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2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

问题 1

运动鞋鞋带的 8 个鞋眼都位于一个矩形上，长边上各有 4 个鞋眼，间距相等。矩形宽 50 毫米，长 80 毫米。矩形的每个顶点都有一个鞋眼。鞋带本身必须沿着矩形的一条宽边穿过顶点鞋眼，然后在连续的鞋眼之间交叉，直到到达矩形另一条宽边的两个鞋眼，如图所示。穿过最后的鞋眼后，鞋带的每一端必须延伸至少 200 毫米，以便打结。求出鞋带的最小长度（以毫米为单位）。

[asy] 尺寸（200）；默认笔（线宽（0.7））；路径 laceL=（-20，-30）..张力 0.75 ..（-90，-135）..（-102，-147）..（-152，-150）..张力 2 ..（-155，-140）..（-135，-40）..（-50，-4）..张力 0.8 ..原点；路径 laceR=reflect（（75,0），（75，-240））*laceL；绘制（原点--（0，-240）--（150，-240）--（150,0）--循环，灰色）； for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]

问题 2

一个瓮里有$4$绿球和$6$蓝球。另一个瓮里有$16$绿球和$N$蓝球。从每个瓮中随机抽取一个球。两个球颜色相同的概率是$0.58$。求$N$。

问题 3

求有理数的数量$r$，$0<r<1,$当$r$写成最低项的分数时，分子与分母的和为$1000$。

问题4

乔恩和史蒂夫沿着一条与东西方向两条并排的火车轨道平行的路径骑自行车。乔恩以$20$每小时英里的速度向东骑行，史蒂夫以$20$每小时英里的速度向西骑行。两列长度相等的火车以恒定但不同的速度向相反的方向行驶，每列火车都经过这两名乘客。每列火车经过$1$乔恩的时间恰好是分钟。西行的火车经过$10$史蒂夫的时间与东行的火车一样长。每列火车的长度为$\tfrac{m}{n}$英里，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题5

假设集合$S = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\}$由一个正边形的十二个顶点组成$12$。如果存在一个圆，使得 的所有点都在圆内，而 的所有不在圆内的点都在圆外，则$Q$的子集被称为公有子集。有多少个公有子集？（请注意，空集是公有子集。） $S$$Q$$S$$Q$

问题 6

图$y = 3(xh)^2 + j$和的$y = 2(xh)^2 + k$y 截距分别为$2013$和$2014$，且每个图都有两个正整数 x 截距。求$h$。

问题 7

设$w$和$z$为复数，且$|w| = 1$和$|z| = 10$。设$\theta = \arg \left(\tfrac{wz}{z}\right)$。的最大可能值$\tan^2 \theta$可以写成$\tfrac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。（注意$\arg(w)$，对于，表示从到$w \neq 0$的射线与复平面中的正实轴所成的角度的度数。） $0$$w$

问题 8

正整数$N$和以十进制表示时，$N^2$结尾都是相同的四位数序列，其中数字不为零。求三位数。 $abcd$$a$$abc$

问题 9

设$x_1<x_2<x_3$是方程的三个实根$\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$。求$x_2(x_1+x_3)$。

问题 10

半径为 的圆盘与$1$半径为 的圆盘外切$5$。设$A$为圆盘切点，加元为小圆盘中心，$E$为大圆盘中心。大圆盘保持不动，小圆盘可以沿大圆盘外侧滚动，直到小圆盘旋转 的角度。$360^\circ$也就是说，如果小圆盘中心移动到点$D$，小圆盘上从 开始的点$A$现在移动到点$B$，则$\overline{AC}$平行于$\overline{BD}$。然后$\sin^2(\angle BEA)=\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题11

$(0,0)$一个标记从 - 坐标网格的点开始$xy$，然后进行六次移动。每次移动都是在与其中一个坐标轴平行的方向上移动 1 个单位。每次移动都是从四个可能的方向中随机选择的，并且与其他移动无关。标记在图形上某个点结束的概率$|y|=|x|$是$\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 12

设$A=\{1,2,3,4\}$，和$f$和是从到$g$随机选取的（不一定不同）函数。 的范围和 的范围不相交的概率为，其中和是互质正整数。求。 $A$$A$$f$$g$$\tfrac{m}{n}$$百万$$n$$百万$

问题 13

在正方形 上$ABCD$，点$E,F,G$、 和分别$H$位于边$\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},$和 上$\overline{DA},$，使得$\overline{EG} \perp \overline{FH}$和$EG=FH = 34$。线段$\overline{EG}$和$\overline{FH}$相交于点，四边形和$P$的面积比为求正方形 的面积。 $AEPH、BFPE、CGPF,$$DHPG$$269:275:405:411.$$ABCD$

[asy] 对 A = (0,sqrt(850));对 B = (0,0)；对 C = (sqrt(850),0);对 D = (sqrt(850),sqrt(850));绘制（A--B--C--D--循环）；点因子 = 3；点(“$A$”,A,dir(135));点(“$B$”,B,dir(215));点(“$C$”,C,dir(305));点(“$D$”,D,dir(45));对 H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850));对 F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0);点(“$H$”,H,dir(90));点（“$F$”，F，dir（270））；绘制（H--F）；对 E = (0，（sqrt（850）-6）/2）；对 G = (sqrt（850） ,(sqrt(850)+sqrt(100))/2); 点("$E$",E,dir(180)); 点("$G$",G,dir(0)); 绘制( E--G); 对 P = 扩展（H，F，E，G）； 点（“$P$”，P，dir（60））； 标签（“$w$”， 交点（A--P , E--H )); 标签("$x$", 交点( B--P, E--F )); 标签("$y$", 交点( C--P, G--F ) ); 标签("$z$", 交点( D--P, G--H ));[/asy]

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2015年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2015年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为既比一个整数小百分之几又比另一个整数大百分之几$N$的最小正整数。求除以时的余数。 $22$$16$$N$$1000$

问题 2

在一所新学校中，$40$百分之 的学生是新生，$30$百分之 是二年级学生，$20$百分之 是三年级学生，$10$百分之 是四年级学生。所有新生都必须选修拉丁语，$80$百分之 的二年级学生、$50$百分之 的三年级学生和$20$百分之 的四年级学生选择选修拉丁语。随机选择的拉丁学生是二年级学生的概率为$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 3

设$百万$为能被 整除的最小正整数，$17$其各位数字之和为$17$。求$百万$。

问题4

等腰梯形的两条平行底边的长度分别$\log 3$为 和$\log 192$，两条底边的高的长度分别为$\log 16$。梯形的周长可以写成 的形式$\log2^p3^q$，其中$p$和$q$为正整数。求$p + q$。

问题5

从单位正方形网格中随机不重复地选择两个单位正方形$n \乘以 n$。找出最小正整数$n$，使得两个选定的单位正方形水平或垂直相邻的概率小于$\frac{1}{2015}$。

问题 6

史蒂夫对乔恩说：“我正在考虑一个多项式，它的根都是正整数。这个多项式的形式$P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)xc$为一些正整数$a$和。你能告诉我和$c$的值吗？” $a$$c$

经过一番计算，乔恩说：“这样的多项式不止一个。”

史蒂夫说：“你说得对。这是 的值$a$。”他写下一个正整数并问：“你能告诉我 的值吗$c$？”

Jon 说：“ 仍然有两个可能的值$c$。”

求出 的两个可能值的总和$c$。

问题 7

三角形$ABC$的边长$AB = 12$为 、BC 美元 = 25 美元和加元 = 17美元。矩形的$PQRS$顶点$P$在$\overline{AB}$，顶点$Q$在$\overline{AC}$，顶点$R$和$S$在$\overline{BC}$。就边长而言$PQ = w$， 的面积$PQRS$可以表示为二次多项式

\[\text{面积}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.\]

然后系数$\beta = \frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 8

设$a$和$b$为满足的正整数$\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$。的最大可能值为$\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$，$\frac{p}{q}$其中$p$和$q$为互质正整数。求$p+q$。

问题 9

一个圆柱形桶，桶半径为$4$英尺，高度为英尺，桶内$10$装满水。将一个边长为$8$英尺的立方体放入桶中，使立方体的对角线垂直。这样排出的水的体积为$v$立方英尺。求$v^2$。

[asy] 导入三个；导入固体；尺寸（5cm）；当前投影=正交（1，-1/6,1/6）；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,360）），白色，无光）；三重A =（8*sqrt（6）/3,0,8*sqrt（3）/3），B = (-4*sqrt（6）/3,4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），C = (-4*sqrt（6）/3,-4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），X = (0,0，-2*sqrt（2））；绘制（X--X+A--X+A+B--X+A+B+C）；绘制（X--X+B--X+A+B）；绘制（X--X+C--X+A+C--X+A+B+C）；绘制（X+A--X+A+C）；绘制（X+C--X+C+B--X+A+B+C，线型（“2 4”））；绘制（X+B--X+C+B，线型（“2 4”））；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,240）），白色，无光）；绘制（（-2，-2*sqrt（3），0）..（4,0,0）..（-2,2*sqrt（3），0））；绘制((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..( 4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0));绘制((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]

问题 10

如果对于每个， 则称$a_1, a_2, \ldots, a_n$整数 的排列$1, 2, \ldots, n$ 为准增排列。例如，和是整数 的准增排列，但不是。求整数 的准增排列的数量。 $a_k \leq a_{k+1} + 2$$1 \leq k \leq n-1$$53421$$14253$1、2、3、4、5 美元$45123$$1, 2, \ldots, 7$

问题11

锐角的外接圆$\三角形ABC$有中心$O$。通过点的$O$垂直线与线和分别在和$\overline{OB}$相交。此外，，，和，其中和是互质正整数。求。 $AB$BC$$P$$Q$$AB=5$$BC=4$$BQ=4.5$$BP=\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 12

$2^{10} = 1024$可能存在$10$-字母字符串，其中每个字母都是 A 或 B。找出此类字符串中不包含超过 个$3$相邻相同字母的数量。

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2016年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

最初，亚历克斯、贝蒂和查理共有$444$花生。查理的花生最多，亚历克斯的花生最少。每个人拥有的三个花生数量形成一个等比级数。亚历克斯吃掉$5$他的花生，贝蒂吃掉$9$她的花生，查理吃掉$25$他的花生。现在每个人拥有的三个花生数量形成了一个等差级数。求出亚历克斯最初拥有的花生数量。

问题 2

$40\%$周六有下雨的概率，$30\%$周日也有下雨的概率。但是，如果周六下雨，周日下雨的概率是周六不下雨的两倍。本周末至少有一天下雨的概率是$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$是互质正整数。求$a+b$。

问题 3

设$x,y,$和$z$为满足系统实数\begin{align*} \log_2(xyz-3+\log_5 x)&=5,\\ \log_3(xyz-3+\log_5 y)&=4,\\ \log_4(xyz-3+\log_5 z)&=4。\end{align*}求出的值$|\log_5 x|+|\log_5 y|+|\log_5 z|$。

问题4

一个$a \乘以 b \乘以 c$矩形盒子由单位立方体构成$a \cdot b \cdot c$。每个单位立方体的颜色为红色、绿色或黄色。与盒子表面平行$a$的每层大小恰好包含红色立方体、绿色立方体和一些黄色立方体。与盒子表面平行的每层大小恰好包含绿色立方体、黄色立方体和一些红色立方体。求出盒子的最小可能体积。 $1 \乘以 b \乘以 c$$(b\乘以c)$$9$$12$$b$$a \times 1 \times c$$(a \times c)$$20$$25$

问题5

三角形$ABC_0$在 处有一个直角$C_0$。其边长是两两互质的正整数，其周长为$p$。设$C_1$为 的高脚到$\overline{AB}$，对于$n \geq 2$，设为中$C_n$的高脚到。和。求。 $\overline{C_{n-2}B}$$\三角形 C_{n-2}C_{n-1}B$$\sum_{n=2}^\infty C_{n-2}C_{n-1} = 6p$$p$

问题 6

对于多项式$P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^{2}$，定义 $Q(x)=P(x)P(x^{3})P(x^{5})P(x^{7})P(x^{9})=\sum_{i=0}^{50} a_ix^{i}$。然后$\sum_{i=0}^{50} |a_i|=\dfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题 7

正方形$ABCD$和$EFGH$有共同的中心和$\overline{AB} || \overline{EF}$。的面积$ABCD$是2016，的面积$EFGH$是较小的正整数。正方形$IJKL$的构造使得它的每个顶点都位于的边上$ABCD$，而的每个顶点都$EFGH$位于的边上$IJKL$。求出面积的最大值和最小值之间的差值$IJKL$。

问题 8

$\{a,b,c\}$求出具有以下性质的三个不同正整数集的数量：$a,b,$和的乘积$c$等于$11,21,31,41,51,$和 的乘积$61$。

问题 9

正整数序列$1，a_2，a_3，...$和$1,b_2,b_3,...$分别是递增的等差序列和递增的等比序列。设$c_n=a_n+b_n$。存在一个整数$k$使得$c_{k-1}=100$和$c_{k+1}=1000$。求$ c_k$。

问题 10

三角形$ABC$内接于圆$\omega$。点$P$和$Q$位于 边$\overline{AB}$。$AP<AQ$射线CP$和分别在和 处再次$CQ$相交（ 除外）。若和，则，其中和为互质正整数。求。 $\omega$$S$$T$加元$AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,$$AS=7$$ST=\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题11

对于正整数$N$和$k$，如果存在一个正整数，并且恰好有正因数，则定义$N$为-nice 。找出小于的正整数的数量，既不是-nice的也不是-nice的。 $k$$a$$a^{k}$$N$$1000$$7$$8$

问题 12

下图显示了一个由六个小部分组成的环，您要将其涂在墙上。您有四种油漆颜色可供选择，您将为六个部分涂上纯色。如果相邻的两个部分不能涂上相同的颜色，请找出您可以选择的涂漆方式的数量。

[asy] 绘制（圆（（0,0），4））；绘制（圆（（0,0），3））；绘制（（0,4）--（0,3））；绘制（（0，-4）--（0，-3））；绘制（（-2.598，1.5）--（-3.4641，2））；绘制（（-2.598，-1.5）--（-3.4641，-2））；绘制（（2.598，-1.5）--（3.4641，-2））；绘制（（2.598，1.5）--（3.4641，2））；[/asy]

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2016年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

对于$-1<r<1$，设$S(r)$表示几何级数的和\[12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .\]设和$a$之间满足。求。 $-1$$1$$S(a)S(-a)=2016$$S(a)+S(-a)$

问题 2

两个骰子看起来是普通骰子，其面数从$1$到$6$，但每个骰子都有权重，因此掷出数字的概率$k$与 成正比。这对骰子$k$掷出 的概率是，其中和是互质正整数。求。 $7$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 3

正二十面体是一种$20$面体，每个面都是等边三角形，五个三角形在每个顶点处相交。下图所示的正二十面体顶部有一个顶点，底部有一个顶点，上部五边形有五个顶点，所有顶点都与顶部顶点相邻且位于同一水平面上，下部五边形有五个顶点，所有顶点都与底部顶点相邻且位于另一个水平面上。求从顶部顶点到底部顶点的路径数，使得路径的每一部分都沿着二十面体的一条边向下或水平延伸，并且没有重复的顶点。[asy] 尺寸(3cm); 对 A=(0.05,0),B=(-.9,-0.6),C=(0,-0.45),D=(.9,-0.6),E=(.55,-0.85),F=(-0.55,-0.85),G=B-(0,1.1),H=F-(0,0.6),I=E-(0,0.6),J=D-(0,1.1),K=C-(0,1.4),L=C+KA; 绘制(A--B--F--E--D--A--E--A--F--A^^B--G--F--K--G--L--J--K--E--J--D--J--L--K);绘制（B--C--D--C--A--C--H--I--C--H--G^^H--L--I--J^^I--D^^H--B，虚线）；点（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H^^I^^J^^K^^L）；[/asy]

问题4

一个直棱柱，其高为 ，$h$底面为正六边形，边长为$12$。$A$棱柱的一个顶点和其三个相邻顶点是三角锥的顶点。棱柱底面的棱锥面与不包含 的棱锥面形成的二面角（两个平面之间的角度）为$A$。$60^\circ$求$h^2$。

问题5

Anh 读了一本书。第一天，她在几分钟$n$内读完了页数$t$，其中$n$和$t$是正整数。第二天，Anh 读了$n + 1$几分钟$t + 1$。此后的每一天，Anh 都比前一天多读了一页，并且她花的时间比前一天多一分钟才读完这$374$本书。她总共花了$319$几分钟读完这本书。求$n + t$。

问题 6

在$\三角形ABC$设$我$是内切圆的圆心，设的角平分线$\角度ACB$交$\overline{AB}$于$L$。过和的直线加元与$L$的外接圆相交$\三角形ABC$于和两点加元。$D$若$LI=2$和$LD=3$，则$IC= \frac{p}{q}$，其中$p$和$q$为互质正整数。求$p+q$。

问题 7

对于整数$a$并$b$考虑复数，\[\frac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left(\frac{\sqrt{|a+b|}}{ab+100}\right)i.\]查找有序整数对的数量，$(a,b)$使得该复数为实数。

问题 8

$p = (a_1,a_2,\ldots,a_9)$对于数字 的排列$1,2,\ldots,9$，设$s(p)$表示三位数$3$、$a_1a_2a_3$和$a_4a_5a_6$的和$a_7a_8a_9$。设$百万$为 的最小值，但$s(p)$的个位数为$s(p)$。$0$设$n$表示 的排列数。求。 $p$$s(p) = m$$|m-n|$

问题 9

三角形$ABC$有$AB=40,AC=31,$和。此三角形$\sin{A}=\frac{1}{5}$内接于 矩形，且 和$AQRS$。$B$求的最大可能面积。 $\overline{QR}$加元$\overline{RS}$$AQRS$

问题 10

一个严格递增的正整数序列$a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$具有以下性质：对于每个正整数$k$，子序列$a_{2k-1}$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$是几何序列，而子序列$a_{2k}$，$a_{2k+1}$，$a_{2k+2}$是算术序列。假设$a_{13} = 2016$。求$a_1$。

问题11

设$P(x)$为非零多项式，使得$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$对于每个实数$x$，和$\left(P(2)\right)^2 = P(3)$。则$P(\tfrac72)=\tfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题 12

找到最小正整数，$百万$使得$m^2 - m + 11$是至少四个不一定不同的素数的乘积。

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2017年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2017年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$找出既不是$\{1, 2, 3, 4, 5\}$也不是 的子集的子集的数量$\{4, 5, 6, 7, 8\}$。

问题 2

$T_1$、$T_2$、$T_3$和队$T_4$进入季后赛。在半决赛中，$T_1$比赛$T_4$，和$T_2$。$T_3$这两场比赛的获胜者将在决赛中对决，争夺冠军。当 时$T_i$，获胜$T_j$的概率为 ，且所有比赛的结果都是独立的。成为冠军的概率为，其中和是互质正整数。求。 $T_i$$\frac{i}{i+j}$$T_4$$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题 3

一个三角形有顶点$A(0,0)$、$B(12,0)$和。三角形内随机选取的点距离顶点比距离顶点或顶点$C(8,10)$更近的概率可以写成，其中和是互质正整数。求。 $B$$A$加元$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题4

找出小于或等于 的正整数的数量，$2017$其以三进制表示的数不包含等于 的数字$0$。

问题5

一个集合包含四个数字。该集合中不同元素的六对和（无特定顺序）分别为$189$、$320$、$287$、$234$、$x$和$y$。求 的可能最大值$x+y$。

问题 6

求出所有正整数的和，$n$使得$\sqrt{n^2+85n+2017}$为整数。

问题 7

$k$找出闭区间内整数值的个数$[-500,500]$，使得方程$\log(kx)=2\log(x+2)$只有一个实数解。

问题 8

$n$找出小于$2017$整数的正整数的数量\[1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5 !}+\frac{n^6}{6!}\]。

问题 9

一副特殊的纸牌包含纸牌，每张纸牌都标有从到$49$的数字，并用七种颜色中的一种着色。每种数字-颜色组合只出现在一张纸牌上。Sharon 将从纸牌中随机选择一组八张纸牌。假设她得到每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌，Sharon 可以丢弃一张纸牌并拥有每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌的概率为，其中和是互质正整数。求。 $1$$7$$\textit{仍然}$$\frac{p}{q}$$p$$q$$p+q$

问题 10

矩形的$ABCD$边长$AB=84$为和$AD=42$。点$M$是的中点$\overline{AD}$，点$N$是的三等分点，$\overline{AB}$更接近于$A$，点是和的$O$交点。点位于四边形上，并将的面积平分。求的面积。 $\overline{CM}$$\overline{DN}$$P$$BCON$$\overline{BP}$$BCON$$\三角CDP$

问题11

五个城镇由一套道路系统连接。每对城镇之间只有一条道路相连。求有多少种方法可以将所有道路都变成单向的，并且仍然可以使用这些道路从任何城镇到达其他城镇（途中可能经过其他城镇）。

问题 12

圆的$C_0$半径为$1$，点$A_0$是圆上的一点。圆$C_1$的半径为$r<1$，并在$C_0$点处与 内切$A_0$。点$A_1$位于圆上，$C_1$即$A_1$位于上，$90^{\circ}$从 逆时针方向延伸。圆的半径为，并在点处与 内切。这样就构造了一系列圆和一系列圆上的点，其中 圆的半径为，并在点 处与 内切，点位于 上，从点 逆时针延伸，如下图所示。所有这些圆内都有一个点。当 时，从中心到 的距离为，其中和是互质正整数。求。 $A_0$$C_1$$C_2$$r^2$$C_1$$A_1$$C_1,C_2,C_3,\ldots$$A_1,A_2,A_3,\ldots$$C_n$$r^n$$C_{n-1}$$A_{n-1}$$A_n$$C_n$ $90^{\circ}$$A_{n-1}$$B$$r = \frac{11}{60}$$C_0$$B$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

[asy] 绘制（圆（（0,0），125））；绘制（圆（（25,0），100））；绘制（圆（（25,20），80））；绘制（圆（（9,20），64））；点（（125,0））；标签（“$A_0$”，（125,0），E）；点（（25,100））；标签（“$A_1$”，（25,100），SE）；点（（-55,20））；标签（“$A_2$”，（-55,20），E）；[/asy]

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2018年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2018年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

点$A$、$B$和按照该顺序位于直线路径上，从到 的加元距离为米。Ina 的跑步速度是 Eve 的两倍，而 Paul 的跑步速度是 Ina 的两倍。三名跑步者同时开始跑步，Ina 从 出发并跑向，Paul 从 出发并跑向，而 Eve 从 出发并跑向。当 Paul 遇到 Eve 时，他转身跑向。Paul 和 Ina 同时到达。求从到 的米数。 $A$加元$1800$$A$加元$B$加元加元$A$$A$$B$$A$$B$

问题 2

设$a_{0} = 2$，$a_{1} = 5$，和$a_{2} = 8$，和 为 ，递归$n> 2$定义$a_{n}$为$4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$除以时的余数$11$。求$a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$。

问题 3

求出所有正整数的和$b < 1000$，使得底数$b$整数$36_{b}$是完全平方数并且底数$b$整数$27_{b}$是完全立方数。

问题4

在等角八边形中$卡罗琳$，$CA = RO = LI = NE =$ $\sqrt{2}$和$AR = OL = IN = EC = 1$。自相交八边形$科妮莉亚$包围六个不重叠的三角形区域。设$K$是包围的面积$科妮莉亚$，即六个三角形区域的总面积。则$K = \frac{a}{b}$，其中$a$和$b$是互质正整数。求$a + b$。

问题5

假设$x$、$y$和$z$为复数$xy = -80 - 320i$，且$yz = 60$、 和$zx = -96 + 24i$，其中$我$ $=$ $\sqrt{-1}$。则有实数$a$和 ，$b$且$x + y + z = a + bi$。求$a^2 + b^2$。

问题 6

$a$从区间 中随机均匀地选择一个实数$[-20, 18]$。多项式根的概率

\[x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2\]

均为实数，可以写成 的形式$\dfrac{m}{n}$，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题 7

三角形的$ABC$边长为$AB = 9$、$BC =$ $5\sqrt{3}$和$AC = 12$。对于，$A = P_{0}, P_{1}, P_{2}, ... , P_{2450} = B$线段 上的点$\overline{AB}$位于和 之间$P_{k}$，而对于，线段 上的点位于和 之间。此外，每个线段、都平行于。这些线段将三角形划分为由梯形和三角形组成的区域。每个区域的面积相同。求出有理长度的线段 、 的数量。$P_{k-1}$$P_{k+1}$$k = 1, 2, ..., 2449$$A = Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, ... , Q_{2450} = C$$\overline{AC}$$Q_{k}$$Q_{k-1}$$Q_{k+1}$$k = 1, 2, ..., 2449$$\overline{P_{k}Q_{k}}$$k = 1, 2, ..., 2449$$\overline{BC}$$2450$$2449$$1$$2450$$\overline{P_{k}Q_{k}}$$k = 1, 2, ..., 2450$

问题 8

一只青蛙位于坐标平面的原点。从点 开始，青蛙可以跳到、、或 中$(x, y)$的任意一点。求出青蛙从 开始并到 结束的不同跳跃序列的数量。 $(x + 1, y)$$(x + 2, y)$$（x，y + 1）$$(x, y + 2)$$(0, 0)$$(4, 4)$

问题 9

$ABCDEFGH$边长为 的八边形$AB = CD = EF = GH = 10$由$BC = DE = FG = HA = 11$一个长方形的角上去掉 6-8-10 个三角形得到，长方形的$23$ $\times$ $27$边长$\overline{AH}$为该长方形的短边，如图所示。设$J$为 的中点，通过画出线段、、、、和，$\overline{AH}$将八边形分成 7 个三角形。求以这 7 个三角形的质心为顶点的凸多边形的面积。 $\overline{JB}$$\overline{JC}$$\overline{JD}$$\overline{JE}$$\overline{JF}$$\overline{JG}$

[asy] unitize(6); 对 P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); 对 A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark));填充绘制（H--G--Q--循环，灰色（深色））；填充绘制（F--EE--R--循环，灰色（深色））；填充绘制（D--C--SS--循环，灰色（深色））；点（A）；点（B）；点（C）；点（D）；点（EE）；点（F）；点（G）；点（H）；点（J）；点（H）；defaultpen（fontsize（10pt））；real r = 1.3;标签（“$A$”，A，W*r）；标签（“$B$”，B，S*r）；标签（“$C$”，C，S*r）；标签（“$D$”，D，E*r）；标签（“$E$”，EE，E*r）；标签（“$F$”，F，N*r）；标签（“$G$”，G，N*r）；标签（“$H$”，H，W*r）；标签（“$J$”，J，W*r）；[/asy]

问题 10

$f(x)$找出从$\{1, 2, 3, 4, 5\}$到 的函数个数，使得其中所有 都$\{1, 2, 3, 4, 5\}$满足。 $f(f(x)) = f(f(f(x)))$$x$$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

问题11

求出 的排列数，$1, 2, 3, 4, 5, 6$使得对于每个$k$，$1$ $\leq$ $k$ $\leq$ $5$至少有一个$k$排列的第一个项大于$k$。

问题 12

设$ABCD$为凸四边形$AB = CD = 10$，有BC=14美元、 和$AD = 2\sqrt{65}$。假设 的对角线$ABCD$交于点$P$，且三角形 和 的面积之$APB$和等于三角形和成本价差的面积之和。求四边形 的面积。 $BPC$$APD$$ABCD$

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AIME竞赛成绩对美国大学申请的影响有哪些？考多少分才有竞争力？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级阶段考试，满分为15分。其成绩不仅对美国大学申请有重要影响，还对数学夏令营的申请具有参考价值。以下是对AIME竞赛成绩的分析以及其在不同领域中的影响。

一、AIME竞赛成绩分析

平均分：每年的平均分大约在5分左右。

竞争力分数：通常考到7分以上被认为是有竞争力的分数。高分不仅证明学生在数学领域的卓越才能，还显示他们有能力解决复杂而抽象的问题。

二、AIME成绩对美国大学申请的影响

Top30院校申请

历年数据显示，申请美国Top30院校的学生通常需要AIME成绩达到7分以上。这一分数显示了学生在数学方面的扎实基础和潜力。

Top20院校申请

对于Top20院校，至少需要8分以上的AIME成绩。这表明这些院校对数学能力有更高的要求，尤其是对于申请理工科专业的学生。

三、AIME成绩对数学夏令营申请的影响

顶级数学夏令营

像Ross、SUMaC等顶级数学夏令营对AIME成绩有较高要求。参加这些夏令营可以为学生后续申请院校提高竞争力。一般来说，AIME成绩达到9分左右会更具竞争力。

晋级USA(J)MO的要求

晋级分数：要晋级到USAMO（美国数学奥林匹克）或USJMO（美国初中数学奥林匹克），通常需要答对8-9道题，即取得8-9分的成绩。这是对学生数学能力的进一步考验。

晋级分数算法：

USAMO标准分数 = AMC12分 + 10 x AIME分数。

USAJMO标准分数 = AMC10分 + 10 x AIME分数。

AIME不仅是展示数学才能的平台，也是进入更高级别数学竞赛的关键。通过AIME，学生可以获得展示其数学能力的机会，这对于未来的学术发展和大学申请都是一个重要的加分项。高分成绩在竞争激烈的大学申请和夏令营中起到显著的作用，帮助学生在众多申请者中脱颖而出。

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2025年AIME邀请赛考试时间是什么时候？参赛条件是什么？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。以下是关于AIME的参赛条件、考试时间、竞赛规则以及考试策略的详细介绍。

一、AIME竞赛参赛条件

报名渠道：通过AMC中国区组委会（AMC China）报名参加AMC10/12考试，并达到AIME晋级分数线的学生将自动获邀参加AIME。

参赛方式：无需单独报名，晋级学生会自动注册AIME I的考试，并收到官方邮件通知。

二、2025年AIME邀请赛考试时间

AIME Ⅰ：2025年2月6日（美国时间）

AIME Ⅱ：2025年2月12日（美国时间）

三、AIME竞赛规则

考试时间：每年有两个考试日期，AIME Ⅰ和AIME Ⅱ。学生每年只能选择其中一个参加。

考试形式：个人赛，包含15道填空题，考试时间为3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

考试题型：填空题，每个问题的答案是一个三位数的正整数（000到999）。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器：不允许使用。

四、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目7~10：作为过渡题，要求考生对知识点有深刻理解和高熟练度，如排列组合、二项式定理、韦达定理、高次方程、不定方程、牛顿恒等式等。建议大约30到40分钟完成。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

通过这些策略，考生可以在AIME中有效提升解题效率和得分能力。AIME不仅考查数学知识，还评估考生的解题策略和思维能力，因此，合理的时间分配和解题技巧是取得高分的关键。

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AIME数学邀请赛难度如何？考试策略是什么？高分技巧有哪些？

AIME（American Invitational Mathematics Examination）是美国数学竞赛体系中的高级考试，专为在AMC 10和AMC 12中表现出色的学生设计。其难度体现在多个方面，以下是详细分析及考试策略。

一、AIME数学竞赛难度

考察内容更深，知识面更广

 AIME不仅考查考生的数学知识广度，还强调对数学知识的深入理解。考生需要熟练掌握多种数学概念和技巧，并能够灵活运用这些知识来解决复杂问题。试题从第6题开始难度逐渐增加，第7题和第8题作为过渡，难度上升，而第9到第15题则进入难题阶段，要求考生具备更高的解决问题能力。

几何部分图形更为复杂

 在AIME中，几何部分的难度显著提升。无论是平面几何还是立体几何，解析几何的考察难度已接近中国高考水平。这对考生的空间想象力和几何推理能力提出了更高的要求。

二、AIME考试策略

题目1~6：这些题目难度相当于AMC的水平，适合120分以上的学生。建议在30到40分钟内完成，不要花费过多时间。

题目7~10：作为过渡题，要求考生对知识点有深刻理解和高熟练度，如排列组合、二项式定理、韦达定理、高次方程、不定方程、牛顿恒等式等。建议大约30到40分钟完成。

题目11~15：这些题目整体难度较大，但并非每道题都非常困难。建议考生在剩余时间内仔细分析，选择性解答。

高分技巧

端点值验证：确保端点值单独验证，防止遗漏。

不定方程：使用画格子的方法防止漏写。

分类讨论：确保不重不漏，全面考虑不同情况。

函数图像：在特殊点上标注，帮助理解题意。

解类型确认：确认题目要求的是整数解还是非零解。

限定条件：确保所有条件都用到，注意隐含条件。

文字到方程：将文字叙述转化为等式或不等式。

最值问题：写出限定条件和目标函数。

几何题目：尝试不同的方法，如解析几何或向量法。

通过这些策略，考生可以在AIME中有效提升解题效率和得分能力。AIME不仅考查数学知识，还评估考生的解题策略和思维能力，因此，合理的时间分配和解题技巧是取得高分的关键。

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AIME数学邀请赛的历年晋级分数线是什么？考试形式是什么？

AIME，即美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination），是中国学生参与AMC系列数学竞赛的终极挑战赛。该竞赛由美国数学协会（MAA）主办，是美国数学竞赛体系中的一个重要环节。

一、AIME数学竞赛考试形式

题型：AIME包含15个开放式问题（填空题），每个问题的答案是一个三位数的正整数，从000到999。

考试时间：3小时（180分钟）。

考试语言：中英文双语。

计分规则：满分15分，答对一题得1分，未答得0分，答错不扣分。

计算器使用：不允许使用计算器。

二、AIME竞赛详细考察范围

AIME与AMC 10和AMC 12类似，考查范围包括算术、代数、计数、几何、数论和概率。虽然微积分不在考查范围内，但解题时可以运用微积分方法。

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理、拉格朗日插值公式、整值多项式

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、数列不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式、各类最值问题

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理、正弦定理、余弦定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理、圆幕定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及其应用

组合：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式、概率期望

数论：

基础：整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程、二次方程的整数根

三、AIME的历年晋级分数线是什么？

AMC10 A卷 AMC10 B卷
年份 AIME晋级分数线 年份 AIME晋级分数线
2023 103.5 2023 105
2022 93 2022 94.5
2021（Fall） 96 2021（Fall） 96
2021(Spring） 103.5 2021(Spring） 102
2020 103.5 2020 102
2019 103.5 2019 108
2018 111 2018 108
2017 112.5 2017 120
2016 110 2016 110
2015 106.5 2015 120
2014 120 2014 120
2013 108 2013 120
2012 115.5 2012 120
AMC12 A卷 AMC12 B卷
年份 AIME晋级分数线 年份 AIME晋级分数线
2023 85.5 2023 88.5
2022 85.5 2022 81
2021（Fall） 91.5 2021（Fall） 84
2021(Spring） 93 2021(Spring） 91.5
2020 87 2020 87
2019 84 2019 94.5
2018 93 2018 99
2017 96 2017 100
2016 93 2016 100.5
2015 0 2015 100.5
2014 93 2014 100.5
2013 88.5 2013 93
2012 94.5 2012 99

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