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2007年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2007年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

小于 24 的正完全平方数中有多少个$10^6$是 24 的倍数？

问题 2

一条 100 英尺长的移动人行道以每秒 6 英尺的恒定速度移动。Al 踏上人行道的起点并站起来。两秒钟后，Bob 踏上人行道的起点，以每秒 4 英尺的恒定速度沿着人行道向前漫步。两秒钟后，Cy 到达人行道的起点，以每秒 8 英尺的恒定速度沿着人行道快速向前行走。在某个时间，这三个人中的一个正好位于另外两个人的中间。此时，求出人行道起点与中间人之间的距离（以英尺为单位）。

问题 3

复数$z$等于$9+bi$，其中$b$为正实数且$i^{2}=-1$。假设$z^{2}$和的虚部$z^{3}$相同，那么$b$等于什么？

问题4

三颗行星在同一平面上绕恒星旋转。每颗行星都以相同的方向和恒定的速度移动。它们的周期分别为$60$、$84$和$140$年。这三颗行星和恒星目前共线。从现在起，它们最少需要多少年才能再次共线？

问题5

$F$将华氏温度转换为相应的摄氏温度的公式加元是$C = \frac{5}{9}(F-32).$ 将整数华氏温度转换为摄氏度，四舍五入到最接近的整数，再转换回华氏温度，然后再次四舍五入到最接近的整数。

$32$对于介于和之间的多少个整数华氏度温度，$1000$原始温度等于最终温度？

问题 6

一只青蛙被放在数轴的原点，并按照以下规则移动：在给定的移动中，青蛙要么前进到最近的具有更大整数坐标且是 的倍数的点，要么前进到最近的具有更大整数坐标且是 的倍数的点。移动序列是与有效移动相对应的坐标序列，以 开头，以 结尾。例如，是一个移动序列。青蛙可能有多少种移动序列？ $3$$13$$0$$39$$0,\ 3,\ 6,\ 13,\ 15,\ 26,\ 39$

问题 7

让 $N = \sum_{k = 1}^{1000} k ( \lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor )$

$N$求除以 1000 的余数。 （$\lfloor{k}\rfloor$是小于或等于 的最大整数$k$，$\lceil{k}\rceil$是大于或等于 的最小整数$k$。）

问题 8

多项式是三次多项式。多项式和都是的因数，那么$P(x)$的最大值是多少？ $k$$Q_1(x) = x^2 + (k-29)x - k$$Q_2(x) = 2x^2+ (2k-43)x + k$$P(x)$

问题 9

在直角三角形中，$ABC$直角为加元，加元 = 30美元且$CB = 16$。其直角边加元和$CB$延伸到$A$和 之外$B$。点$O_1$和$O_2$位于三角形外部，分别是两个半径相等的圆的圆心。以 为圆心的圆$O_1$与斜边和直角边 的延长线相切加元，以 为圆心的圆$O_2$与斜边和直角边 的延长线相切$CB$，两个圆互相外切。任一圆的半径长度都可以表示为$p/q$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。

问题 10

在一个$6 \乘以 4$网格（$6$行、$4$列）中，$12$有 的$24$方块需要涂黑，使得每行有两个涂黑的方块，每列有三个涂黑的方块。设为具有此属性的涂黑的方块数。求当除以$N$时的余数。 $N$$1000$

愛美我 2007-10.png

问题11

对于每个正整数$p$，设$b(p)$表示唯一正整数，$k$使得$|k-\sqrt{p}| < \frac{1}{2}$。例如，$b(6) = 2$和$b(23) = 5$。如果除以 1000 $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$时求余数。$S$

问题 12

在等腰三角形中$ABC$，$A$位于原点，$B$位于(20,0)。点加元位于第一象限$AC = BC$，角为$BAC = 75^{\circ}$。如果三角形$ABC$绕点逆时针旋转，$A$直到的图像加元位于正轴上$y$，则原始三角形和旋转三角形共同的区域面积为形式$p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s$，其中$p,q,r,s$为整数。求$(p-q+rs)/2$。

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2007年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2007年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

一个数学组织正在生产一组纪念车牌。每个车牌包含从 AIME 中的四个字母和 中的四个数字中选择的五个字符序列$2007$。任何字符在序列中出现的次数都不得超过在 AIME 中的四个字母或 中的四个数字中出现的次数$2007$。一组车牌中每个可能的序列都恰好出现一次，包含 N 个车牌。求 N/10。

问题 2

求有序三元组的数量，$(a,b,c)$其中$a$，，$b$和$c$为正整数，$a$是的因数$b$，$a$是的因数$c$，且$a+b+c=100$。

问题 3

正方形的 $ABCD$边长为$13$，且点 $E$和$F$位于正方形的外部，且$BE=DF=5$和$AE=CF=12$。求$EF^{2}$。

2007 艾梅 II-3.png

问题4

工厂里的工人生产小部件和 whoosits。对于每种产品，所有工人的生产时间都是恒定且相同的，但两种产品的生产时间不一定相等。在一小时内，$100$工人可以生产$300$小部件和$200$whoosits。在两个小时内，$60$工人可以生产$240$小部件和$300$whoosits。在三个小时内，$50$工人可以生产$150$小部件和$百万$whoosits。查找$百万$。

问题5

方程的图形画在方格纸上，每个方格代表每个方向的一个单位。方格纸上有多少个方格的内部完全位于图形下方且完全位于第一象限？ $9x+223y=2007$$1$$1$

问题 6

如果一个整数的十进制表示满足 ，则称其为奇偶单调整数，如果，则为偶数。有多少个四位数的奇偶单调整数？ $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{k}$$a_{i} <a_{i+1}$$a_{i}$$a_{i}>a_{i+1}$$a_{i}$

问题 7

给定一个实数， $x,$让$\lfloor x \rfloor$表示小于或等于的最大整数，对于$x.$某个整数， 恰好$k,$存在$70$正整数，并且对于所有满足$n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{70}$$k=\lfloor\sqrt[3]{n_{1}}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_{2}}\rfloor = \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor$$k$$n_{i}$$我$$1 \leq i \leq 70.$

$\frac{n_{i}}{k}$找到的最大值$1\leq 等于 \leq 70.$

问题 8

一张长方形的纸的尺寸为 4 个单位乘以 5 个单位。纸的边缘画有几条平行线。由这些线的交点确定的矩形称为基本矩形，如果

（i）矩形的四条边都是画出的线段，并且
(ii) 所画线段均不位于矩形内。

假设所有画出的线段的总长度恰好为 2007 个单位，设$N$为确定的基本矩形的最大可能数量。求除以 1000 时的余数。$N$

问题 9

矩形 $ABCD$具有和$AB=63$点$BC=448.$和$E$分别$F$位于$AD$和上BC$，使得$AE=CF=84.$三角形的内切圆与 点相切，$BEF$三角形的内切圆与点相切查找$EF$$P,$$DEF$$EF$ $Q.$$PQ.$

问题 10

设$S$为有六个元素的集合。设为 的所有子集的集合，的子集和不一定不同，是从 中独立随机选择的。包含在或中的一个中的概率为其中、和为正整数，为素数，且和互为素数。求（集合是 中所有不在 中的元素的集合） $\mathcal{P}$$S.$$A$$B$$S$$\mathcal{P}$$B$$A$南非$\frac{m}{n^{r}},$$百万$$n$$r$ $n$$百万$$n$$m+n+r.$南非$S$$A.$

问题11

两个长度相同但直径不同的长圆柱管平行放置在平面上。较大的管子的半径为，沿平面向半径为 的小管子滚动。它在小管子上滚动，并继续沿平面滚动，直到它停止在圆周上的同一点上，此时已完成一整圈。如果小管子不动，滚动时没有滑动，则大管子最终会与起始位置相距一段距离。该距离可以表示为其中和为整数，不能被任何素数的平方整除。求 $72$$24$ $x$$x$$a\pi+b\sqrt{c},$$一个，$ $b,$$c$$c$$a+b+c.$

问题 12

递增的几何序列 $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$完全由的整数$3.$幂组成， 假设

$\sum_{n=0}^{7}\log_{3}(x_{n}) = 308$和$56 \leq \log_{3}\left ( \sum_{n=0}^{7}x_{n}\right ) \leq 57,$

寻找$\log_{3}(x_{14}).$

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2008年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设$N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 + 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2$，其中加法和减法交替进行。求$N$除以时的余数$1000$。

问题 2

鲁道夫以恒定的速度骑行，每骑行一英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗以恒定的速度骑行，速度是鲁道夫的四分之三，但詹妮弗每骑行两英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗和鲁道夫同时开始骑行，并$50$同时到达 - 英里标记。他们花了多少分钟？

问题 3

一块长方体奶酪，尺寸为$10$10 x $13$10 x $14$10 cm。将奶酪切成 10 片。每片宽度为$1$1 cm，平行于奶酪的一面。各个切片不一定彼此平行。切下 10 片后，剩余奶酪块的最大体积（立方厘米）是多少？

问题4

存在$r$唯一的非负整数$n_1 > n_2 > \cdots > n_r$和$r$整数$a_k$（$1\le k\le r$），其中每个$a_k$都是$1$或，$- 1$并且\[a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008.\]查找$n_1 + n_2 + \cdots + n_r$。

问题5

在 的梯形中，设$ABCD$和。设、和和分别为和 的中点。求长度。 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$BC 美元 = 1000 美元$AD = 2008$$\角度 A = 37^\circ$$\角度 D = 53^\circ$$M$$N$$\overline{BC}$$\overline{AD}$百万

问题 6

该序列$\{a_n\}$由\[a_0 = 1,a_1 = 1, \text{ 且 } a_n = a_{n - 1} + \frac {a_{n - 1}^2}{a_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.\]“ 查找”$\{b_n\}$定义 。\[b_0 = 1,b_1 = 3, \text{ 且 } b_n = b_{n - 1} + \frac {b_{n - 1}^2}{b_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.\]$\frac {b_{32}}{a_{32}}$

问题 7

设$r$、$s$和$t$分别为方程 的三个根\[8x^3 + 1001x + 2008 = 0.\]求$(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$。

问题 8

令。求出使得为 整数的 $a = \pi/2008$最小正整数。$n$\[2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) + \cos(9a)\sin(3a) + \cdots + \cos(n^2a)\sin(呐）]\]

问题 9

一个粒子位于 处的坐标平面上$(5,0)$。定义粒子的移动$\pi/4$为绕原点逆时针旋转弧度，然后沿$10$正方向平移单位$x$。假设粒子$150$移动后的位置为$(p,q)$，找出小于或等于 的最大整数$|p| + |q|$。

问题 10

下图显示了一个$4\times4$矩形点阵列，每个点都$1$与其最近的邻居相距一个单位。

[asy] unitize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i，j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j)); [/asy]

将增长路径定义为数组中不同点的序列，其特性是序列中连续点之间的距离严格增加。设$百万$为增长路径中可能的最大点数，设$r$为恰好由点组成的增长路径的数量$百万$。求$先生$。

问题11

在三角形中$ABC$，$AB = AC = 100$，和BC 元 = 56 美元。圆的$P$半径为，并与$16$相切。圆与圆相切，并与相切。圆上无一点位于 之外。圆的半径可以表示为，其中，和为正整数，且为不同素数的乘积。求。 $\overline{AC}$$\overline{BC}$$Q$$P$$\overline{AB}$$\overline{BC}$$Q$$\bigtriangleup\overline{ABC}$$Q$$m-n\sqrt{k}$$百万$$n$$k$$k$$m + nk$

问题 12

有两根可区分的旗杆，有 面$19$旗帜，其中 面$10$是相同的蓝旗， 面$9$是相同的绿旗。设为使用所有旗帜的可区分布置的数量，其中每根旗杆上至少有一面旗帜，并且两根旗杆上没有两面绿旗相邻。当除以$N$时，求余数。 $N$$1000$

问题 13

复平面中以原点为中心的正六边形具有相隔一个单位的相对边对。其中一对边与虚轴平行。设$R$为六边形外部的区域，设$S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$。则 的面积$S$形式为$a\pi + \sqrt{b}$，其中$a$和$b$为正整数。求$a + b$。

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2008年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在参加学校聚会的学生中，$60\%$有 的学生是女生，$40\%$有 的学生喜欢跳舞。当这些学生中又加入了$20$更多喜欢跳舞的男生后，聚会就变成了$58\%$女生聚会。现在聚会上有多少学生喜欢跳舞？

问题 2

正方形$艾美$的边长为 长度$10$单位。等腰三角形的创业板底边为，三角形和正方形$EM$的公共面积为平方单位。求中高的长度为。 创业板$艾美$$80$$EM$$\triangle 宝石$

问题 3

艾德和苏以相等且恒定的速度骑自行车。同样，他们以相等且恒定的速度慢跑，并以相等且恒定的速度游泳。艾德$74$在骑自行车几个$2$小时、慢跑几个$3$小时和游泳几个$4$小时后才走了几公里，而苏$91$在慢跑几个$2$小时、游泳几个$3$小时和骑自行车几个$4$小时后才走了几公里。他们的骑自行车、慢跑和游泳速度都是每小时公里的整数倍。求出艾德骑自行车、慢跑和游泳速度的平方和。

问题4

存在唯一的正整数$x$和$y$满足方程$x^2 + 84x + 2008 = y^2$。求$x + y$。

问题5

一个直圆锥的底面半径为$r$，高为$h$。该圆锥侧放在平坦的桌面上。当圆锥在桌面上滚动而不滑动时，圆锥底面与桌面的交点画出以顶点与桌面接触点为中心的圆弧。圆锥在完成$17$旋转后首先回到桌面上的原始位置。 的值$h/r$可以写成 的形式$m\sqrt {n}$，其中$百万$和$n$为正整数，$n$不能被任何素数的平方整除。求$m + n$。

问题 6

一个三角形数字数组，第一行由按递增顺序排列的奇数组成$1,3,5,\ldots,99$。第一行下方的每一行都比其上方的行少一个条目，而底部一行只有一个条目。顶行之后的任何一行中的每个条目都等于其上一行中对角线上方两个条目的总和。数组中有多少个条目是 的倍数$67$？

问题 7

设$S_i$为所有整数的集合，$n$满足$100i\leq n < 100(i + 1)$。例如，$S_4$是集合${400,401,402,\ldots,499}$。有多少个集合$S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$不包含完全平方数？

问题 8

找到正整数，$n$使得

\[\arctan\frac {1}{3} + \arctan\frac {1}{4} + \arctan\frac {1}{5} + \arctan\frac {1}{n} = \frac {\圆周率}{4}。\]

问题 9

十个相同的板条箱，每个尺寸为$3$ft $\times$ $4$ft $\times$ $6$ft。第一个板条箱平放在地板上。其余九个板条箱依次平放在前一个板条箱的顶部，每个板条箱的方向都是随机选择的。设$\frac {m}{n}$为板条箱堆正好高 ft 的概率$41$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$百万$。

问题 10

设$ABCD$是等腰梯形，$\overline{AD}||\overline{BC}$其长底角$\overline{AD}$为$\dfrac{\pi}{3}$。对角线长度为$10\sqrt {21}$，点为，与顶点和$E$的距离分别为和。设是从到的高的底边。距离可以表示为形式，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除。求。 $10\sqrt {7}$$30\sqrt {7}$$A$$D$$F$加元$\overline{AD}$$EF$$m\sqrt {n}$$百万$$n$$n$$m + n$

问题11

考虑完全由$A$和组成的序列$B$，其特性是连续 的每个$A$序列长度为偶数，而连续 的每个序列$B$长度为奇数。此类序列的示例有$AA$、$B$和 ，$AABAA$而$BBAB$不是此类序列。有多少个此类序列的长度为 14？

问题 12

在一条长而直的单向单车道公路上，所有车辆都以相同的速度行驶，并遵守安全规则：前车尾部到后车尾部的距离，每以 15 公里/小时的速度或其分数表示，正好是一辆车的长度（因此，以 52 公里/小时行驶的汽车的车头将落后于前车车头四辆车的长度。）路边的光电眼会计算一小时内通过的汽车数量。假设每辆车长 4 米，汽车可以以任何速度行驶，设$M$为一小时内通过光电眼的最大整数汽车数。求当$M$除以 10 时的商。

问题 13

让$p(x,y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_3x^2 + a_4xy + a_5y^2 + a_6x^3 + a_7x^2y + a_8xy^2 + a_9y^3$。

假设$p(0,0) = p(1,0) = p( - 1,0) = p(0,1) = p(0, - 1) = p(1,1) = p(1, - 1) = p(2,2) = 0$。

$\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right)$对于$p\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right) = 0$所有这样的多项式，存在一个点，其中$a$，，$b$和$c$为正整数，$a$和$c$互质，且$c> 1$。求$a + b + c$。

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2025年AIME竞赛什么时候考试？考察内容有哪些？有什么备赛策略？

美国数学邀请赛（AIME）是由美国数学协会（MAA）主办的一项高水平数学竞赛。它与AMC10/12考试紧密相关，只有在AMC考试中达到特定分数线（AIME cut off）的学生才能受邀参加。AIME的成绩对于申请美国顶尖大学，如藤校、斯坦福、MIT等，具有重要的参考价值。AIME的分数乘以10再加上AMC10或AMC12的分数可以决定是否晋级USAJMO或USAMO。

一、2025 AIME考试安排

AIME I： 2025年2月6日（美东时间）

AIME II： 2025年2月12日（美东时间）

考试时长： 3小时

考试语言： 中英双语

考试形式： 线上考试

题型： 15道填空题，答案为000-999的整数

计分方式： 满分15分，答对1题得1分，答错或未答不得分

晋级AIME的学生可以选择参加AIME I或AIME II，二者难度相同但题目不同，且不能同时参加。

二、AIME数学竞赛考察内容

AIME涵盖了广泛的数学领域，主要包括：

算术：

整数、分数、小数、百分数、比例等基础知识

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及应用

数论：

整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程、二次方程的整数根

组合与计数：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式

概率与统计：

概率计算、统计分析、概率模型

三、AIME题目分布和备赛策略

题目分布

AIME的题目分布不固定，但几何和代数题目通常占比较高，数论和组合题目相对较少。2023年AIME I的真题分布为4道几何题、2道代数题、4道组合题、4道数论题。

AIME备考攻略

了解考试趋势和特点：

数论题目难度升级，涉及高阶技巧。

复数单位根考察深度增强。

几何部分首次出现欧拉定理相关题目。

科学规划答题顺序：

快速浏览试题，优先作答擅长题目，确保基础分数。

复习备考时掌握整体知识点，灵活运用。

抓住薄弱环节，整理错题：

养成整理错题的习惯，查漏补缺，针对性提升。

AMC低分晋级AIME的同学：

不要气馁，查漏补缺，合理安排复习计划，坚持专项练习和考前模拟测试。

通过系统的备考和实践，学生能够在AIME竞赛中展示自己的数学才能，为未来的学术发展和名校申请增添重要的竞争力。AIME不仅考察学生的数学知识深度，还锻炼他们的解题技巧和思维能力。

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2009年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2009年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在开始油漆之前，比尔有$130$几盎司蓝色油漆、$164$几盎司红色油漆和$188$几盎司白色油漆。比尔在墙上画了四条大小相同的条纹，一条蓝色条纹、一条红色条纹、一条白色条纹和一条粉色条纹。粉色是红色和白色的混合，不一定是等量的。当比尔完成后，他剩下的蓝色、红色和白色油漆数量相等。求比尔剩下的油漆总数。

问题 2

假设$a$、$b$和为正实数，$c$且、 和。求 $a^{\log_3 7} = 27$$b^{\log_7 11} = 49$$c^{\log_{11}25} = \sqrt{11}$\[a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.\]

问题 3

在矩形 中$ABCD$，$AB=100$。设$E$为 的中点$\overline{AD}$。已知线段$AC$和 线段$BE$垂直，求小于 的最大整数$AD$。

问题4

一群孩子举行了一场吃葡萄比赛。比赛结束时，获胜者吃掉了$n$葡萄，排名第 的孩子也$k$吃掉了 $n+2-2k$葡萄。比赛中吃掉的葡萄总数为$2009$。求 的最小可能值$n$。

问题5

等边三角形$T$内接于圆$A$，圆的半径为$10$。半径$B$为 的圆在的一个顶点处$3$内切于圆。半径为 的圆和均在的另外两个顶点处内切于圆。圆、和均外切于圆，圆的半径为，其中和是互质正整数。求。 $A$$T$加元$D$$2$$A$$T$$B$加元$D$$E$$\dfrac mn$$百万$$n$$m+n$

[asy] unitize(3mm); defaultpen(linewidth(.8pt)); dotfactor=4; 对 A=(0,0), D=8*dir(330), C=8*dir(210), B=7*dir(90); 对 Ep=(0,4-27/5); 对[] dotted={A,B,C,D,Ep}; 绘制(圆(A,10)); 绘制(圆(B,3)); 绘制(圆(C,2)); 绘制(圆(D,2)); 绘制(圆(Ep,27/5)); dot(dotted); 标签("$E$",Ep,A); 标签("$A$",A,W); 标签("$B$",B,W); 标签("$C$",C,W); 标签("$D$",D,E); [/asy]

问题 6

设$百万$为可从第一个自然数集合中选取的五元素子集的数量，$14$使得五个数字中至少有两个是连续的。求$百万$除以时的余数$1000$。

问题 7

定义$n!!$为$n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1$奇数$n$，$n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2$为$n$偶数。当$\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$用最简分数表示时，其分母$2^ab$为$b$奇数。求$\dfrac{ab}{10}$。

问题 8

Dave 掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。Linda 独立地掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。设$百万$和$n$为互质正整数，使得是$\dfrac mn$Dave 掷骰子的次数等于或在 Linda 掷骰子的次数之内的概率。求$m+n$。

问题 9

设$百万$为方程的正整数解的个数$4x+3y+2z=2009$，设$n$为方程的正整数解的个数。求除以$4x+3y+2z=2000$时的余数。 百万美元$1000$

问题 10

四座灯塔分别位于 、 、 和 点$A$。$B$处加元的$D$灯塔$A$距离 处的灯塔 为$5$公里$B$，处的灯塔距离 处的灯塔$B$为公里，处的灯塔距离处的灯塔 为 公里。对于 处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与 和处的灯光所确定的角相等。对于 处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与 和处的灯光所确定的角相等。从到 的公里数为，其中、和是互质正整数，并且不能被任何素数的平方整除。求。 $12$加元$A$$13$加元$A$$B$$D$加元$D$加元$A$$B$$D$$B$$A$$D$$\frac{p\sqrt{r}}{q}$$p$$q$$r$$r$$p+q+r$

问题11

对于某些具有$(m,n)$的正整数对，$m\geq n$存在恰好$50$不同的正整数$k$使得$|\log m - \log k| < \log n$。求出乘积的所有可能值的和$m \cdot n$。

问题 12

从整数集合 中$\{1,2,3,\dots,2009\}$，选择 的$k$对$\{a_i,b_i\}$，$a_i<b_i$使得没有两对有共同元素。假设所有和$a_i+b_i$都是不同的，并且小于或等于$2009$。求 的最大可能值$k$。

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2009年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2009年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

如果一个$3$-位数字具有不同的数字，并且从左到右读时形成一个几何序列，则称该数字为几何数。求出最大和最小几何数之间的差 。$3$

问题 2

有一个$z$具有虚部的复数$164$和一个正整数$n$，使得

\[\frac {z}{z + n} = 4i.\]

寻找$n$。

问题 3

一枚硬币每次抛出正面的概率为$p> 0$，每次抛出反面的概率$1-p>0$为 ，抛硬币八次。假设三次抛出正面和五次抛出反面的概率等于$\frac {1}{25}$五次抛出正面和三次抛出反面的概率。设$p = \frac {m}{n}$，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题4

在平行四边形中$ABCD$，点$M$在 上$\overline{AB}$，使得$\frac {AM}{AB} = \frac {17}{1000}$点$N$在 上，$\overline{AD}$使得$\frac {AN}{AD} = \frac {17}{2009}$。设 为和 的$P$交点。求。 $\overline{AC}$$\overline{MN}$$\frac {AC}{AP}$

问题5

三角形$ABC$有$AC = 450$和BC 美元 = 300 美元。点$K$和分别$L$位于$\overline{AC}$和上，使得，和是角的角平分线。设是和的交点，设是中点所在直线上的点。若，则求。 $\overline{AB}$$AK = CK$$\overline{CL}$加元$P$$\overline{BK}$$\overline{CL}$$M$$BK$$K$$\overline{PM}$$上午 = 180$LP$

问题 6

有多少$N$个小于的正整数使得$1000$该方程$x^{\lfloor x\rfloor} = N$有解$x$？

问题 7

对于 ，序列$(a_n)$满足$a_1 = 1$和。设为大于 的最小整数，其中为整数。求。 $5^{(a_{n + 1} - a_n)} - 1 = \frac {1}{n + \frac {2}{3}}$$n \geq 1$$k$$1$$a_k$$k$

问题 8

设$S = \{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{10}\}$。考虑 元素对的所有可能的正差$S$。设$N$为所有这些差的总和。求$N$除以时的余数$1000$。

问题 9

一个游戏节目为参赛者提供了三个奖品 A、B 和 C，每个奖品的价值为从 到 的整数美元$\text{\text美元}1$。$\text{\textdollar}9999$参赛者通过正确猜出 A、B、C 顺序的每个奖品的价格来赢得奖品。作为提示，给出了三个价格的数字。在某一天，给出的数字是$1, 1, 1, 1, 3, 3, 3$。求出与提示一致的所有三个奖品的可能猜测总数。

问题 10

年度星际数学考试 (AIME) 由五名火星人、五名金星人和五名地球人组成的委员会编写。开会时，委员会成员坐在圆桌旁，椅子按顺时针方向从$1$到编号。委员会规则规定，火星人必须坐在 椅子上，地球人必须坐在 椅子上。此外，地球人不能坐在火星人的左边，火星人不能坐在金星人的左边，金星人不能坐在地球人的左边。委员会可能的座位安排数为。求。 $15$$1$$15$$N \cdot (5!)^3$$N$

问题11

考虑所有三角形的集合，$OPQ$其中$O$是原点，并且$P$是$Q$平面上具有非负整数坐标的不同点，$(x,y)$并且$41x + y = 2009$。求出面积为正整数的不同三角形的数量。

问题 12

在右半边$\三角形ABC$为斜边的圆中$\overline{AB}$，$AC = 12$，BC 元 = 35 美元，$\overline{CD}$是 的高$\overline{AB}$。设$\omega$为圆的$\overline{CD}$直径。设$我$为圆 外一点$\三角形ABC$，使$\overline{AI}$和$\overline{BI}$均与圆 相切$\omega$。 的周长$\triangle ABI$与 的长度之比$AB$可以表示为 的形式$\frac {m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m + n$。

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2010年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2010年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为所有数字都是偶数且没有两个数字相同的数$N$的最大整数倍。求除以时的余数。 $36$$N$$1000$

问题 2

$P$在单位正方形 内部随机选取一点$S$。设表示从到 的最近边的$d(P)$距离。等于 的概率，其中和为互质正整数。求。 $P$$S$$\frac{1}{5}\le d(P)\le\frac{1}{3}$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 3

设是所有因数（不一定不同）$K$的乘积，其中和是满足的整数。找出能够整除的最大正整数。 $(ba)$$a$$b$$1\le a < b \le 20$$n$$2^n$$K$

问题4

戴夫到达一个机场，该机场有 12 个登机口，排列成一条直线，$100$相邻登机口之间的距离恰好为英尺。他的登机口是随机分配的。在登机口等待后，戴夫被告知登机口已更改为另一个登机口，同样是随机的。假设戴夫步行$400$几英尺或更短时间到达新登机口的概率为分数$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m+n$。

问题5

正数$x$、$y$、 和$z$满足$xyz = 10^{81}$和$(\log_{10}x)(\log_{10} yz) + (\log_{10}y) (\log_{10}z) = 468$。求$\sqrt {(\log_{10}x)^2 + (\log_{10}y)^2 + (\log_{10}z)^2}$。

问题 6

寻找最小的正整数$n$，其特性是多项式$x^4 - nx + 63$可以写成两个具有整数系数的非常数多项式的乘积。

问题 7

设$P(z)=z^3+az^2+bz+c$，其中$a$，$b$和$c$为实数。存在一个复数，$w$使得 的三个根分别$P(z)$为$w+3i$，$w+9i$和$2周到4美元，其中$i^2=-1$。求$|a+b+c|$。

问题 8

设$N$是非空集的有序对的数量$\mathcal{A}$，并$\mathcal{B}$具有以下属性：

  • $\mathcal{A} \cup \mathcal{B} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$，
  • $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset$，
  • 元素的数量$\mathcal{A}$不是 的元素$\mathcal{A}$，
  • 元素的数量$\mathcal{B}$不是 的元素$\mathcal{B}$。

寻找$N$。

问题 9

设$ABCDEF$为正六边形。设黄金、$H$、$我$、$J$、$K$和分别为边、、、、和$L$的中点。线段、、、、 和构成一个较小的正六边形。设小六边形的面积与 的面积之比用分数表示，其中和是互质正整数。求。 $AB$BC$CD$德意志银行$EF$$AF$$\overline{AH}$$\overline{BI}$$\overline{CJ}$$\overline{DK}$$\overline{EL}$$\overline{FG}$$ABCDEF$$\frac {m}{n}$$百万$$n$$m + n$

问题 10

求出具有整数系数和整数零点的二次多项式的数量$f(x)$，使得$f(0)=2010$。

问题11

将T 网格定义为$3\times3$满足以下两个属性的矩阵：

  1. 其中恰好有五个条目是$1$，其余四个条目是$0$。
  2. 在八行、八列、八条长对角线（长对角线为$\{a_{13},a_{22},a_{31}\}$和$\{a_{11},a_{22},a_{33}\})$）中，最多只有一条线的三个元素相等。

找出不同T 型网格的数量。

问题 12

两个不全等的整数边等腰三角形周长和面积相等。两个三角形底边的长度比为$8: 7美元。求出它们公共周长的最小可能值。

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2010年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2010年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

Maya 列出了 的所有正因数$2010^2$。然后她从这个列表中随机选择两个不同的因数。设$p$为所选因数中恰好有一个是完全平方数的概率。该概率$p$可以表示为 的形式$\frac {m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m + n$。

问题 2

$9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 个 9}}$求除以 的余数$1000$。

问题 3

假设$y = \frac34x$和$x^y = y^x$。数量$x + y$可以表示为有理数$\frac {r}{s}$，其中$r$和$s$是互质正整数。求$r + s$。

问题4

Jackie 和 Phil 有两枚公平硬币和一枚第三枚硬币，硬币正面朝上的概率为$\frac47$。Jackie 抛三枚硬币，然后 Phil 也抛三枚硬币。设$\frac {m}{n}$为 Jackie 抛出正面的次数与 Phil 抛出次数相同的概率，其中$百万$和$n$为互质正整数。求$m + n$。

问题5

正整数$a$、$b$、$c$和$d$满足$a>b>c>d$、$a + b + c + d = 2010$、 和$a^2-b^2+c^2-d^2=2010$。求 的可能值的数量$a$。

问题 6

设$P(x)$是具有实系数的二次多项式，且$x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$对所有实数都满足$x$，并假设$P(11) = 181$。求$P(16)$。

问题 7

定义一个有序集合三元$(A, B, C)$组为$\textit{最小相交}$若$|A \cap B| = |B \cap C| = |C \cap A| = 1$且为$A \cap B \cap C = \emptyset$。例如，$（\{1,2\},\{2,3\},\{1,3,4\}）$是一个最小相交三元组。设$N$是最小相交有序集合三元组的数量，其中每个集合都是 的子集。当除以$\{1,2,3,4,5,6,7\}$时，求余数。 $N$$1000$

注：$|S|$表示集合中元素的数量$S$。

问题 8

对于实数$a$，设$\lfloor a \rfloor$表示小于或等于 的最大整数$a$。设$\mathcal{R}$表示坐标平面中由$(x,y)$这样的点组成的区域$\lfloor x \rfloor ^2 + \lfloor y \rfloor ^2 = 25$。该区域$\mathcal{R}$完全包含在半径为 的圆盘中$r$（圆盘是圆及其内部的并集）。 的最小值$r$可以写成$\frac {\sqrt {m}}{n}$，其中$百万$和$n$是整数，$百万$不能被任何素数的平方整除。求$m + n$。

问题 9

设$(a,b,c)$是方程组$x^3-xyz=2$、$y^3 - xyz = 6$、的实数解$z^3-xyz=20$。 的最大可能值$a^3 + b^3 + c^3$可以写成 的形式$\frac {m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m + n$。

问题 10

设为写成形式$N$的方法数，其中为整数，且。这种表示的一个例子是。求。 $2010$$2010 = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$$a_i$$0 \le a_i \le 99$$1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 67\cdot 10^1 + 40\cdot 10^0$$N$

问题11

设是坐标平面中满足和的$\mathcal{R}$点集所构成的区域。当绕直线旋转时，其方程为，则所得立体的体积为，其中，，和为正整数，和互质，不能被任何质数的平方整除。求。 $|8 - x| + y ≤ 10$$3y - x \ge 15$$\mathcal{R}$$3y - x = 15$$\frac {m\pi}{n\sqrt {p}}$$百万$$n$$p$$百万$$n$$p$$m + n + p$

问题 12

设$m \ge 3$为整数，且$S = \{3,4,5,\ldots,m\}$。求 的最小值，使得$百万$对于 的每个$S$两个子集的划分，至少有一个子集包含整数$a$、$b$和$c$（不一定不同），使得$ab = c$。

注意： 的划分$S$是一对集合$A$，$B$使得$A \cap B = \emptyset$。$A \cup B = S$

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2011年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2011年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

加里买了一大杯饮料，但只喝了一半$m/n$，其中$百万$和$n$是互质正整数。如果他买的量是原来的一半，喝的量是原来的两倍，那么他浪费的$2/9$饮料就只有原来的一半。求$m+n$。

问题 2

在正方形上$ABCD$，点$E$位于边上$AD$，点$F$位于边上BC$，使得$BE=EF=FD=30$。求正方形的面积$ABCD$。

问题 3

凸 18 边形中各个角度的度数构成一个具有整数值的递增等差数列。求出最小角度的度数。

问题4

在三角形中$ABC$，$AB=20$和$AC=11$。角的角平分线$A$交BC$于点$D$，点$M$是 的中点$AD$。设为和直线$P$的交点。到的比值可以表示为 的形式，其中和是互质正整数。求。 $AC$$BM$CP$帕拉梅拉$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m+n$

问题5

$2011$等比数列的首项之和为$200$。首$4022$项之和为$380$。求首$6033$项之和。

问题 6

如果，且，则将有序整数四元组定义$（a，b，c，d）$为有趣的。有多少个有趣的有序四元组？ $1 \le a<b<c<d \le 10$$a+d>b+c$

问题 7

埃德有五颗相同的绿色弹珠和大量相同的红色弹珠。他将绿色弹珠和一些红色弹珠排成一排，发现其右手边相邻的弹珠颜色与自己相同，其右手边相邻的弹珠颜色不同。这种排列的一个例子是 GGRRRGGRG。设 为$百万$可以进行这种排列的最大红色弹珠数量，设 为$N$他可以满足$m+5$要求的排列弹珠的方式数量。求当$N$除以时的余数$1000$。

问题 8

设$z_1,z_2,z_3,\dots,z_{12}$为多项式 的12个零点$z^{12}-2^{36}$。对于每个$j$，设为或$w_j$之一。则 的实部的最大可能值可以写成其中和为正整数。求。 $z_j$$i z_j$$\sum_{j=1}^{12} w_j$$m+\sqrt{n}$$百万$$n$$m+n$

问题 9

设$ x_1 $，$ x_2 $，$\dots$，$x_6$为非负实数$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 1$，且$x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge {\frac{1}{540}}$， 。设$p$和$q$为互质正整数，且$\frac{p}{q}$为 的最大可能值$x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 + x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2$。求$p + q$。

问题 10

一个圆心为25 的圆，长度为 30 的$O$弦与长度为 14 的弦相交于点，两弦中点之间的距离为 12 ，该量可以表示为，其中和为互质正整数，求除以 1000 时的余数。 $\overline{AB}$$\overline{CD}$$P$$OP^2$$\frac{m}{n}$$百万$$n$$m + n$

问题11

设$M_n$为矩阵$n \乘以 n$，其元素如下：对于$1 \le i \le n$，$m_{i,i} = 10$；对于$1 \le i \le n - 1$，$m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3$；中的所有其他元素$M_n$均为零。设$D_n$为矩阵 的行列式$M_n$。则可$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n+1}$表示为$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$为互质正整数。求$p + q$。

$1 \乘以 1$注意：矩阵的行列式$[a]$为，矩阵$a$的行列式；对于，首行或首列为 的矩阵，其行列式等于，其中是去掉包含 的行和列后得到的矩阵的行列式。 $2 \乘以 2$$\left[ {\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right] = ad - bc$$n \ge 2$$n \乘以 n$$a_1$ $a_2$ $a_3$ $\dots$ $a_n$$a_1C_1 - a_2C_2 + a_3C_3 - \dots + (-1)^{n+1}a_nC_n$$C_i$$(n - 1) \times (n - 1)$$a_i$

问题 12

九位代表，每人来自三个不同的国家，随机选择一张可容纳九人的圆桌旁的椅子。假设每位代表坐在至少一个来自其他国家的代表旁边的概率为$\frac{m}{n}$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$m + n$。

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