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2005年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2005年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

加元六个全等圆组成一个环，每个圆都与两个相邻的圆外切。所有圆都与半径为 30 的圆内切。设是环内六个圆外的$K$区域的面积。求加元$\lfloor K \rfloor.$

问题 2

对于每个正整数，$k,$让$S_k$表示整数的递增算术序列，其首项为 1，其公差为$k.$例如，$S_3$序列是多少$1,4,7,10,\ldots.$个值包含项 2005？ $k$$S_k$

问题 3

有多少个正整数恰好有三个真因数（不包括其本身的正整数因数），并且每个真因数都小于 50？

问题4

一支游行乐队的指挥希望将乐队成员排成一个包括所有成员的队形，并且没有空缺。如果将他们排成方阵，则剩余 5 名成员。指挥意识到，如果他将乐队排成行数比列数多 7 的队形，则没有剩余成员。求出这支乐队最多可以容纳多少成员。

问题5

罗伯特有 4 枚无法区分的金币和 4 枚无法区分的银币。每枚硬币的一面都雕刻有一面的图案，而另一面则没有。他想将桌上的 8 枚硬币堆成一摞，使相邻的两枚硬币不会面对面。求出 8 枚硬币可能出现的可区分排列方式的数量。

问题 6

设$P$是非实根的乘积，则$x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$发现$\lfloor P\rfloor.$

问题 7

在四边形$ABCD, BC=8, CD=12, AD=10,$和中，假设$m\angle A= m\angle B = 60^\circ.$和为正整数，求$AB = p + \sqrt{q},$$p$$q$$p+q.$

问题 8

该方程$2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$有三个实根。已知它们的和为$\frac mn$其中$百万$和$n$为互质正整数，求$m+n.$

问题 9

将 27 个单位立方体的四个面涂成橙色，使两个未涂漆的面共用一个边。然后将 27 个立方体随机排列成一个$3\乘以 3 \乘以 3$立方体。假设大立方体的整个表面都是橙色的概率为$\frac{p^a}{q^br^c},$其中$p,q,$和$r$是不同的素数， 和$a,b,$是$c$正整数，求$a+b+c+p+q+r.$

问题 10

三角形$ABC$位于笛卡尔平面，面积为 70。的坐标$B$和加元分别为$(12,19)$和$(23,20),$，的坐标为$A$包含$(p,q).$中线到边的直线的BC$斜率$-5.$为$p+q.$

问题11

一个直径为的半圆包含在一个边长为 8 的正方形中。已知$d$的最大值，求$d$$m-\sqrt{n},$$m+n.$

问题 12

对于正整数，$n,$设表示包括1和的$\tau(n)$正整数因数的个数。例如，和定义为设表示奇数正整数的个数，设表示偶数正整数的个数。查找$n,$$n.$$\tau(1)=1$$\tau(6) =4.$$S(n)$$S(n)=\tau(1)+ \tau(2) + \cdots + \tau(n).$$a$$n \leq 2005$$S(n)$$b$$n \leq 2005$$S(n)$$|ab|.$

问题 13

粒子按照以下规则在笛卡尔平面内移动：

  1. 从任何格点开始，$(a,b),$粒子只能移动到$(a+1,b),(a,b+1),$或$(a+1,b+1).$
  2. 粒子的路径上没有直角转弯。

粒子从$(0,0)$到可以采取多少条不同的路径$(5,5)$？

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2025赛季AIME数学竞赛时间？AIME竞赛核心考点与备考方法是？

美国数学邀请赛（AIME）是美国数学协会（MAA）主办的数学竞赛系列中的重要一环，旨在进一步考察高中生的数学能力。AIME是AMC10/12的后续竞赛，通常被视为进入美国数学奥林匹克（USAMO/USAJMO）的敲门砖。AIME以其高难度和严格的考试要求著称，是全球数学竞赛爱好者的一个重要舞台。以下是2025年AIME竞赛的详细安排和相关信息。

一、2025AIME数学竞赛时间

AIME I：2025年2月6日（美东时间）

AIME II：2025年2月12日（美东时间）

AIME I和AIME II是两个独立的考试，提供给学生不同的考试时间选择，以便于安排考试计划和备考时间。然而，学生不能同时报名参加AIME I和AIME II，他们需要根据自己的情况选择其一。

二、AIME竞赛语言与形式

语言：AIME提供中英文双语试卷，方便不同语言背景的学生参加。

形式：竞赛采用线上线下相结合的形式，学生可以选择适合自己的考试方式。

时长：考试时长为3小时，这需要学生具备良好的时间管理能力，以在规定时间内完成所有题目。

评分标准

题型：AIME考试包含15道填空题，每道题的答案为0到999之间的一个整数。

计分：每答对一题得1分，答错或不答不得分，满分为15分。考试没有负分，因此鼓励学生尽可能多地尝试作答。

AIME I 和 AIME II 的选择

选择AIME I或AIME II对于学生来说是一个重要的决定。通过阿思丹报名的学生可以选择参加任意一场，而通过中国区组委会报名的学生只能参加AIME I。根据历年考试情况，AIME I的参与人数较多，而AIME II的分数线通常较低。因此，学生可以根据自己的备考情况和考试策略选择参加哪一场。

三、AIME邀请赛核心考点与备考方法

AIME竞赛核心考点

AIME与AMC10/12的考察范围相似，但在深度和难度上都有所提升。主要考点包括：

代数：涉及方程、不等式、函数等的复杂问题，需要学生具备较强的代数推理能力。

计数：包括排列组合和概率问题，要求学生能够灵活运用组合数学的基本原理。

几何：考察平面几何和立体几何的综合应用，尤其是对几何关系的深入理解。

数论：涉及整除性、同余、质数等问题，要求学生具备扎实的数论基础。

概率：考察随机事件的分析和概率计算能力，需要学生能够从多个角度理解概率问题。

AIME竞赛难度与备考

AIME相较于AMC10/12难度更大，这不仅体现在题型的不同，更在于AIME对知识点的深入挖掘和综合运用的要求。学生需要具备：

熟练掌握多方面的知识点：如代数、几何、数论等，能够灵活运用这些知识解决复杂问题。

计算能力：尤其是在面对大量计算时的坚持和应对策略，这对于在规定时间内完成考试尤为重要。

四、AIME成绩的意义

AIME成绩在申请美国名校和数学夏令营中具有重要的参考价值。以下是AIME成绩在不同申请场景中的竞争力分析：

名校申请：

TOP50院校：AIME成绩达到7分以上在美国TOP50院校中已经具有很强的竞争力。

TOP30院校：申请这些院校通常需要AIME成绩达到8分以上。

TOP20院校：至少需要9分左右的成绩才能在申请中脱颖而出。

数学夏令营申请：如Ross、SUMaC等顶尖夏令营，通常要求AIME成绩达到9分左右，这样的成绩才能在众多申请者中脱颖而出。

AIME竞赛不仅是对学生数学能力的挑战，更是对其思维能力、应试策略和心理素质的综合考验。通过充分的准备和练习，学生能够在AIME竞赛中展现自己的数学才能，为未来的学术发展奠定坚实基础。无论是申请名校还是参与顶尖数学夏令营，AIME的成绩都将成为学生学术能力的重要证明。

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2006年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2006年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在凸六边形中$ABCDEF$，六条边全等，$\角度A$且$\角度D$为直角，且$\角度 B, \角度 C, \角度 E,$和$\角度F$全等。六边形区域的面积$2116(\sqrt{2}+1).$为$AB$。

问题 2

面积为正的三角形的边长分别为$\log_{10} 12$、$\log_{10} 75$和$\log_{10} n$，其中$n$为正整数。求 的可能值的数量$n$。

问题 3

设$P$为前 100 个正奇数的乘积。找出能被 整除的$k$最大整数。 $P$$3^k$

问题4

设是的 $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{12})$排列，$(1,2,3,\ldots,12)$

$a_1>a_2>a_3>a_4>a_5>a_6 \mathrm{\ 和 \ } a_6<a_7<a_8<a_9<a_{10><a_{11><a_{12}.$

这种排列的一个例子是$(6,5,4,3,2,1,7,8,9,10,11,12).$查找此类排列的数量。

问题5

掷一个六面骰子，骰面数为1、2、3、4、5 美元，且$6$，掷出正面的概率$F$大于$\frac{1}{6}$，掷出反面的概率小于$\frac{1}{6}$，掷出其他四个面中的任意一个的概率为$\frac{1}{6}$，反面数字之和为 7。掷两个这样的骰子，掷出和为 7 的概率为$\frac{47}{288}$。已知掷出正面的概率$F$ 为$\frac{m}{n},$其中$百万$和$n$为互质正整数，求$m+n.$

问题 6

正方形$ABCD$的边长为 1。点$E$和分别$F$位于$\overline{BC}$和上$\overline{CD},$，所以$\triangle AEF$是等边的。一个正方形的顶点为，$B$其边与的边平行$ABCD$，顶点位于$\overline{AE}.$这个小正方形的边长为，$\frac{a-\sqrt{b}}{c},$其中$a,b,$和$c$为正整数，$b$不能被任何素数的平方整除。求$a+b+c.$

问题 7

找出有序正整数对的数量，$(a,b)$使得$a+b=1000$和都$a$没有$b$零位。

问题 8

用彩色纸做成的全等等边三角形数量无限。每个三角形都是纯色，纸张的两面颜色相同。用四个这样的纸三角形可以构成一个大等边三角形。如果无法通过平移、旋转和/或反射将一个大三角形放在另一个大三角形上，使得它们对应的小三角形颜色相同，则认为两个大三角形是可区分的。

假设有六种不同颜色的三角形可供选择，可以形成多少个可区分的大等边三角形？[asy] size(50); 对 A,B; A=(0,0); B=(2,0); 对 C=旋转(60,A)*B; 对 D, E, F; D = (1,0); E=旋转(60,A)*D; F=旋转(60,C)*E; 绘制(C--A--B--循环); 绘制(D--E--F--循环); [/asy]

问题 9

圆$\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2,$和$\mathcal{C}_3$圆心分别位于 (0,0)、(12,0) 和 (24,0)，半径分别为 1、2 和 4。线是和的$t_1$共同内切线，斜率为正，线是和的共同内切线，斜率为负。假设线和相交于和，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除，求$\mathcal{C}_1$$\mathcal{C}_2$$t_2$$\mathcal{C}_2$$\mathcal{C}_3$$t_1$$t_2$$(x,y),$$x=pq\sqrt{r},$$p, q,$$r$$r$$p+q+r.$

问题 10

七支球队参加一场足球锦标赛，每支球队与其他球队只交手一次。没有平局，每支球队都有机会$50\%$赢得每场比赛，比赛结果是独立的。在每场比赛中，获胜者获得一分，失败者获得 0 分。总分累计以决定球队的排名。在锦标赛的第一场比赛中，球队$A$击败球队，球队得分高于球队的$B.$概率为，其中和是互质正整数。求$A$$B$$m/n,$$百万$$n$$m+n.$

问题11

序列定义如下$a_1=a_2=a_3=1，$，对于所有正整数，$n, a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n.$假设$a_{28}=6090307,a_{29}=11201821,$和求除以 1000 的 $a_{30}=20603361,$余数。$\sum^{28}_{k=1} a_k$

问题 12

等边内$\三角形ABC$接于半径为 2 的圆。延伸$\overline{AB}$到点$B$，$D$使得$AD=13,$和延伸$\overline{AC}$到点加元，$E$使得$AE = 11.$通过$D,$画一条$l_1$与和平行的线$\overline{AE},$和通过画一条与平行的$E,$线让和为交点让和为圆上与和共线且不同于的点鉴于的面积可以表示为形式 其中和为正整数，和 为互质，并且不能被任何素数的平方整除，求$l_2$$\overline{AD}.$$F$$l_1$$l_2.$黄金$A$$F$$A.$$\triangle CBG$$\frac{p\sqrt{q}}{r},$$p, q,$$r$$p$$r$$q$$p+q+r.$

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2006年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2006年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在四边形中$ABCD,\角度B$，角为直角，对角线$\overline{AC}$垂直于$\overline{CD}, AB=18, BC=21,$且$CD=14.$求周长$ABCD.$

问题 2

设集合$\mathcal{A}$为的 90 个元素子集$\{1,2,3,\ldots,100\},$，设$S$是元素的总和，$\mathcal{A}.$求可能值的数量$S.$

问题 3

找到最小的正整数，使得当删除其最左边的数字时，得到的整数等于$1/29$原始整数。

问题4

设$N$是乘积小数表示形式右边连续0的个数，求除以1000的 $1!2!3!4!\cdots99!100!.$余数。$N$

问题5

该数字$\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}$可以写成$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5},$其中$a,b,$和$c$为正整数。查找$abc.$

问题 6

设$\mathcal{S}$是可以表示为循环小数的实数集，形式为$0.\上划线{abc}$其中$a,b,c$是不同的数字。求元素之和$\mathcal{S}.$

问题 7

如图所示，在一组等距平行线上画一个角。阴影区域面积加元与阴影区域面积之比$B$为$\frac{11}{5}$。求阴影区域面积$D$与阴影区域面积之比$A$。

[asy] size(6cm); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); for(int i=0; i<4; i=i+1) { fill((2*i,0)--(2*i+1,0)--(2*i+1,6)--(2*i,6)--循环，中灰色); } pair A=(1/3,4), B=A+7.5*dir(-17), C=A+7*dir(10); draw(B--A--C); fill((7.3,0)--(7.8,0)--(7.8,6)--(7.3,6)--循环，白色); clip(B--A--C--循环); for(int i=0; i<9; i=i+1) { draw((i,1)--(i,6)); } 标签("$\mathcal{A}$", A+0.2*dir(-17), S);标签("$\mathcal{B}$", A+2.3*dir(-17), S);标签("$\mathcal{C}$", A+4.4*dir(-17), S);标签("$\mathcal{D}$", A+6.5*dir(-17), S); [/asy]

问题 8

六边形$ABCDEF$被分成五个菱形，$P、Q、R、S,$和$T$，如图所示。菱形$P、Q、R,$和$S$全等，每个菱形的面积$\sqrt{2006}.$为 设$K$是菱形的面积$T$。假设为$K$正整数，求出 的可能值的数量$K.$

[asy] // TheMathGuyd 大小(8cm); 对 A=(0,0), B=(4.2,0), C=(5.85,-1.6), D=(4.2,-3.2), EE=(0,-3.2), F=(-1.65,-1.6), G=(0.45,-1.6), H=(3.75,-1.6), I=(2.1,0), J=(2.1,-3.2), K=(2.1,-1.6); 绘制(A--B--C--D--EE--F--循环); 绘制(F--G--(2.1,0)); 绘制(C--H--(2.1,0)); 绘制(G--(2.1,-3.2)); 绘制(H--(2.1,-3.2));标签("$\mathcal{T}$",(2.1,-1.6));标签("$\mathcal{P}$",(0,-1),NE);标签("$\mathcal{Q}$",(4.2,-1),NW);标签("$\mathcal{R}$",(0,-2.2),SE);标签("$\mathcal{S}$",(4.2,-2.2),SW); [/asy]

问题 9

该序列$a_1, a_2, \ldots$是具有$a_1=a$和公比的几何序列$r,$，其中$a$和$r$为正整数。假设$\log_8 a_1+\log_8 a_2+\cdots+\log_8 a_{12} = 2006,$求出可能的有序对的数量$(a,r).$

问题 10

八个直径为 1 的圆如图所示排列在坐标平面的第一象限中。设区域$\mathcal{R}$为八个圆形区域的并集。$l,$斜率为 3 的线将分成$\mathcal{R}$两个面积相等的区域。线$l$的方程可以表示为如下形式$ax=by+c,$其中$a,b,$和$c$是最大公约数为 1 的正整数。求$a^2+b^2+c^2.$

[asy] unitize(0.50cm); draw((0,-1)--(0,6)); draw((-1,0)--(6,0)); draw(shift(1,1)*unitcircle); draw(shift(1,3)*unitcircle); draw(shift(1,5)*unitcircle); draw(shift(3,1)*unitcircle); draw(shift(3,3)*unitcircle); draw(shift(3,5)*unitcircle); draw(shift(5,1)*unitcircle); draw(shift(5,3)*unitcircle); [/asy]

问题11

一组 8 个立方体由一个边长为$k$整数的立方体组成$k, 1 \le k \le 8.$，使用所有 8 个立方体按照以下规则建造一座塔：

  • 任何立方体都可以成为塔底的立方体。
  • 边长为 的立方体顶部的立方体的边$k$长必定最大为$k+2.$

设$T$可以建造的不同塔的数量为。除以$T$1000 后余数是多少？

问题 12

求出以度为单位$x$的值之和，$\cos^3 3x+ \cos^3 5x = 8 \cos^3 4x \cos^3 x,$$x$$100< x< 200.$

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2007年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2007年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

小于 24 的正完全平方数中有多少个$10^6$是 24 的倍数？

问题 2

一条 100 英尺长的移动人行道以每秒 6 英尺的恒定速度移动。Al 踏上人行道的起点并站起来。两秒钟后，Bob 踏上人行道的起点，以每秒 4 英尺的恒定速度沿着人行道向前漫步。两秒钟后，Cy 到达人行道的起点，以每秒 8 英尺的恒定速度沿着人行道快速向前行走。在某个时间，这三个人中的一个正好位于另外两个人的中间。此时，求出人行道起点与中间人之间的距离（以英尺为单位）。

问题 3

复数$z$等于$9+bi$，其中$b$为正实数且$i^{2}=-1$。假设$z^{2}$和的虚部$z^{3}$相同，那么$b$等于什么？

问题4

三颗行星在同一平面上绕恒星旋转。每颗行星都以相同的方向和恒定的速度移动。它们的周期分别为$60$、$84$和$140$年。这三颗行星和恒星目前共线。从现在起，它们最少需要多少年才能再次共线？

问题5

$F$将华氏温度转换为相应的摄氏温度的公式加元是$C = \frac{5}{9}(F-32).$ 将整数华氏温度转换为摄氏度，四舍五入到最接近的整数，再转换回华氏温度，然后再次四舍五入到最接近的整数。

$32$对于介于和之间的多少个整数华氏度温度，$1000$原始温度等于最终温度？

问题 6

一只青蛙被放在数轴的原点，并按照以下规则移动：在给定的移动中，青蛙要么前进到最近的具有更大整数坐标且是 的倍数的点，要么前进到最近的具有更大整数坐标且是 的倍数的点。移动序列是与有效移动相对应的坐标序列，以 开头，以 结尾。例如，是一个移动序列。青蛙可能有多少种移动序列？ $3$$13$$0$$39$$0,\ 3,\ 6,\ 13,\ 15,\ 26,\ 39$

问题 7

让 $N = \sum_{k = 1}^{1000} k ( \lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor )$

$N$求除以 1000 的余数。 （$\lfloor{k}\rfloor$是小于或等于 的最大整数$k$，$\lceil{k}\rceil$是大于或等于 的最小整数$k$。）

问题 8

多项式是三次多项式。多项式和都是的因数，那么$P(x)$的最大值是多少？ $k$$Q_1(x) = x^2 + (k-29)x - k$$Q_2(x) = 2x^2+ (2k-43)x + k$$P(x)$

问题 9

在直角三角形中，$ABC$直角为加元，加元 = 30美元且$CB = 16$。其直角边加元和$CB$延伸到$A$和 之外$B$。点$O_1$和$O_2$位于三角形外部，分别是两个半径相等的圆的圆心。以 为圆心的圆$O_1$与斜边和直角边 的延长线相切加元，以 为圆心的圆$O_2$与斜边和直角边 的延长线相切$CB$，两个圆互相外切。任一圆的半径长度都可以表示为$p/q$，其中$p$和$q$是互质正整数。求$p+q$。

问题 10

在一个$6 \乘以 4$网格（$6$行、$4$列）中，$12$有 的$24$方块需要涂黑，使得每行有两个涂黑的方块，每列有三个涂黑的方块。设为具有此属性的涂黑的方块数。求当除以$N$时的余数。 $N$$1000$

愛美我 2007-10.png

问题11

对于每个正整数$p$，设$b(p)$表示唯一正整数，$k$使得$|k-\sqrt{p}| < \frac{1}{2}$。例如，$b(6) = 2$和$b(23) = 5$。如果除以 1000 $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$时求余数。$S$

问题 12

在等腰三角形中$ABC$，$A$位于原点，$B$位于(20,0)。点加元位于第一象限$AC = BC$，角为$BAC = 75^{\circ}$。如果三角形$ABC$绕点逆时针旋转，$A$直到的图像加元位于正轴上$y$，则原始三角形和旋转三角形共同的区域面积为形式$p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s$，其中$p,q,r,s$为整数。求$(p-q+rs)/2$。

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2007年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2007年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

一个数学组织正在生产一组纪念车牌。每个车牌包含从 AIME 中的四个字母和 中的四个数字中选择的五个字符序列$2007$。任何字符在序列中出现的次数都不得超过在 AIME 中的四个字母或 中的四个数字中出现的次数$2007$。一组车牌中每个可能的序列都恰好出现一次，包含 N 个车牌。求 N/10。

问题 2

求有序三元组的数量，$(a,b,c)$其中$a$，，$b$和$c$为正整数，$a$是的因数$b$，$a$是的因数$c$，且$a+b+c=100$。

问题 3

正方形的 $ABCD$边长为$13$，且点 $E$和$F$位于正方形的外部，且$BE=DF=5$和$AE=CF=12$。求$EF^{2}$。

2007 艾梅 II-3.png

问题4

工厂里的工人生产小部件和 whoosits。对于每种产品，所有工人的生产时间都是恒定且相同的，但两种产品的生产时间不一定相等。在一小时内，$100$工人可以生产$300$小部件和$200$whoosits。在两个小时内，$60$工人可以生产$240$小部件和$300$whoosits。在三个小时内，$50$工人可以生产$150$小部件和$百万$whoosits。查找$百万$。

问题5

方程的图形画在方格纸上，每个方格代表每个方向的一个单位。方格纸上有多少个方格的内部完全位于图形下方且完全位于第一象限？ $9x+223y=2007$$1$$1$

问题 6

如果一个整数的十进制表示满足 ，则称其为奇偶单调整数，如果，则为偶数。有多少个四位数的奇偶单调整数？ $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{k}$$a_{i} <a_{i+1}$$a_{i}$$a_{i}>a_{i+1}$$a_{i}$

问题 7

给定一个实数， $x,$让$\lfloor x \rfloor$表示小于或等于的最大整数，对于$x.$某个整数， 恰好$k,$存在$70$正整数，并且对于所有满足$n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{70}$$k=\lfloor\sqrt[3]{n_{1}}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_{2}}\rfloor = \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor$$k$$n_{i}$$我$$1 \leq i \leq 70.$

$\frac{n_{i}}{k}$找到的最大值$1\leq 等于 \leq 70.$

问题 8

一张长方形的纸的尺寸为 4 个单位乘以 5 个单位。纸的边缘画有几条平行线。由这些线的交点确定的矩形称为基本矩形，如果

（i）矩形的四条边都是画出的线段，并且
(ii) 所画线段均不位于矩形内。

假设所有画出的线段的总长度恰好为 2007 个单位，设$N$为确定的基本矩形的最大可能数量。求除以 1000 时的余数。$N$

问题 9

矩形 $ABCD$具有和$AB=63$点$BC=448.$和$E$分别$F$位于$AD$和上BC$，使得$AE=CF=84.$三角形的内切圆与 点相切，$BEF$三角形的内切圆与点相切查找$EF$$P,$$DEF$$EF$ $Q.$$PQ.$

问题 10

设$S$为有六个元素的集合。设为 的所有子集的集合，的子集和不一定不同，是从 中独立随机选择的。包含在或中的一个中的概率为其中、和为正整数，为素数，且和互为素数。求（集合是 中所有不在 中的元素的集合） $\mathcal{P}$$S.$$A$$B$$S$$\mathcal{P}$$B$$A$南非$\frac{m}{n^{r}},$$百万$$n$$r$ $n$$百万$$n$$m+n+r.$南非$S$$A.$

问题11

两个长度相同但直径不同的长圆柱管平行放置在平面上。较大的管子的半径为，沿平面向半径为 的小管子滚动。它在小管子上滚动，并继续沿平面滚动，直到它停止在圆周上的同一点上，此时已完成一整圈。如果小管子不动，滚动时没有滑动，则大管子最终会与起始位置相距一段距离。该距离可以表示为其中和为整数，不能被任何素数的平方整除。求 $72$$24$ $x$$x$$a\pi+b\sqrt{c},$$一个，$ $b,$$c$$c$$a+b+c.$

问题 12

递增的几何序列 $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$完全由的整数$3.$幂组成， 假设

$\sum_{n=0}^{7}\log_{3}(x_{n}) = 308$和$56 \leq \log_{3}\left ( \sum_{n=0}^{7}x_{n}\right ) \leq 57,$

寻找$\log_{3}(x_{14}).$

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2008年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设$N = 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 + 96^2 + \cdots + 4^2 + 3^2 - 2^2 - 1^2$，其中加法和减法交替进行。求$N$除以时的余数$1000$。

问题 2

鲁道夫以恒定的速度骑行，每骑行一英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗以恒定的速度骑行，速度是鲁道夫的四分之三，但詹妮弗每骑行两英里后都会停下来休息五分钟。詹妮弗和鲁道夫同时开始骑行，并$50$同时到达 - 英里标记。他们花了多少分钟？

问题 3

一块长方体奶酪，尺寸为$10$10 x $13$10 x $14$10 cm。将奶酪切成 10 片。每片宽度为$1$1 cm，平行于奶酪的一面。各个切片不一定彼此平行。切下 10 片后，剩余奶酪块的最大体积（立方厘米）是多少？

问题4

存在$r$唯一的非负整数$n_1 > n_2 > \cdots > n_r$和$r$整数$a_k$（$1\le k\le r$），其中每个$a_k$都是$1$或，$- 1$并且\[a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008.\]查找$n_1 + n_2 + \cdots + n_r$。

问题5

在 的梯形中，设$ABCD$和。设、和和分别为和 的中点。求长度。 $\overline{BC}\parallel\overline{AD}$BC 美元 = 1000 美元$AD = 2008$$\角度 A = 37^\circ$$\角度 D = 53^\circ$$M$$N$$\overline{BC}$$\overline{AD}$百万

问题 6

该序列$\{a_n\}$由\[a_0 = 1,a_1 = 1, \text{ 且 } a_n = a_{n - 1} + \frac {a_{n - 1}^2}{a_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.\]“ 查找”$\{b_n\}$定义 。\[b_0 = 1,b_1 = 3, \text{ 且 } b_n = b_{n - 1} + \frac {b_{n - 1}^2}{b_{n - 2}}\text{ 对于 }n\ge2.\]$\frac {b_{32}}{a_{32}}$

问题 7

设$r$、$s$和$t$分别为方程 的三个根\[8x^3 + 1001x + 2008 = 0.\]求$(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3$。

问题 8

令。求出使得为 整数的 $a = \pi/2008$最小正整数。$n$\[2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) + \cos(9a)\sin(3a) + \cdots + \cos(n^2a)\sin(呐）]\]

问题 9

一个粒子位于 处的坐标平面上$(5,0)$。定义粒子的移动$\pi/4$为绕原点逆时针旋转弧度，然后沿$10$正方向平移单位$x$。假设粒子$150$移动后的位置为$(p,q)$，找出小于或等于 的最大整数$|p| + |q|$。

问题 10

下图显示了一个$4\times4$矩形点阵列，每个点都$1$与其最近的邻居相距一个单位。

[asy] unitize(0.25inch); defaultpen(linewidth(0.7)); int i，j; for(i = 0; i < 4; ++i) for(j = 0; j < 4; ++j) dot(((real)i, (real)j)); [/asy]

将增长路径定义为数组中不同点的序列，其特性是序列中连续点之间的距离严格增加。设$百万$为增长路径中可能的最大点数，设$r$为恰好由点组成的增长路径的数量$百万$。求$先生$。

问题11

在三角形中$ABC$，$AB = AC = 100$，和BC 元 = 56 美元。圆的$P$半径为，并与$16$相切。圆与圆相切，并与相切。圆上无一点位于 之外。圆的半径可以表示为，其中，和为正整数，且为不同素数的乘积。求。 $\overline{AC}$$\overline{BC}$$Q$$P$$\overline{AB}$$\overline{BC}$$Q$$\bigtriangleup\overline{ABC}$$Q$$m-n\sqrt{k}$$百万$$n$$k$$k$$m + nk$

问题 12

有两根可区分的旗杆，有 面$19$旗帜，其中 面$10$是相同的蓝旗， 面$9$是相同的绿旗。设为使用所有旗帜的可区分布置的数量，其中每根旗杆上至少有一面旗帜，并且两根旗杆上没有两面绿旗相邻。当除以$N$时，求余数。 $N$$1000$

问题 13

复平面中以原点为中心的正六边形具有相隔一个单位的相对边对。其中一对边与虚轴平行。设$R$为六边形外部的区域，设$S = \left\lbrace\frac{1}{z}|z \in R\right\rbrace$。则 的面积$S$形式为$a\pi + \sqrt{b}$，其中$a$和$b$为正整数。求$a + b$。

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2008年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2008年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在参加学校聚会的学生中，$60\%$有 的学生是女生，$40\%$有 的学生喜欢跳舞。当这些学生中又加入了$20$更多喜欢跳舞的男生后，聚会就变成了$58\%$女生聚会。现在聚会上有多少学生喜欢跳舞？

问题 2

正方形$艾美$的边长为 长度$10$单位。等腰三角形的创业板底边为，三角形和正方形$EM$的公共面积为平方单位。求中高的长度为。 创业板$艾美$$80$$EM$$\triangle 宝石$

问题 3

艾德和苏以相等且恒定的速度骑自行车。同样，他们以相等且恒定的速度慢跑，并以相等且恒定的速度游泳。艾德$74$在骑自行车几个$2$小时、慢跑几个$3$小时和游泳几个$4$小时后才走了几公里，而苏$91$在慢跑几个$2$小时、游泳几个$3$小时和骑自行车几个$4$小时后才走了几公里。他们的骑自行车、慢跑和游泳速度都是每小时公里的整数倍。求出艾德骑自行车、慢跑和游泳速度的平方和。

问题4

存在唯一的正整数$x$和$y$满足方程$x^2 + 84x + 2008 = y^2$。求$x + y$。

问题5

一个直圆锥的底面半径为$r$，高为$h$。该圆锥侧放在平坦的桌面上。当圆锥在桌面上滚动而不滑动时，圆锥底面与桌面的交点画出以顶点与桌面接触点为中心的圆弧。圆锥在完成$17$旋转后首先回到桌面上的原始位置。 的值$h/r$可以写成 的形式$m\sqrt {n}$，其中$百万$和$n$为正整数，$n$不能被任何素数的平方整除。求$m + n$。

问题 6

一个三角形数字数组，第一行由按递增顺序排列的奇数组成$1,3,5,\ldots,99$。第一行下方的每一行都比其上方的行少一个条目，而底部一行只有一个条目。顶行之后的任何一行中的每个条目都等于其上一行中对角线上方两个条目的总和。数组中有多少个条目是 的倍数$67$？

问题 7

设$S_i$为所有整数的集合，$n$满足$100i\leq n < 100(i + 1)$。例如，$S_4$是集合${400,401,402,\ldots,499}$。有多少个集合$S_0, S_1, S_2, \ldots, S_{999}$不包含完全平方数？

问题 8

找到正整数，$n$使得

\[\arctan\frac {1}{3} + \arctan\frac {1}{4} + \arctan\frac {1}{5} + \arctan\frac {1}{n} = \frac {\圆周率}{4}。\]

问题 9

十个相同的板条箱，每个尺寸为$3$ft $\times$ $4$ft $\times$ $6$ft。第一个板条箱平放在地板上。其余九个板条箱依次平放在前一个板条箱的顶部，每个板条箱的方向都是随机选择的。设$\frac {m}{n}$为板条箱堆正好高 ft 的概率$41$，其中$百万$和$n$是互质正整数。求$百万$。

问题 10

设$ABCD$是等腰梯形，$\overline{AD}||\overline{BC}$其长底角$\overline{AD}$为$\dfrac{\pi}{3}$。对角线长度为$10\sqrt {21}$，点为，与顶点和$E$的距离分别为和。设是从到的高的底边。距离可以表示为形式，其中和为正整数，不能被任何素数的平方整除。求。 $10\sqrt {7}$$30\sqrt {7}$$A$$D$$F$加元$\overline{AD}$$EF$$m\sqrt {n}$$百万$$n$$n$$m + n$

问题11

考虑完全由$A$和组成的序列$B$，其特性是连续 的每个$A$序列长度为偶数，而连续 的每个序列$B$长度为奇数。此类序列的示例有$AA$、$B$和 ，$AABAA$而$BBAB$不是此类序列。有多少个此类序列的长度为 14？

问题 12

在一条长而直的单向单车道公路上，所有车辆都以相同的速度行驶，并遵守安全规则：前车尾部到后车尾部的距离，每以 15 公里/小时的速度或其分数表示，正好是一辆车的长度（因此，以 52 公里/小时行驶的汽车的车头将落后于前车车头四辆车的长度。）路边的光电眼会计算一小时内通过的汽车数量。假设每辆车长 4 米，汽车可以以任何速度行驶，设$M$为一小时内通过光电眼的最大整数汽车数。求当$M$除以 10 时的商。

问题 13

让$p(x,y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_3x^2 + a_4xy + a_5y^2 + a_6x^3 + a_7x^2y + a_8xy^2 + a_9y^3$。

假设$p(0,0) = p(1,0) = p( - 1,0) = p(0,1) = p(0, - 1) = p(1,1) = p(1, - 1) = p(2,2) = 0$。

$\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right)$对于$p\left(\frac {a}{c},\frac {b}{c}\right) = 0$所有这样的多项式，存在一个点，其中$a$，，$b$和$c$为正整数，$a$和$c$互质，且$c> 1$。求$a + b + c$。

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2025年AIME竞赛什么时候考试？考察内容有哪些？有什么备赛策略？

美国数学邀请赛（AIME）是由美国数学协会（MAA）主办的一项高水平数学竞赛。它与AMC10/12考试紧密相关，只有在AMC考试中达到特定分数线（AIME cut off）的学生才能受邀参加。AIME的成绩对于申请美国顶尖大学，如藤校、斯坦福、MIT等，具有重要的参考价值。AIME的分数乘以10再加上AMC10或AMC12的分数可以决定是否晋级USAJMO或USAMO。

一、2025 AIME考试安排

AIME I： 2025年2月6日（美东时间）

AIME II： 2025年2月12日（美东时间）

考试时长： 3小时

考试语言： 中英双语

考试形式： 线上考试

题型： 15道填空题，答案为000-999的整数

计分方式： 满分15分，答对1题得1分，答错或未答不得分

晋级AIME的学生可以选择参加AIME I或AIME II，二者难度相同但题目不同，且不能同时参加。

二、AIME数学竞赛考察内容

AIME涵盖了广泛的数学领域，主要包括：

算术：

整数、分数、小数、百分数、比例等基础知识

代数：

多项式：代数基本定理、因式定理、余式定理

对数、复数与三角函数：基本运算，单位根，复数的几何意义及应用

数列：通项公式、常系数线性递推数列、数列求和、不等式

不等式：均值不等式、柯西不等式、排序不等式

几何：

直线型：Menelaus定理、Ceva定理、Stewart定理

圆：三角形的五心、四点共圆、Ptolemy定理

立体几何：体积计算、内切球与外接球

解析几何：平面与空间解析几何及应用

数论：

整除、同余、算术基本定理、最大公约数与最小公约数

著名数学定理：Fermat小定理、Wilson定理、中国剩余定理

不定方程：线性不定方程、勾股方程、二次方程的整数根

组合与计数：

排列组合：二项式定理、组合恒等式、映射方法、容斥原理

概率：古典概型、几何概型、条件概率、Bayes公式

概率与统计：

概率计算、统计分析、概率模型

三、AIME题目分布和备赛策略

题目分布

AIME的题目分布不固定，但几何和代数题目通常占比较高，数论和组合题目相对较少。2023年AIME I的真题分布为4道几何题、2道代数题、4道组合题、4道数论题。

AIME备考攻略

了解考试趋势和特点：

数论题目难度升级，涉及高阶技巧。

复数单位根考察深度增强。

几何部分首次出现欧拉定理相关题目。

科学规划答题顺序：

快速浏览试题，优先作答擅长题目，确保基础分数。

复习备考时掌握整体知识点，灵活运用。

抓住薄弱环节，整理错题：

养成整理错题的习惯，查漏补缺，针对性提升。

AMC低分晋级AIME的同学：

不要气馁，查漏补缺，合理安排复习计划，坚持专项练习和考前模拟测试。

通过系统的备考和实践，学生能够在AIME竞赛中展示自己的数学才能，为未来的学术发展和名校申请增添重要的竞争力。AIME不仅考察学生的数学知识深度，还锻炼他们的解题技巧和思维能力。

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2009年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2009年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

在开始油漆之前，比尔有$130$几盎司蓝色油漆、$164$几盎司红色油漆和$188$几盎司白色油漆。比尔在墙上画了四条大小相同的条纹，一条蓝色条纹、一条红色条纹、一条白色条纹和一条粉色条纹。粉色是红色和白色的混合，不一定是等量的。当比尔完成后，他剩下的蓝色、红色和白色油漆数量相等。求比尔剩下的油漆总数。

问题 2

假设$a$、$b$和为正实数，$c$且、 和。求 $a^{\log_3 7} = 27$$b^{\log_7 11} = 49$$c^{\log_{11}25} = \sqrt{11}$\[a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.\]

问题 3

在矩形 中$ABCD$，$AB=100$。设$E$为 的中点$\overline{AD}$。已知线段$AC$和 线段$BE$垂直，求小于 的最大整数$AD$。

问题4

一群孩子举行了一场吃葡萄比赛。比赛结束时，获胜者吃掉了$n$葡萄，排名第 的孩子也$k$吃掉了 $n+2-2k$葡萄。比赛中吃掉的葡萄总数为$2009$。求 的最小可能值$n$。

问题5

等边三角形$T$内接于圆$A$，圆的半径为$10$。半径$B$为 的圆在的一个顶点处$3$内切于圆。半径为 的圆和均在的另外两个顶点处内切于圆。圆、和均外切于圆，圆的半径为，其中和是互质正整数。求。 $A$$T$加元$D$$2$$A$$T$$B$加元$D$$E$$\dfrac mn$$百万$$n$$m+n$

[asy] unitize(3mm); defaultpen(linewidth(.8pt)); dotfactor=4; 对 A=(0,0), D=8*dir(330), C=8*dir(210), B=7*dir(90); 对 Ep=(0,4-27/5); 对[] dotted={A,B,C,D,Ep}; 绘制(圆(A,10)); 绘制(圆(B,3)); 绘制(圆(C,2)); 绘制(圆(D,2)); 绘制(圆(Ep,27/5)); dot(dotted); 标签("$E$",Ep,A); 标签("$A$",A,W); 标签("$B$",B,W); 标签("$C$",C,W); 标签("$D$",D,E); [/asy]

问题 6

设$百万$为可从第一个自然数集合中选取的五元素子集的数量，$14$使得五个数字中至少有两个是连续的。求$百万$除以时的余数$1000$。

问题 7

定义$n!!$为$n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1$奇数$n$，$n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2$为$n$偶数。当$\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$用最简分数表示时，其分母$2^ab$为$b$奇数。求$\dfrac{ab}{10}$。

问题 8

Dave 掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。Linda 独立地掷出一个公平的六面骰子，直到第一次出现六点。设$百万$和$n$为互质正整数，使得是$\dfrac mn$Dave 掷骰子的次数等于或在 Linda 掷骰子的次数之内的概率。求$m+n$。

问题 9

设$百万$为方程的正整数解的个数$4x+3y+2z=2009$，设$n$为方程的正整数解的个数。求除以$4x+3y+2z=2000$时的余数。 百万美元$1000$

问题 10

四座灯塔分别位于 、 、 和 点$A$。$B$处加元的$D$灯塔$A$距离 处的灯塔 为$5$公里$B$，处的灯塔距离 处的灯塔$B$为公里，处的灯塔距离处的灯塔 为 公里。对于 处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与 和处的灯光所确定的角相等。对于 处的观察者来说，和处的灯光所确定的角与 和处的灯光所确定的角相等。从到 的公里数为，其中、和是互质正整数，并且不能被任何素数的平方整除。求。 $12$加元$A$$13$加元$A$$B$$D$加元$D$加元$A$$B$$D$$B$$A$$D$$\frac{p\sqrt{r}}{q}$$p$$q$$r$$r$$p+q+r$

问题11

对于某些具有$(m,n)$的正整数对，$m\geq n$存在恰好$50$不同的正整数$k$使得$|\log m - \log k| < \log n$。求出乘积的所有可能值的和$m \cdot n$。

问题 12

从整数集合 中$\{1,2,3,\dots,2009\}$，选择 的$k$对$\{a_i,b_i\}$，$a_i<b_i$使得没有两对有共同元素。假设所有和$a_i+b_i$都是不同的，并且小于或等于$2009$。求 的最大可能值$k$。

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