赛事资讯 - 第 14 页 - AIME数学邀请赛官网

2025赛季AIME数学竞赛什么时候比赛？AIME竞赛含金量如何？

美国数学邀请赛（AIME）是美国数学协会（MAA）举办的系列竞赛之一，是连接AMC10/12和美国数学奥林匹克（USAMO）/美国少年数学奥林匹克（USAJMO）的桥梁。AIME竞赛不仅是对AMC10/12中表现优异学生的认可，也为他们提供了通往更高层次数学挑战的机会。

一、AIME竞赛时间

AIME I 比赛时间（北京时间）：2025年2月7日 13:00-16:00

AIME II 比赛时间（北京时间）：2025年2月13日 13:00-16:00

二、AIME竞赛赛制

语言：中英双语

时长：3小时

题型：15道填空题，答案为000至999的整数

总分：15分，答对一题得1分，答错或未答不得分

AIME竞赛报名方式

AIME是邀请赛，考生无需主动报名。在AMC10/12中成绩优异的学生将收到官方邀请邮件或短信，只需在指定时间内确认参赛即可。

三、AIME竞赛含金量

名校申请助力

许多顶尖大学如斯坦福大学、麻省理工学院（MIT）、耶鲁大学和哥伦比亚大学等，在申请表中都设有AMC/AIME成绩栏目，对AIME成绩给予高度认可。

奖学金和机会

优秀的AIME成绩不仅在学术上获得认可，还可能成为争取奖学金的重要工具。许多美国大学将数学竞赛成绩作为奖学金评定的重要标准。

学术能力提升

AIME竞赛的备考和参赛过程可以极大地拓宽学生的数学知识面，加深对数学概念和原理的理解，提高数学思维的严谨性、灵活性和创造性。

个人成长与自信培养

AIME竞赛不仅考验学术能力，也考验学生的毅力、决心和自信心。通过竞赛，学生收获的不仅是荣誉，还有对自身能力的肯定和增强的自信，这种自信会伴随他们一生。

全球认可

AIME成绩在全球数学界得到认可，是评估学生数学能力和创造性思维的重要指标，尤其在申请顶尖美本院校时。

四、AIME与其他竞赛的区别

题型难度：AIME为填空题，要求解题并填上答案；AMC为选择题，有多种解题方法。

几何复杂性：AIME的几何题复杂程度相当于中国高考的压轴题。

计算复杂性：AIME要求更高的计算量和复杂性。

知识点串联：AIME的题目常串联多个知识点，尤其是后几题。

做题速度：AIME对速度要求更高，需要熟练掌握知识点并快速应用。

五、AIME竞赛备考建议

初次晋级AIME的备考策略

几何部分：学习更高观点的几何定理和基本几何计算。

代数部分：复数、对数、三角函数。

数论部分：补充AMC10/12中不涉及的数论四大定理。

组合部分：训练组合结构的分析能力。

有过AIME经验的备考策略

代数部分：复数、对数、多项式、三角函数、数列、不等式。

几何部分：二级结论的计算。

数论部分：强化数论四大定理，针对难度适中的计算。

组合部分：通过习题训练分析能力。

备考要点

巩固核心知识点：系统复习和巩固AIME涉及的广泛且深度的知识点。

培养解题技巧：通过解析题目和分析解题思路来提高速度和准确性。

把握做题节奏：合理分配考试时间，优先攻克前10道题，确保正确率。

多做模拟题和真题：通过模拟考试熟悉流程，检验备考效果，练习时间管理。

通过以上策略和充分准备，学生能够在AIME竞赛中展现出色的数学才能，为未来的学术发展和名校申请奠定坚实基础。AIME不仅是数学能力的证明，更是对学生综合素质的全面检验。

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2025年AIME数学竞赛比赛安排？AIME竞赛不同分数代表什么？

美国数学邀请赛（American Invitational Mathematics Examination，简称AIME）是介于AMC10、AMC12和美国数学奥林匹克竞赛（USAMO）之间的一项重要数学竞赛。AIME是一项基于邀请制度的挑战赛，只有在AMC10/12中表现杰出的学生会自动收到AIME竞赛的邀请邮件或短信，确认参加即可，无需额外报名。

一、AIME竞赛分数与含金量

AIME的分数直接反映了学生的数学能力和潜力，对名校申请具有重要意义：

6-7分：标志着中等水平的数学能力，是申请非数学领域顶尖学府的不错闪光点。

8-10分：体现较强的数学实力，足以申请对数学能力有较高要求的学校。

11-12分：非常优秀的成绩，能直接进入USAMO选拔流程，是申请顶尖名校数学系或其他理工科专业的重要亮点。

13-15分：几乎能稳获USAMO资格，在名校申请中具有极强竞争力。

二、2025年AIME比赛安排

考试时间：

AIME I：2025年2月6日（美国时间）

AIME II：2025年2月12日（美国时间）

考试时长：3小时

考试语言：中英双语

考试形式：线上机考或线下考试

卷构成：15道填空题，答案为000-999之间的整数

计分方式：满分15分，答对1题得1分，答错或未答不得分

*晋级AIME的同学可选择参加Ⅰ卷或Ⅱ卷考试，这两个卷子为相同难度不同问题组成，但不能同时参加。

三、AIME备考策略

1. 贴线晋级策略

如果你的AMC10/12成绩刚刚超过晋级线，备考AIME时应重点确保前10题不失分。争取在这10题中至少获得9分以上，这样的成绩对于申请TOP前30的学校将是一个有力的加分项。

2. AMC10高分晋级策略

对于在AMC10中取得较高分数的同学，需要进一步拓宽知识面。针对AIME的部分题目，进行提前的适应和深入学习至关重要。补充相应的题库进行练习是一个明智的选择。

3. AMC12高分晋级策略

对于在AMC12中取得高分且对自己数学水平充满信心的同学，需要在确保前10题正确率的同时，对最后5道难题进行专项学习。

AIME不仅是对学生数学能力的考验，也是对其逻辑思维和问题解决能力的全面挑战。通过系统的备考和策略性学习，学生能够在AIME中展示出色的数学才能，为名校申请和未来学术发展奠定坚实基础。无论是巩固基础知识还是挑战高难度题目，AIME都是提升数学能力的绝佳机会。

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2025年AIME数学竞赛的竞赛安排是？必考知识点有哪些？

美国数学邀请赛（AIME），全称为American Invitational Mathematics Examination，是美国数学竞赛体系中关键的高级别赛事之一。AIME是决定能否晋级USAJMO（美国初中数学奥林匹克）和USAMO（美国数学奥林匹克）的重要因素。目前，AIME是国内学生可以参加的美国数学竞赛的最高级别。

一、AIME竞赛的竞赛安排

AIME采用邀请制，能否被邀请参加AIME的关键在于AMC10或AMC12的成绩。获得AIME邀请不仅标志着学生的数学才能得到了认可，也意味着他们获得了顶尖名校的关注。

1.时间安排

考试时间：2025年2月

AIME I卷：2月6日

AIME II卷：2月12日

AIME设有两个版本：AIME 1和AIME 2。中国地区的学生默认参加AIME 1，其他地区的学生可以选择其中任意一场参赛。

2.考试详情

题型设置：考试包括15道填空题，答案需在000至999的数字范围内给出，提供中英双语。

计分方式：满分为15分，每答对一题得1分，答错或不答均不得分。

3.报名流程

作为邀请赛，AIME无需考生主动报名。受邀学生将收到官方的电子邮件通知，只需在指定时间内确认参赛即可。

二、AIME竞赛必考知识点

AIME竞赛的知识点范围更广，深度更高。主要考察以下几个领域：

三角函数：包括三角函数与代数式拆项、牛顿恒等式、三角形及二次函数的等价化简等。

数列部分：涉及一阶差分数列的构造、数列与同余、递推数列与概率递归、构造型数列及数列与不等式等。

几何领域：涉及复杂的几何模型、单圆/双圆、几何与代数运算的结合以及几何中的最值问题求解等。

相比AMC10/12，AIME的考点范围虽小，但深度要求更高。AIME前五题的难度就相当于AMC12的压轴题，后续题目的难度更高。

三、AIME考试奖项设置

AIME的奖项根据学生的得分排名来确定，包括：

金奖：授予成绩排名前5%的参赛者。

银奖：授予成绩排名前10%的参赛者。

铜奖：授予成绩排名前15%的参赛者。

四、AIME竞赛的含金量

1. 选拔性质

AIME是邀请制的数学竞赛，只有在AMC10和AMC12中表现优异的学生才会被邀请。这种选拔机制表明参与者已经是在数学领域表现突出的学生。

2. 难度水平

AIME的难度高于AMC10和AMC12，要求学生具备创新思维和解决非传统问题的能力，对学生的综合能力提出了更高的挑战。

3. 名校申请

许多顶尖大学，如斯坦福大学、麻省理工学院（MIT）、卡内基梅隆大学等，在申请表格中都专门设有填写AMC/AIME成绩的栏目。这些学校对AIME成绩给予了高度的认可和重视。

综上所述，AIME数学竞赛不仅是展示数学能力的舞台，也是通往顶尖名校的重要途径。通过AIME，学生可以提升自己的数学水平，并为未来的学术和职业发展铺平道路。希望每位参赛者都能在比赛中发挥出色，取得优异成绩。

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2005年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2005年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

游戏使用一副 $n$ 不同的牌，其中 $n$ 是整数，并且 $n \geq 6.$ 从牌组中可以抽出的 6 张牌的可能组合数是可以抽出的 3 张牌的可能组合数的 6 倍。求 $n.$

问题 2

一家酒店为三位客人准备了早餐。每份早餐应该包括三种面包卷，坚果卷、奶酪卷和水果卷各一份。准备者将九个面包卷一一包好，一旦包好，这些面包卷就无法区分了。然后，她随机将三个面包卷放在一个袋子里，送给每位客人。假设每位客人得到每种面包卷的概率为 $\frac mn,$ 其中 $百万$ 和 $n$ 是互质整数，求 $m+n.$

问题 3

一个无穷几何级数的和为 2005。对原级数的每个项取平方后得到一个新级数，其和为原级数的 10 倍。原级数的公比为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质整数。求 $m+n.$

问题4

找出至少能被其中一个整除的正整数的数量 $10^{10},15^7,18^{11}.$

问题5

确定有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得 $\log_a b + 6\log_b a=5, 2 \leq a \leq 2005,$ 和 $2 \leq b \leq 2005.$

问题 6

一叠卡片中的卡片从上到下按 $2n$ 从 1 到 1 的顺序连续编号。移除最上面的卡片，按顺序排列，形成一堆。剩下的卡片形成一堆。然后交替从堆和的顶部取卡片重新堆叠。在此过程中，卡片编号成为新一叠的底部卡片，卡片编号 1 位于此卡片之上，依此类推，直到堆和都用完。如果在重新堆叠过程之后，每一堆中至少有一张卡片占据了与原始堆中相同的位置，则该堆被称为神奇堆。求出神奇堆中卡片编号 131 保留其原始位置的卡片数量。 $2n$ $n$ $A.$ $B.$ $B$ $A,$ $(n+1)$ $A$ $B$

问题 7

让 $x=\frac{4}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt[8]{5}+1)(\sqrt[16]{5}+1)}.$ 找到 $(x+1)^{48}.$

问题 8

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 是外切圆，并且它们都是圆的内切圆和的 $C_3.$ 半径分别为4和10，三个圆的圆心共线。的弦也是和的公共外切线。已知弦长为其中和为正整数，和为互质数，且不能被任何质数的平方整除，求 $C_1$ $C_2$ $C_3$ $C_1$ $C_2.$ $\frac{m\sqrt{n}}p$ $m,n,$ $p$ $百万$ $p$ $n$ $m+n+p.$

问题 9

对于所有实数来说，有多少 $n$ 个小于或等于 1000 的正整数为真？ $(\sin t + i \cos t)^n = \sin nt + i \cos nt$ $t$

问题 10

已知 $O$ 是正八面体，即 $加元$ 以面心为顶点的立方体 $O,$ ，且的体积 $O$ 与的体积之比为其中 $加元$ 和为互质整数，求 $\frac mn,$ $百万$ $n$ $m+n.$

问题11

设 $百万$ 是一个正整数，设是一个实 $a_0, a_1,\ldots,a_m$ 数序列， $a_0 = 37, a_1 = 72, a_m = 0,$ 且 $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac 3{a_k}$ 对于 $k = 1,2,\ldots, m-1.$ $百万$

问题 12

平方 $ABCD$ 有中心 $O, AB=900, E$ ，并且 $F$ 在上，且在和和 $AB$ 之间。假设和为正整数，且不能被任何素数的平方整除，求 $AE<BF$ $E$ $A$ $F, m\angle EOF =45^\circ,$ $EF=400.$ $BF=p+q\sqrt{r},$ $p,q,$ $r$ $r$ $p+q+r.$

问题 13

设 $P(x)$ 是满足且的整数系数多项式 $P(17)=10$ ， $P(24)=17.$ 则 $P(n)=n+3$ 有两个不同的整数解 $n_1$ ， $n_2,$ 求乘积 $n_1\cdot n_2.$

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2005年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2005年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

$加元$ 六个全等圆组成一个环，每个圆都与两个相邻的圆外切。所有圆都与半径为 30 的圆内切。设是环内六个圆外的 $K$ 区域的面积。求 $加元$ $\lfloor K \rfloor.$

问题 2

对于每个正整数， $k,$ 让 $S_k$ 表示整数的递增算术序列，其首项为 1，其公差为 $k.$ 例如， $S_3$ 序列是多少 $1,4,7,10,\ldots.$ 个值包含项 2005？ $k$ $S_k$

问题 3

有多少个正整数恰好有三个真因数（不包括其本身的正整数因数），并且每个真因数都小于 50？

问题4

一支游行乐队的指挥希望将乐队成员排成一个包括所有成员的队形，并且没有空缺。如果将他们排成方阵，则剩余 5 名成员。指挥意识到，如果他将乐队排成行数比列数多 7 的队形，则没有剩余成员。求出这支乐队最多可以容纳多少成员。

问题5

罗伯特有 4 枚无法区分的金币和 4 枚无法区分的银币。每枚硬币的一面都雕刻有一面的图案，而另一面则没有。他想将桌上的 8 枚硬币堆成一摞，使相邻的两枚硬币不会面对面。求出 8 枚硬币可能出现的可区分排列方式的数量。

问题 6

设 $P$ 是非实根的乘积，则 $x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$ 发现 $\lfloor P\rfloor.$

问题 7

在四边形 $ABCD, BC=8, CD=12, AD=10,$ 和中，假设 $m\angle A= m\angle B = 60^\circ.$ 和为正整数，求 $AB = p + \sqrt{q},$ $p$ $q$ $p+q.$

问题 8

该方程 $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ 有三个实根。已知它们的和为 $\frac mn$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数，求 $m+n.$

问题 9

将 27 个单位立方体的四个面涂成橙色，使两个未涂漆的面共用一个边。然后将 27 个立方体随机排列成一个 $3\乘以 3 \乘以 3$ 立方体。假设大立方体的整个表面都是橙色的概率为 $\frac{p^a}{q^br^c},$ 其中 $p,q,$ 和 $r$ 是不同的素数，和 $a,b,$ 是 $c$ 正整数，求 $a+b+c+p+q+r.$

问题 10

三角形 $ABC$ 位于笛卡尔平面，面积为 70。的坐标 $B$ 和 $加元$ 分别为 $(12,19)$ 和 $(23,20),$ ，的坐标为 $A$ 包含 $(p,q).$ 中线到边的直线的 $BC$$ 斜率 $-5.$ 为 $p+q.$

问题11

一个直径为的半圆包含在一个边长为 8 的正方形中。已知 $d$ 的最大值，求 $d$ $m-\sqrt{n},$ $m+n.$

问题 12

对于正整数， $n,$ 设表示包括1和的 $\tau(n)$ 正整数因数的个数。例如，和定义为设表示奇数正整数的个数，设表示偶数正整数的个数。查找 $n,$ $n.$ $\tau(1)=1$ $\tau(6) =4.$ $S(n)$ $S(n)=\tau(1)+ \tau(2) + \cdots + \tau(n).$ $a$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $b$ $n \leq 2005$ $S(n)$ $|ab|.$

问题 13

粒子按照以下规则在笛卡尔平面内移动：

从任何格点开始， $(a,b),$ 粒子只能移动到 $(a+1,b),(a,b+1),$ 或 $(a+1,b+1).$
粒子的路径上没有直角转弯。

粒子从 $(0,0)$ 到可以采取多少条不同的路径 $(5,5)$ ？

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2006年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2006年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在凸六边形中 $ABCDEF$ ，六条边全等， $\角度A$ 且 $\角度D$ 为直角，且 $\角度 B, \角度 C, \角度 E,$ 和 $\角度F$ 全等。六边形区域的面积 $2116(\sqrt{2}+1).$ 为 $AB$ 。

问题 2

面积为正的三角形的边长分别为 $\log_{10} 12$ 、 $\log_{10} 75$ 和 $\log_{10} n$ ，其中 $n$ 为正整数。求的可能值的数量 $n$ 。

问题 3

设 $P$ 为前 100 个正奇数的乘积。找出能被整除的 $k$ 最大整数。 $P$ $3^k$

问题4

设是的 $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{12})$ 排列， $(1,2,3,\ldots,12)$

$a_1>a_2>a_3>a_4>a_5>a_6 \mathrm{\ 和 \ } a_6<a_7<a_8<a_9<a_{10><a_{11><a_{12}.$

这种排列的一个例子是 $(6,5,4,3,2,1,7,8,9,10,11,12).$ 查找此类排列的数量。

问题5

掷一个六面骰子，骰面数为 $1、2、3、4、5 美元$ ，且 $6$ ，掷出正面的概率 $F$ 大于 $\frac{1}{6}$ ，掷出反面的概率小于 $\frac{1}{6}$ ，掷出其他四个面中的任意一个的概率为 $\frac{1}{6}$ ，反面数字之和为 7。掷两个这样的骰子，掷出和为 7 的概率为 $\frac{47}{288}$ 。已知掷出正面的概率 $F$ 为 $\frac{m}{n},$ 其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数，求 $m+n.$

问题 6

正方形 $ABCD$ 的边长为 1。点 $E$ 和分别 $F$ 位于 $\overline{BC}$ 和上 $\overline{CD},$ ，所以 $\triangle AEF$ 是等边的。一个正方形的顶点为， $B$ 其边与的边平行 $ABCD$ ，顶点位于 $\overline{AE}.$ 这个小正方形的边长为， $\frac{a-\sqrt{b}}{c},$ 其中 $a,b,$ 和 $c$ 为正整数， $b$ 不能被任何素数的平方整除。求 $a+b+c.$

问题 7

找出有序正整数对的数量， $(a,b)$ 使得 $a+b=1000$ 和都 $a$ 没有 $b$ 零位。

问题 8

用彩色纸做成的全等等边三角形数量无限。每个三角形都是纯色，纸张的两面颜色相同。用四个这样的纸三角形可以构成一个大等边三角形。如果无法通过平移、旋转和/或反射将一个大三角形放在另一个大三角形上，使得它们对应的小三角形颜色相同，则认为两个大三角形是可区分的。

假设有六种不同颜色的三角形可供选择，可以形成多少个可区分的大等边三角形？ $[asy] size(50); 对 A,B; A=(0,0); B=(2,0); 对 C=旋转(60,A)*B; 对 D, E, F; D = (1,0); E=旋转(60,A)*D; F=旋转(60,C)*E; 绘制(C--A--B--循环); 绘制(D--E--F--循环); [/asy]$

问题 9

圆 $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2,$ 和 $\mathcal{C}_3$ 圆心分别位于 (0,0)、(12,0) 和 (24,0)，半径分别为 1、2 和 4。线是和的 $t_1$ 共同内切线，斜率为正，线是和的共同内切线，斜率为负。假设线和相交于和，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除，求 $\mathcal{C}_1$ $\mathcal{C}_2$ $t_2$ $\mathcal{C}_2$ $\mathcal{C}_3$ $t_1$ $t_2$ $(x,y),$ $x=pq\sqrt{r},$ $p, q,$ $r$ $r$ $p+q+r.$

问题 10

七支球队参加一场足球锦标赛，每支球队与其他球队只交手一次。没有平局，每支球队都有机会 $50\%$ 赢得每场比赛，比赛结果是独立的。在每场比赛中，获胜者获得一分，失败者获得 0 分。总分累计以决定球队的排名。在锦标赛的第一场比赛中，球队 $A$ 击败球队，球队得分高于球队的 $B.$ 概率为，其中和是互质正整数。求 $A$ $B$ $m/n,$ $百万$ $n$ $m+n.$

问题11

序列定义如下 $a_1=a_2=a_3=1，$ ，对于所有正整数， $n, a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n.$ 假设 $a_{28}=6090307,a_{29}=11201821,$ 和求除以 1000 的 $a_{30}=20603361,$ 余数。 $\sum^{28}_{k=1} a_k$

问题 12

等边内 $\三角形ABC$ 接于半径为 2 的圆。延伸 $\overline{AB}$ 到点 $B$ ， $D$ 使得 $AD=13,$ 和延伸 $\overline{AC}$ 到点 $加元$ ， $E$ 使得 $AE = 11.$ 通过 $D,$ 画一条 $l_1$ 与和平行的线 $\overline{AE},$ 和通过画一条与平行的 $E,$ 线让和为交点让和为圆上与和共线且不同于的点鉴于的面积可以表示为形式其中和为正整数，和为互质，并且不能被任何素数的平方整除，求 $l_2$ $\overline{AD}.$ $F$ $l_1$ $l_2.$ $黄金$ $A$ $F$ $A.$ $\triangle CBG$ $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ $p, q,$ $r$ $p$ $r$ $q$ $p+q+r.$

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2006年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2006年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在四边形中 $ABCD,\角度B$ ，角为直角，对角线 $\overline{AC}$ 垂直于 $\overline{CD}, AB=18, BC=21,$ 且 $CD=14.$ 求周长 $ABCD.$

问题 2

设集合 $\mathcal{A}$ 为的 90 个元素子集 $\{1,2,3,\ldots,100\},$ ，设 $S$ 是元素的总和， $\mathcal{A}.$ 求可能值的数量 $S.$

问题 3

找到最小的正整数，使得当删除其最左边的数字时，得到的整数等于 $1/29$ 原始整数。

问题4

设 $N$ 是乘积小数表示形式右边连续0的个数，求除以1000的 $1!2!3!4!\cdots99!100!.$ 余数。 $N$

问题5

该数字 $\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$ 可以写成 $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5},$ 其中 $a,b,$ 和 $c$ 为正整数。查找 $abc.$

问题 6

设 $\mathcal{S}$ 是可以表示为循环小数的实数集，形式为 $0.\上划线{abc}$ 其中 $a,b,c$ 是不同的数字。求元素之和 $\mathcal{S}.$

问题 7

如图所示，在一组等距平行线上画一个角。阴影区域面积 $加元$ 与阴影区域面积之比 $B$ 为 $\frac{11}{5}$ 。求阴影区域面积 $D$ 与阴影区域面积之比 $A$ 。

$[asy] size(6cm); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); for(int i=0; i<4; i=i+1) { fill((2*i,0)--(2*i+1,0)--(2*i+1,6)--(2*i,6)--循环，中灰色); } pair A=(1/3,4), B=A+7.5*dir(-17), C=A+7*dir(10); draw(B--A--C); fill((7.3,0)--(7.8,0)--(7.8,6)--(7.3,6)--循环，白色); clip(B--A--C--循环); for(int i=0; i<9; i=i+1) { draw((i,1)--(i,6)); } 标签("$\mathcal{A}$", A+0.2*dir(-17), S);标签("$\mathcal{B}$", A+2.3*dir(-17), S);标签("$\mathcal{C}$", A+4.4*dir(-17), S);标签("$\mathcal{D}$", A+6.5*dir(-17), S); [/asy]$

问题 8

六边形 $ABCDEF$ 被分成五个菱形， $P、Q、R、S,$ 和 $T$ ，如图所示。菱形 $P、Q、R,$ 和 $S$ 全等，每个菱形的面积 $\sqrt{2006}.$ 为设 $K$ 是菱形的面积 $T$ 。假设为 $K$ 正整数，求出的可能值的数量 $K.$

$[asy] // TheMathGuyd 大小(8cm); 对 A=(0,0), B=(4.2,0), C=(5.85,-1.6), D=(4.2,-3.2), EE=(0,-3.2), F=(-1.65,-1.6), G=(0.45,-1.6), H=(3.75,-1.6), I=(2.1,0), J=(2.1,-3.2), K=(2.1,-1.6); 绘制(A--B--C--D--EE--F--循环); 绘制(F--G--(2.1,0)); 绘制(C--H--(2.1,0)); 绘制(G--(2.1,-3.2)); 绘制(H--(2.1,-3.2));标签("$\mathcal{T}$",(2.1,-1.6));标签("$\mathcal{P}$",(0,-1),NE);标签("$\mathcal{Q}$",(4.2,-1),NW);标签("$\mathcal{R}$",(0,-2.2),SE);标签("$\mathcal{S}$",(4.2,-2.2),SW); [/asy]$

问题 9

该序列 $a_1, a_2, \ldots$ 是具有 $a_1=a$ 和公比的几何序列 $r,$ ，其中 $a$ 和 $r$ 为正整数。假设 $\log_8 a_1+\log_8 a_2+\cdots+\log_8 a_{12} = 2006,$ 求出可能的有序对的数量 $(a,r).$

问题 10

八个直径为 1 的圆如图所示排列在坐标平面的第一象限中。设区域 $\mathcal{R}$ 为八个圆形区域的并集。 $l,$ 斜率为 3 的线将分成 $\mathcal{R}$ 两个面积相等的区域。线 $l$ 的方程可以表示为如下形式 $ax=by+c,$ 其中 $a,b,$ 和 $c$ 是最大公约数为 1 的正整数。求 $a^2+b^2+c^2.$

$[asy] unitize(0.50cm); draw((0,-1)--(0,6)); draw((-1,0)--(6,0)); draw(shift(1,1)*unitcircle); draw(shift(1,3)*unitcircle); draw(shift(1,5)*unitcircle); draw(shift(3,1)*unitcircle); draw(shift(3,3)*unitcircle); draw(shift(3,5)*unitcircle); draw(shift(5,1)*unitcircle); draw(shift(5,3)*unitcircle); [/asy]$

问题11

一组 8 个立方体由一个边长为 $k$ 整数的立方体组成 $k, 1 \le k \le 8.$ ，使用所有 8 个立方体按照以下规则建造一座塔：

任何立方体都可以成为塔底的立方体。
边长为的立方体顶部的立方体的边 $k$ 长必定最大为 $k+2.$

设 $T$ 可以建造的不同塔的数量为。除以 $T$ 1000 后余数是多少？

问题 12

求出以度为单位 $x$ 的值之和， $\cos^3 3x+ \cos^3 5x = 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$ $x$ $100< x< 200.$

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2007年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2007年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

一个数学组织正在生产一组纪念车牌。每个车牌包含从 AIME 中的四个字母和中的四个数字中选择的五个字符序列 $2007$ 。任何字符在序列中出现的次数都不得超过在 AIME 中的四个字母或中的四个数字中出现的次数 $2007$ 。一组车牌中每个可能的序列都恰好出现一次，包含 N 个车牌。求 N/10。

问题 2

求有序三元组的数量， $(a,b,c)$ 其中 $a$ ，， $b$ 和 $c$ 为正整数， $a$ 是的因数 $b$ ， $a$ 是的因数 $c$ ，且 $a+b+c=100$ 。

问题 3

正方形的 $ABCD$ 边长为 $13$ ，且点 $E$ 和 $F$ 位于正方形的外部，且 $BE=DF=5$ 和 $AE=CF=12$ 。求 $EF^{2}$ 。

2007 艾梅 II-3.png

问题4

工厂里的工人生产小部件和 whoosits。对于每种产品，所有工人的生产时间都是恒定且相同的，但两种产品的生产时间不一定相等。在一小时内， $100$ 工人可以生产 $300$ 小部件和 $200$ whoosits。在两个小时内， $60$ 工人可以生产 $240$ 小部件和 $300$ whoosits。在三个小时内， $50$ 工人可以生产 $150$ 小部件和 $百万$ whoosits。查找 $百万$ 。

问题5

方程的图形画在方格纸上，每个方格代表每个方向的一个单位。方格纸上有多少个方格的内部完全位于图形下方且完全位于第一象限？ $9x+223y=2007$ $1$ $1$

问题 6

如果一个整数的十进制表示满足，则称其为奇偶单调整数，如果，则为偶数。有多少个四位数的奇偶单调整数？ $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{k}$ $a_{i} <a_{i+1}$ $a_{i}$ $a_{i}>a_{i+1}$ $a_{i}$

问题 7

给定一个实数， $x,$ 让 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于的最大整数，对于 $x.$ 某个整数，恰好 $k,$ 存在 $70$ 正整数，并且对于所有满足 $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{70}$ $k=\lfloor\sqrt[3]{n_{1}}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_{2}}\rfloor = \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor$ $k$ $n_{i}$ $我$ $1 \leq i \leq 70.$

$\frac{n_{i}}{k}$ 找到的最大值 $1\leq 等于 \leq 70.$

问题 8

一张长方形的纸的尺寸为 4 个单位乘以 5 个单位。纸的边缘画有几条平行线。由这些线的交点确定的矩形称为基本矩形，如果

（i）矩形的四条边都是画出的线段，并且

(ii) 所画线段均不位于矩形内。

假设所有画出的线段的总长度恰好为 2007 个单位，设 $N$ 为确定的基本矩形的最大可能数量。求除以 1000 时的余数。 $N$

问题 9

矩形 $ABCD$ 具有和 $AB=63$ 点 $BC=448.$ 和 $E$ 分别 $F$ 位于 $AD$ 和上 $BC$$ ，使得 $AE=CF=84.$ 三角形的内切圆与点相切， $BEF$ 三角形的内切圆与点相切查找 $EF$ $P,$ $DEF$ $EF$ $Q.$ $PQ.$

问题 10

设 $S$ 为有六个元素的集合。设为的所有子集的集合，的子集和不一定不同，是从中独立随机选择的。包含在或中的一个中的概率为其中、和为正整数，为素数，且和互为素数。求（集合是中所有不在中的元素的集合） $\mathcal{P}$ $S.$ $A$ $B$ $S$ $\mathcal{P}$ $B$ $A$ $南非$ $\frac{m}{n^{r}},$ $百万$ $n$ $r$ $n$ $百万$ $n$ $m+n+r.$ $南非$ $S$ $A.$

问题11

两个长度相同但直径不同的长圆柱管平行放置在平面上。较大的管子的半径为，沿平面向半径为的小管子滚动。它在小管子上滚动，并继续沿平面滚动，直到它停止在圆周上的同一点上，此时已完成一整圈。如果小管子不动，滚动时没有滑动，则大管子最终会与起始位置相距一段距离。该距离可以表示为其中和为整数，不能被任何素数的平方整除。求 $72$ $24$ $x$ $x$ $a\pi+b\sqrt{c},$ $一个，$ $b,$ $c$ $c$ $a+b+c.$

问题 12

递增的几何序列 $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$ 完全由的整数 $3.$ 幂组成，假设

$\sum_{n=0}^{7}\log_{3}(x_{n}) = 308$ 和 $56 \leq \log_{3}\left ( \sum_{n=0}^{7}x_{n}\right ) \leq 57,$

寻找 $\log_{3}(x_{14}).$

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2008年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设 $N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 + 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2$ ，其中加法和减法交替进行。求 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 2

鲁道夫以恒定的速度骑行，每骑行一英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗以恒定的速度骑行，速度是鲁道夫的四分之三，但詹妮弗每骑行两英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗和鲁道夫同时开始骑行，并 $50$ 同时到达 - 英里标记。他们花了多少分钟？

问题 3

一块长方体奶酪，尺寸为 $10$ 10 x $13$ 10 x $14$ 10 cm。将奶酪切成 10 片。每片宽度为 $1$ 1 cm，平行于奶酪的一面。各个切片不一定彼此平行。切下 10 片后，剩余奶酪块的最大体积（立方厘米）是多少？

问题4

存在 $r$ 唯一的非负整数 $n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ 和 $r$ 整数 $a_k$ （ $1\le k\le r$ ），其中每个 $a_k$ 都是 $1$ 或， $- 1$ 并且 $a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008.$ 查找 $n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ 。

问题5

在的梯形中，设 $ABCD$ 和。设、和和分别为和的中点。求长度。 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$ $BC 美元 = 1000 美元$ $AD = 2008$ $\角度 A = 37^\circ$ $\角度 D = 53^\circ$ $M$ $N$ $\overline{BC}$ $\overline{AD}$ $百万$

问题 6

该序列 $\{a_n\}$ 由 $a_0 = 1,a_1 = 1, \text{ 且 } a_n = a_{n - 1} + \frac {a_{n - 1}^2}{a_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.$ “ 查找” $\{b_n\}$ 定义。 $b_0 = 1,b_1 = 3, \text{ 且 } b_n = b_{n - 1} + \frac {b_{n - 1}^2}{b_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.$ $\frac {b_{32}}{a_{32}}$

问题 7

设 $r$ 、 $s$ 和 $t$ 分别为方程的三个根 $8x^3 + 1001x + 2008 = 0.$ 求 $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$ 。

问题 8

令。求出使得为整数的 $a = \pi/2008$ 最小正整数。 $n$ $2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) + \cos(9a)\sin(3a) + \cdots + \cos(n^2a)\sin(呐）]$

问题 9

一个粒子位于处的坐标平面上 $(5,0)$ 。定义粒子的移动 $\pi/4$ 为绕原点逆时针旋转弧度，然后沿 $10$ 正方向平移单位 $x$ 。假设粒子 $150$ 移动后的位置为 $(p,q)$ ，找出小于或等于的最大整数 $|p| + |q|$ 。

问题 10

下图显示了一个 $4\times4$ 矩形点阵列，每个点都 $1$ 与其最近的邻居相距一个单位。

$[asy] unitize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i，j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j)); [/asy]$

将增长路径定义为数组中不同点的序列，其特性是序列中连续点之间的距离严格增加。设 $百万$ 为增长路径中可能的最大点数，设 $r$ 为恰好由点组成的增长路径的数量 $百万$ 。求 $先生$ 。

问题11

在三角形中 $ABC$ ， $AB = AC = 100$ ，和 $BC 元 = 56 美元$ 。圆的 $P$ 半径为，并与 $16$ 相切。圆与圆相切，并与相切。圆上无一点位于之外。圆的半径可以表示为，其中，和为正整数，且为不同素数的乘积。求。 $\overline{AC}$ $\overline{BC}$ $Q$ $P$ $\overline{AB}$ $\overline{BC}$ $Q$ $\bigtriangleup\overline{ABC}$ $Q$ $m-n\sqrt{k}$ $百万$ $n$ $k$ $k$ $m + nk$

问题 12

有两根可区分的旗杆，有面 $19$ 旗帜，其中面 $10$ 是相同的蓝旗，面 $9$ 是相同的绿旗。设为使用所有旗帜的可区分布置的数量，其中每根旗杆上至少有一面旗帜，并且两根旗杆上没有两面绿旗相邻。当除以 $N$ 时，求余数。 $N$ $1000$

问题 13

复平面中以原点为中心的正六边形具有相隔一个单位的相对边对。其中一对边与虚轴平行。设 $R$ 为六边形外部的区域，设 $S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$ 。则的面积 $S$ 形式为 $a\pi + \sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a + b$ 。

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2008年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在参加学校聚会的学生中， $60\%$ 有的学生是女生， $40\%$ 有的学生喜欢跳舞。当这些学生中又加入了 $20$ 更多喜欢跳舞的男生后，聚会就变成了 $58\%$ 女生聚会。现在聚会上有多少学生喜欢跳舞？

问题 2

正方形 $艾美$ 的边长为长度 $10$ 单位。等腰三角形的 $创业板$ 底边为，三角形和正方形 $EM$ 的公共面积为平方单位。求中高的长度为。 $创业板$ $艾美$ $80$ $EM$ $\triangle 宝石$

问题 3

艾德和苏以相等且恒定的速度骑自行车。同样，他们以相等且恒定的速度慢跑，并以相等且恒定的速度游泳。艾德 $74$ 在骑自行车几个 $2$ 小时、慢跑几个 $3$ 小时和游泳几个 $4$ 小时后才走了几公里，而苏 $91$ 在慢跑几个 $2$ 小时、游泳几个 $3$ 小时和骑自行车几个 $4$ 小时后才走了几公里。他们的骑自行车、慢跑和游泳速度都是每小时公里的整数倍。求出艾德骑自行车、慢跑和游泳速度的平方和。

问题4

存在唯一的正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2 + 84x + 2008 = y^2$ 。求 $x + y$ 。

问题5

一个直圆锥的底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 。该圆锥侧放在平坦的桌面上。当圆锥在桌面上滚动而不滑动时，圆锥底面与桌面的交点画出以顶点与桌面接触点为中心的圆弧。圆锥在完成 $17$ 旋转后首先回到桌面上的原始位置。的值 $h/r$ 可以写成的形式 $m\sqrt {n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数， $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m + n$ 。

问题 6

一个三角形数字数组，第一行由按递增顺序排列的奇数组成 $1,3,5,\ldots,99$ 。第一行下方的每一行都比其上方的行少一个条目，而底部一行只有一个条目。顶行之后的任何一行中的每个条目都等于其上一行中对角线上方两个条目的总和。数组中有多少个条目是的倍数 $67$ ？

问题 7

设 $S_i$ 为所有整数的集合， $n$ 满足 $100i\leq n < 100(i + 1)$ 。例如， $S_4$ 是集合 ${400,401,402,\ldots,499}$ 。有多少个集合 $S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$ 不包含完全平方数？

问题 8

找到正整数， $n$ 使得

$\arctan\frac {1}{3} + \arctan\frac {1}{4} + \arctan\frac {1}{5} + \arctan\frac {1}{n} = \frac {\圆周率}{4}。$

问题 9

十个相同的板条箱，每个尺寸为 $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft。第一个板条箱平放在地板上。其余九个板条箱依次平放在前一个板条箱的顶部，每个板条箱的方向都是随机选择的。设 $\frac {m}{n}$ 为板条箱堆正好高 ft 的概率 $41$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $百万$ 。

问题 10

设 $ABCD$ 是等腰梯形， $\overline{AD}||\overline{BC}$ 其长底角 $\overline{AD}$ 为 $\dfrac{\pi}{3}$ 。对角线长度为 $10\sqrt {21}$ ，点为，与顶点和 $E$ 的距离分别为和。设是从到的高的底边。距离可以表示为形式，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除。求。 $10\sqrt {7}$ $30\sqrt {7}$ $A$ $D$ $F$ $加元$ $\overline{AD}$ $EF$ $m\sqrt {n}$ $百万$ $n$ $n$ $m + n$

问题11

考虑完全由 $A$ 和组成的序列 $B$ ，其特性是连续的每个 $A$ 序列长度为偶数，而连续的每个序列 $B$ 长度为奇数。此类序列的示例有 $AA$ 、 $B$ 和， $AABAA$ 而 $BBAB$ 不是此类序列。有多少个此类序列的长度为 14？

问题 12

在一条长而直的单向单车道公路上，所有车辆都以相同的速度行驶，并遵守安全规则：前车尾部到后车尾部的距离，每以 15 公里/小时的速度或其分数表示，正好是一辆车的长度（因此，以 52 公里/小时行驶的汽车的车头将落后于前车车头四辆车的长度。）路边的光电眼会计算一小时内通过的汽车数量。假设每辆车长 4 米，汽车可以以任何速度行驶，设 $M$ 为一小时内通过光电眼的最大整数汽车数。求当 $M$ 除以 10 时的商。

问题 13

让 $p(x,y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_3x^2 + a_4xy + a_5y^2 + a_6x^3 + a_7x^2y + a_8xy^2 + a_9y^3$ 。

假设 $p(0,0) = p(1,0) = p( - 1,0) = p(0,1) = p(0, - 1) = p(1,1) = p(1, - 1) = p(2,2) = 0$ 。

$\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right)$ 对于 $p\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right) = 0$ 所有这样的多项式，存在一个点，其中 $a$ ，， $b$ 和 $c$ 为正整数， $a$ 和 $c$ 互质，且 $c> 1$ 。求 $a + b + c$ 。

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