选择一个作为它的第一次移动。对于第一次移动之后的所有移动，ant 不会返回到其前一个顶点，而是选择移动到其他两个相邻顶点之一。所有选项都是随机选择的，因此每个可能的移动可能性都相等。在恰好8 美元移动之后，该 ant 位于立方体顶面的顶点的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m + n.$

问题 9

求有序对$（m， n）$的数量，使得 $m 美元 和 $n$ 是集合$\{1， 2， ...， 30\}$中的正整数，并且 $2^m + 1$ 和 $2^n - 1$ 的最大公约数 不是 1 美元。

问题 10

两个半径为的球体36 美元和一个半径为13 美元的球体分别与其他两个球体和两个不同的平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$在外部相切。平面 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{Q}$ 的交点是直线 $\ell$。从线$\ell$到半径13 美元为的球体与平面$\mathcal{P}$相切的点的距离为 $\tfrac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.

问题 11

一位老师正在带领一个由四个完美逻辑的学生组成的班级。老师选择了一组$S$四个整数$S$，并为每个学生提供了一个不同的数字。然后，老师向全班宣布，里面$S$的数字是四个连续的两位数正整数，某个数字 in $S$ 可以被 6 美元整除，而另一个数字 in $S$ 可以被 7 美元整除。然后老师问是否有学生能推断出什么是$S$，但所有学生都异口同声地回答说没有。

然而，在听到四个学生都回答“否”后，每个学生都能够确定 的$S$要素。求 的最大元素 的所有$S$可能值之和 。

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2021年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析，看看难不难？

2021年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Zou 和 Chou 正在通过互相比赛6 美元来练习他们的100 美元米短跑。邹赢得第一场比赛，之后，他们中的一个人赢得比赛的概率是$\frac23$他们赢得了前一场比赛，但前提是$\frac13$他们输掉了前一场比赛。Zou 赢得5 美元6 美元比赛的概率是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 2

在下图中， $ABCD 美元 是一个边长为 $AB=3 美元 和 $BC=11 美元的矩形，$AECF$是一个边长为 $AF=7 美元 的矩形，$FC=9，$如图所示。两个矩形内部共有的阴影区域面积为 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

[asy] 对 A、B、C、D、E、F;A = （0,3）;B=（0,0）;C=（11,0）;D=（11,3）;E=英尺（C， A， （9/4,0））;F=英尺（A， C， （35/4,3））;draw（A--B--C--D--循环）;draw（A--E--C--F--循环）;filldraw（A--（9/4,0）--C--（35/4,3）--cycle，gray*0.5+0.5*lightgray）;点（A^^B^^C^^D^^E^^F）;标签（“$A$”， A， W）;标签（“$B$”， B， W）;标签（“$C$”， C， （1,0））;标签（“$D$”， D， （1,0））;标签（“$F$”， F， N）;标签（“$E$”， E， S）;[/亚西]

问题 3

找到小于1000 美元该数量的正整数数，可以表示为 的两个整数幂之差2.$ 美元

问题 4

找出可以将相同的硬币分成三个非空堆的方法66 美元数量，以便第一堆中的硬币比第二堆中的硬币少，第二堆中的硬币比第三堆中的硬币少。

问题 5

如果三项的平方和等于中间项与公差的平方的乘积，则称三项严格递增的整数算术序列为 special。求所有特殊序列的第三项之和。

问题 6

线段 $\overline{AB}， \overline{AC}，$ 和 $\overline{AD}$ 是多维数据集的边，$\overline{AG}$是穿过多维数据集中心的对角线。Point $P 美元 满足 $BP=60\sqrt{10}$、 、 $CP=60\sqrt{5}$$DP=120\sqrt{2}$和 $GP=36\sqrt{7}$。找到$AP.$

问题 7

求正整数对$（m，n）$的数量，$1\le m<n\le 30$使得存在$x 美元一个满足\[\sin（mx）+\sin（nx）=2.\]

问题 8

求整数的个数，$c 美元使方程具有不同12 美元的实数解。\[\left||20|x|-x^2|-c\right|=21\]

问题 9

设 $ABCD 美元 为等腰梯形，其中 $AD=BC$ 和 $AB<CD.$ 假设到$A 美元线$BC，CD，$的距离 和 $BD 美元 分别为 $15,18，$ 和 10，美元 。设 $K$ 为 Find 的$ABCD.$面积$\sqrt2 \cdot K.$

问题 10

考虑由 和 定义的正有理数序列 $（a_k）_{k\ge 1}$ ，如果 $k\ge 1$$a_k = \frac{m}{n}$ 对于 相对素数正$m 美元整数 和 $n$，则$a_1 = \frac{2020}{2021}$

\[a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}.\]确定所有正整数的总和，$j 美元以便有理数$a_j$可以写成$\frac{t}{t+1}$某个正整数 $t 美元的形式。

问题 11

设 $ABCD 美元 为循环四边形，其中 $AB=4，BC=5，CD=6，$ 和 $DA=7.$ 设 $A_1$ 和 $C_1$ 分别是$A 美元$C，美元垂线的脚，以 和 分别为 和 $BD，$ $B_1$ 的垂线的脚，以 $B 美元 和 $D_1$ $D，$ 分别为 和 的垂线的英尺，以线$AC.$的周长 $A_1B_1C_1D_1$ 是$\frac mn，$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 12

设 $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ 为十二边形 （12 美元-gon）。三只青蛙最初坐在 $A_4，A_8，$ 和 $A_{12}$上。在每一分钟结束时，三只青蛙中的每只都会同时跳到与其当前位置相邻的两个顶点之一，随机且独立地选择，两种选择的可能性相同。一旦两只青蛙同时到达同一顶点，所有三只青蛙都会停止跳跃。青蛙停止跳跃之前的预期分钟数是 $\frac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

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2022年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2022年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

由音乐会上的人群组成的$\frac5{12}$成年人。在一辆载有50 美元更多人的公共汽车到达后，由音乐会现场的人们组成的$\frac{11}{25}$成年人组成。找出巴士到达后可能参加音乐会的最少成人人数。

问题 2

Azar、Carl、Jon 和 Sergey 是单打网球锦标赛中剩下的四名球员。他们在半决赛中被随机分配对手，这些比赛的获胜者在决赛中相互对战，以确定锦标赛的获胜者。当 Azar 对阵 Carl 时，Azar 将以概率$\frac23$赢得比赛。当 Azar 或 Carl 与 Jon 或 Sergey 对战时，Azar 或 Carl 将有概率$\frac34$赢得比赛。假设不同对战的结果是独立的。Carl 赢得比赛的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.

问题 3

具有体积54 美元的直方形金字塔具有边长$6.$的底面 金字塔的五个顶点都位于半径$\frac mn$为 的球体上，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

问题 4

有一个不等于 either $\tfrac{1}{20}$ 或 的正实数$x 美元该值$\log_{20x} （22x）$可以写为 $\log_{10} （\tfrac{m}{n}）$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正$\tfrac{1}{2}$整数。查找 $m+n$.\[\log_{20x} （22x）=\log_{2x} （202x）.\]

问题 5

20 个不同的点标记在一个圆圈上，并按顺时针顺序标记1 美元。20 美元在标签相差一个素数的每对点之间绘制一条线段。查找其顶点位于原始20 美元点之间的三角形数。

问题 6

设 $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ 为实数，使得 $|x_1|+ |x_2|+ \cdots + |x_{100}|= 1 美元 和 $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$。在所有此类100 美元数字元组中，$x_{76} - x_{16}$可以实现的最大值是 $\tfrac mn$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m+n$.

问题 7

半径为 6 美元 的圆与半径为 24 美元的圆在外部相切。求由这两个圆的三条公共切线界定的三角形区域的面积。

问题 8

求当给定 ， ， 和 $\左\lfloor\frac n6\右\rfloor$ 的值时可以唯一确定其值的正整数$n \le 600$的数量，其中$\lfloor x \rfloor$表示小于或等于实数 $x 美元的最大整数。$\left\lfloor \frac n4\right\rfloor$$\左\l地板\frac n5\右\r地板$

问题 9

设 $\ell_A$ 美元 和 $\ell_B$ 美元 为两条不同的平行线。对于正整数 $m 美元 和 $n$，不同的点位于 $\ell_A$ 美元上，不同的点$B_1、B_2、B_3、\ldots、B_n$$A_1、A_2、\allowbreak A_3、\allowbreak \ldots、\allowbreak A_m$位于 $\ell_B$ 美元上。此外，当为 all $i=1,2,3，\ldots，m$ 和 绘制线段$\overline{A_iB_j}$时，没有一个点严格位于 和 之间$\ell_A$ 美元，位于$\ell_B$ 美元两个以上的线段$j=1，\allowbreak 2，\allowbreak 3， \ldots， \allowbreak n$上。求此图例在 和 $n=5 美元时$m=7$将平面划分为的有界区域数。该图显示 when $m=3$ 和 $n=2$有 8 个区域。[asy] import geometry;尺寸（10 厘米）;draw（（-2,0）--（13,0））;draw（（0,4）--（10,4））;标签（“$\ell_A$”，（-2,0），W）;标签（“$\ell_B$”，（0,4），W）;点 A1=（0,0），A2=（5,0），A3=（11,0），B1=（2,4），B2=（8,4），I1=扩展（B1，A2，A1，B2），I2=扩展（B1，A3，A1，B2），I3=扩展（B1，A3，A2，B2）;draw（B1--A1--B2）;draw（B1--A2--B2）;draw（B1--A3--B2）;标签（“$A_1$”，A1，S）;标签（“$A_2$”，A2，S）;标签（“$A_3$”，A3，S）;标签（“$B_1$”，B1，N）;标签（“$B_2$”，B2，N）;标签（“1”，质心（A1，B1，I1））;标签（“2”，质心（B1，I1，I3））;标签（“3”，质心（B1，B2，I3））;标签（“4”，质心（A1，A2，I1））;标签（“5”，（A2+I1+I2+I3）/4）;标签（“6”，质心（B2，I2，I3））;标签（“7”，质心（A2，A3，I2））;标签（“8”，质心（A3，B2，I2））;点 （A1）;点 （A2）;点 （A3）;点 （B1）;点 （B2）;[/亚西]

问题 10

求余数 when除以 1000 美元。\[\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \dots + \binom{\binom{40}{2}}{2}\]

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2022年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2022年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

二次多项式 $P（x）$ 和 $Q（x）$ 分别具有前导系数 2 美元 和 $-2，$ 。两个多项式的图形都通过两个点$（16,54）$和 $（20,53）.$ Find$P（0） + Q（0）.$

问题 2

找到三位数的正整数$\underline{a}\，\underline{b}\，\underline{c}$，其在基数 9 中的表示形式是$\underline{b}\，\underline{c}\，\underline{a}_{\，\text{nine}}，$其中 $a，$ $b，$ 和 $c 美元 是（不一定不同的）数字。

问题 3

在等腰中，梯形$ABCD，$平行底 和 $\overline{CD}$ 分别具有长度 500 美元 和 ，$650，美元以及 $AD=BC=333.$ $\angle A$ 和 的角平分线 和 $\angle D$ 相交于 $P，$ $Q.$ 和 的角平分线 $\angle B$ 和 $\angle C$ 在 Find $\overline{AB}$ 处相交$PQ.$

问题 4

设 $w = \dfrac{\sqrt{3} + i}{2}$ 和 $z = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}，$ where $i = \sqrt{-1}.$ 查找不超过100 美元满足方程的正整数的有序对$（r，s）$数$i \cdot w^r = z^s.$

问题 5

一条数$264$米宽的笔直河流以每分钟14 美元米的速度从西向东流淌。Melanie 和 Sherry 坐在河的南岸，Melanie 距离 Sherry 下游几$D 美元米远。相对于水，Melanie 以80 美元每分钟米数游泳，而 Sherry 以每分钟60 美元米数游泳。与此同时，Melanie 和 Sherry 开始直线游到河北岸与她们的起始位置等距的点。两个女人同时到达了这一点。找到$D.$

问题 6

求有序整数对的数量，$（a，b）$使得序列严格递增，并且没有一组四个（不一定是连续的）项形成算术级数。\[3,4,5，a，b，30,40,50\]

问题 7

设 $a，b，c，d，e，f，g，h，i$ 不同的整数 from 1 美元 到 9.$ 美元 的最小可能正值可以写为 $\frac{m}{n}，$ where$m 美元，并且$n$是相对素数的正整数。找到\[\dfrac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}\]$m+n.$

问题 8

等边三角形$\三角形 ABC$内接在$\omega$半径18.$ 美元为 Circle 的圆上，Circle $\omega_A$ 美元 与边$\overline{AB}$相切，$\overline{AC}$内部与 Circle 相切$\omega.$$\omega_B$ 美元，$\omega_C$ 美元定义类似。圆圈$\omega_A，$$\omega_B，$并在 $\omega_C$ 美元 6 个点中相遇---每对圆圈 2 个点。最靠近顶点的三个交点$\三角形 ABC$是 内部$\三角形 ABC，$一个大等边三角形的顶点，其他三个交点是 内部一个较小的等边三角形的顶点$\三角形 ABC.$，较小的等边三角形的边长可以写成 $\sqrt{a} - \sqrt{b}，$ 其中 $a 美元 和 $b 美元 是正整数。找到$a+b.$

问题 9

Ellina 有 12 个块，红色 （$\textbf{R}$）、蓝色 （$\textbf{B}$）、黄色 （$\textbf{Y}$）、绿色 （$\textbf{G}$）、橙色 （）$\textbf{O}$ 和紫色 （）$\textbf{P}$ 各两个。如果每对相同颜色的块之间有偶数个块，则调用块$\textit{even}$的排列。例如，排列是均匀的。Ellina 以随机顺序将她的块排成一行。她的排列为 偶数 的概率是 $\frac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到\[\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}\]$m+n.$

问题 10

三个半径为 11，美元 13，美元 且19 美元相互外部切线的球体。一个平面在三个分别以 $A，$ $B，$ 和 $C，美元 为中心的全等圆中与球体相交，并且球体的中心都位于该平面的同一侧。假设 $AB^2 = 560.$ Find$AC^2.$

问题 11

设$ABCD 美元一个平行四边形，其中 $\angle 坏< 90^\circ.$ A 圆与侧面$\overline{DA}，$$\overline{AB}，$相切，$\overline{BC}$$\overline{AC}$并在点$P 美元处对角线相交，$Q 美元如图所示$AP < AQ，$。假设 $AP=3，$ $PQ=9，$ 和 $QC=16.$ 则 $ABCD 美元 的面积可以用其中 $m 美元 和 $n$ 是正整数的形式$m\sqrt{n}，$表示，并且$n$不能被任何素数的平方整除。找到$m+n.$

[asy] defaultpen（线宽（0.6）+字体大小（11））;尺寸（8 厘米）;对 A，B，C，D，P，Q;A=（0,0）;标签（“$A$”， A， SW）;B=（6,15）;标签（“$B$”， B， NW）;C=（30,15）;标签（“$C$”， C， NE）;D=（24,0）;标签（“$D$”， D， SE）;P=（5.2,2.6）;标签（“$P$”， （5.8,2.6）， N）;Q=（18.3,9.1）;标签（“$Q$”， （18.1,9.7）， W）;draw（A--B--C--D--循环）;平局 （C--A）;draw（圆（（10.95,7.45）， 7.45））;dot（A^^B^^C^^D^^P^^Q）;[/亚西]

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2023年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2023年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

六棵苹果树上每棵树上生长的苹果数量形成一个算术序列，其中六棵树上生长的苹果数量最多的是六棵树上生长的苹果数量最少的两倍。所有六棵树上生长的苹果总数为990.美元查找六棵树上生长的最大苹果数。

问题 2

回想一下，回文是一个向前和向后读取相同的数字。找到小于1000 美元该值的最大整数在以 10 为基数写入和以 8 为基数写入时都是回文，例如$292 = 444_{\text{eight}}.$

问题 3

设$\三角形 ABC$为一个等腰三角形，其中 $\angle A = 90^\circ.$ There exists a point $P 美元 inside $\三角形 ABC$ 使得 $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ 并$AP = 10.$找到 的面积$\三角形 ABC.$

问题 4

设 $x，y，$ 和 $z$ 为满足方程组的实数 设 $S$ 为可能值的集合 $x.$ 求 的元素平方和\begin{align*} xy + 4z &= 60 \\ yz + 4x &= 60 \\ zx + 4y &= 60.\end{对齐*}$S.$

问题 5

设 $S$ 是所有正有理数$r 美元的集合，使得当两个数字 $r 美元 和 $55r$ 以最低项写为分数时，一个分数的分子和分母之和与另一个分数的分子和分母之和相同。的所有元素之和$S$可以用 where $p$ 和 $q$ 是相对素数正整数的形式$\frac{p}{q}，$表示。找到$p+q.$

问题 6

考虑由三个在两侧连接的单位方块形成的 L 形区域，如下所示。两个点$A 美元$B 美元，是从区域内部独立且均匀地随机选择的。的中点$\overline{AB}$也位于该 L 形区域内的概率可以表示为 $\frac{m}{n}，$ 其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。找到$m+n.$[ASY] 单位尺寸（2cm）;draw（（0,0）--（2,0）--（2,1）--（1,1）--（1,2）--（0,2）--cycle）;draw（（0,1）--（1,1）--（1,0），虚线）;[/亚西]

问题 7

正十二边形 （12 美元-gon） 的每个顶点都要被涂成红色或蓝色，因此可能存在$2^{12}$着色。通过以下属性找到这些着色的数量：没有四个颜色相同的顶点是矩形的四个顶点。

问题 8

让 $\omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i \cdot \sin\frac{2\pi}{7}，$ where $i = \sqrt{-1}.$ 找到产品的值\[\prod_{k=0}^6 \left（\omega^{3k} + \omega^k + 1\right）.\]

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2024年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2024年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在 Aimeville 的900 美元居民中，有些人195 美元拥有一枚钻戒，$367$有些人拥有一套高尔夫球杆，有些人$562$拥有一把花园铁锹。此外，每个900 美元居民都拥有一袋糖果心。有些437美元居民恰好拥有其中的两件物品，有些$234$居民也恰好拥有其中的三件物品。查找拥有所有这四种物品的 Aimeville 居民的数量。

问题 2

正整数列表具有以下属性：

$\bullet$列表中各项的总和为 30 美元。

$\bullet$列表的唯一模式是 9 美元。

$\bullet$列表的中位数是一个正整数，它不会出现在列表本身中。

求列表中所有项目的平方和。

问题 3

找到在 2x3 网格的每个单元格中放置一个数字的方法数，使得从左到右阅读形成的两个数字之和为 999 美元，从上到下阅读形成的三个数字之和为 99 美元。下面的网格是这种排列的一个例子，因为 $8+991=999$ 和 $9+9+81=99$。

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 0 & 8 \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline \end{array}\]

问题 4

设 $x，y$ 和 $z$ 为满足以下方程组的正实数：则 的值$\left|\log_2（x^4y^3z^2）\right|$是$\tfrac{m}{n}$其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.\[\log_2\left（{x \over yz}\right） = {1 \over 2}\]\[\log_2\left（{y \over xz}\right） = {1 \over 3}\]\[\log_2\left（{z \over xy}\right） = {1 \over 4}\]

问题 5

设 $ABCDEF 美元 为一个凸等边六边形，其中所有对立的边都是平行的。边是线段 $\overline{AB}$的延伸 、 $\overline{CD}$且$\overline{EF}$边长为 200 美元、240 美元（含 240 美元） 和 300 美元的三角形。求六边形的边长。

问题 6

Alice 选择一组$A 美元正整数。然后 Bob 列出所有具有 最大元素$B 美元所属 的属性的有限非空正整数集$A 美元$B 美元。Bob 的列表有2024 美元集合。求 的$A 美元元素之和 。

问题 7

设 $N 美元 为最大的四位整数，其属性是每当其一位数字更改为 1 美元时，结果数字可被 7 美元整除。设 $Q 美元 和 $R 美元 分别是商和余数，当 $N 美元 除以 1000 美元时。查找 $Q+R$.

问题 8

圆环$T 美元是通过将半径为 3 的圆在距圆心 6 距离的圆平面（就像圆环一样）的平面上绕轴旋转而产生的表面。设$S$为半径为 11 的球体。当$T 美元位于 的$S$内侧时，它与 的内侧相切，$S$沿半径$r_i$为 的圆 ，当$T 美元位于 $S$的外侧时，它与$S$沿 半径$r_o$为 的圆 外切。差值$r_i-r_o$可以写成 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数的正整数。查找 $m+n$.

[ASY] 单位尺寸（0.3 英寸）;draw（ellipse（（0,0）， 3， 1.75））;draw（（-1.2,0.1）..(-0.8,-0.03)..(-0.4,-0.11)..(0,-0.15)..(0.4,-0.11)..(0.8,-0.03)..(1.2,0.1));平局（（-1,0.04）..(-0.5,0.12)..(0,0.16)..(0.5,0.12)..(1,0.04));draw（（0,2.4）--（0，-0.15））;draw（（0，-0.15）--（0，-1.75）， 虚线）;平局（（0，-1.75）--（0，-2.25））;绘制（ellipse（（2,0）， 1， 0.9））;平局（（2.03，-0.02）--（2.9，-0.4））;[/亚西]

问题 9

有25 美元无法区分的白色筹码和25 美元无法区分的黑色筹码。找到将其中一些筹码放置在$5 \乘以 5$网格中的方法数量，以便

  • 每个电池单元最多包含一个芯片
  • 同一行中的所有筹码和同一列中的所有筹码具有相同的颜色
  • 放置在网格上的任何额外筹码都将违反前两个条件中的一个或多个。

问题 10

设 $\三角形$$ABC$ incenter $I 美元 和 circumcenter $O 美元 与 $\overline{IA} \perp \overline{OI}$、 circumradius 13 美元和 inradius 6 美元。查找 $AB \cdot AC$.

问题 11

求$（a， b， c）$满足 $a + b + c = 300 美元 和

\[a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b = 6,000,000。

问题 12

让 $O（0,0），A（\tfrac{1}{2}，0），$ 和 $B（0，\tfrac{\sqrt{3}}{2}）$ 成为坐标平面中的点。设 $\mathcal{F}$ 是位于第一象限中，在 $P 美元 $x 美元-轴和 $Q 美元 $y 美元-轴上的单位长度段的系列$\overline{PQ}$。上有一个唯一的点$C$，不同于 $A 美元 ，并且$B，$不属于除 之外的任何段$\mathcal{F}$$\overline{AB}$。$\overline{AB}，$然后 $OC^2=\tfrac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是相对素数的正整数。查找 $p+q$.

问题 13

设 $\omega\neq 1$ 为第 13 个团结根。求除以 1000 时的余数。\[\prod_{k=0}^{12}（2-2\omega^k+\omega^{2k}）\]

问题 14

设$b \geq 2$为整数。$b\textit{-eautiful}$如果正整数在 base $b 美元中表示时正好有两位数，并且这两个数字之和为 $\sqrt{n}$，则调用正整数$n$。例如， $81$ is 13 美元-eautiful because $81=\下划线{6}$$\下划线{3}_{13}$ 和 $6+3=\sqrt{81}$.查找具有 10 $b 美元个以上 -eautiful 整数的最小整数$b\geq 2$。

问题 15

求在固定的正十二边形 （12 美元-gon） 内可以形成的矩形数，其中矩形的每一边都位于十二边形的边或对角线上。下图显示了其中的三个矩形。

[ASY] 单位尺寸（0.6 英寸）;for（int i=0; i<360; i+=30） { dot（dir（i）， 4+black）; draw（dir（i）--dir（i+30））; } draw（dir（120）--dir（330））;filldraw（dir（210）--dir（240）--dir（30）--dir（60）--cycle， mediumgray， linewidth（1.5））;绘制（（0,0.366）--（0.366,0）， 线宽（1.5））;[/亚西]

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2023年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2023年 AIME I 数学邀请赛真题2023年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

五男九女以随机顺序围着一个圆圈等距站立。每个男性都与女性截然相反的概率是 $\frac{m}{n}，$ where $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。找到$m+n.$

问题 2

正实数$b \not= 1$并$n$满足方程 $n$ 的值 是$\frac{j}{k}，$其中 $j 美元 和 $k 美元 是相对素数的正整数。找到\[\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n} \qquad \text{and} \qquad b \cdot \log_b n = \log_b （bn）.\]$j+k.$

问题 3

平面包含40 美元线，其中没有2 美元一条线是平行的。假设有3 美元恰好3 美元是 lines 相交的点、4 美元恰4 美元好是 lines 相交的点、5 美元恰5 美元好是 6 美元 lines 相交的点、6 美元正好是 lines 相交的点，并且没有多6 美元于 lines 相交的点。求直线相交处的2 美元点数。

问题 4

所有正整数之和$m 美元，即$\frac{13！}{m}$完美平方，可以写为 $2^a3^b5^c7^d11^e13^f，$ where $a，b，c，d，e，$ 和 $f 美元 是正整数。找到$a+b+c+d+e+f.$

问题 5

设 $P 美元 为圆外接正方形$ABCD 美元上满足的点$PA \cdot PC = 56 美元，并$PB \cdot PD = 90.$求$ABCD.$

问题 6

Alice 知道3 美元红牌和3 美元黑牌会以随机顺序一次向她展示一张。在每张卡片被揭开之前，Alice 必须猜出它的颜色。如果 Alice 玩得最好，她会猜对的预期牌数是 $\frac{m}{n}，$ where $m 美元 和 相对$n$素数正整数。找到$m+n.$

问题 7

如果余数 when $n$ 被 2、3、4、5、$ 美元 和 6 美元 disdistinct 除以，则调用 $n$ extra-distinct 正整数。求小于 1000 美元的 extra-distinct 正整数的个数。

问题 8

菱形$ABCD 美元有 $\angle 坏< 90^\circ.$ 在菱形的内圆上有一个点$P 美元，使得 到 线 $DA，AB，$ 和 $BC 美元 的距离$P 美元分别为 $9,5，$ 和 16，美元 。找到 的周长$ABCD.$

问题 9

求三次多项式的数量，$p（x） = x^3 + ax^2 + bx + c，$其中 $a、b、$ 和 $c 美元 是整数，$\{-20，-19，-18，\ldots，18,19,20\}，$使得有一个唯一的整数$m \not= 2$$p（m） = p（2）.$

问题 10

存在一个唯一的正整数，$a 美元其总和是严格介于 和 之间的1000 美元1000 美元整数。对于该唯一 $a 美元，请查找 $a+U$。\[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor\]

（请注意，$\lfloor x\rfloor$表示小于或等于 $x 美元的最大整数。

问题 11

查找恰好包含一对连续整数的子集$\{1,2,3，\ldots，10\}$数。此类子集的示例包括 $\{\mathbf{1}，\mathbf{2}，5\}$ 和$\{1,3，\mathbf{6}，\mathbf{7}，10\}.$

问题 12

设 $\三角形 ABC$ 是一个边长55.$ 美元为 Points $D，$ $E，$ 和 $F$ 位于 和 $\overline{AB}，$ 的$\overline{BC}，$$\overline{CA}，$等边三角形，其中 $BD = 7，美元 $CE=30，美元 和 $AF=40.$ Point $P 美元 inside $\三角形 ABC$ 具有 Find 的属性\[\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP.\]$\tan^2（\angle AEP）.$

问题 13

两个非全等平行六面体的每个面都是一个菱形，其对角线的长度为 $\sqrt{21}$ 和 $\sqrt{31}$。两个多面体中较大的一个的体积与较小多面体的体积之比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m 美元 和 $n$ 是相对素数正整数。查找 $m + n$.平行六面体是具有六个平行四边形面的实体，如下所示。

[ASY] 单位尺寸（2cm）;对 o = （0， 0）， u = （1， 0）， v = 0.8*dir（40）， w = dir（70）;draw（o--u--（u+v））;draw（o--v--（u+v）， 点）;绘制（shift（w）*（o--u--（u+v）--v--cycle））;draw（o--w）;draw（u--（u+w））;draw（v--（v+w）， 点线）;draw（（u+v）--（u+v+w））;[/亚西]

问题 14

下面的 analog clock 有两根指针，可以彼此独立地移动。 最初，双手指向数字 12 美元。时钟执行一系列指针运动，因此在每次移动时，两根指针中的一根顺时针移动到钟面上的下一个数字，而另一根指针不动。[ASY] 单位尺寸（2cm）;draw（unitcircle，black+linewidth（2））;for （int i = 0; i < 12; ++i） { draw（0.9*dir（30*i）--dir（30*i））; } for （int i = 0; i < 4; ++i） { draw（0.85*dir（90*i）--dir（90*i），black+linewidth（2））; } for （int i = 1; i < 13; ++i） { label（“\small” + （string） i， dir（90 - i * 30） * 0.75）; } draw（（0,0）--0.6*dir（90），黑色+线宽（2），箭头（TeXHead，2bp））;draw（（0,0）--0.4*dir（90），black+linewidth（2），箭头（TeXHead，2bp））;[/亚西]

设 $N 美元 手部运动序列144 美元的数量，使得在序列中，手的每种可能的位置都只出现一次，并且在144 美元运动结束时，手已返回到其初始位置。求除以 1000 美元时 $N 美元 的余数。

问题 15

$p<1000美元找到存在$z$满足

  • 的实部和虚部$z$都是整数;
  • $|z|=\sqrt{p}，$和
  • 存在一个三角形，其三个边长是 $p，美元 的$z^{3}，$实部和 虚部$z^{3}.$

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