2017年 AIME I 数学邀请赛真题

2017年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

在上指定 15 个不同点 $\三角形ABC$ ：3 个顶点 $A$ 、 $B$ 和 $加元$ ； $3$ 边上的其他点 $\overline{AB}$ ； $4$ 边上的其他点 $\overline{BC}$ ；和 $5$ 边上的其他点 $\overline{CA}$ 。求出顶点位于这些点之间的面积为正的三角形的数量 $15$ 。

问题 2

$702$ 当、 $787$ 和分别 $855$ 除以正整数时 $百万$ ，余数始终为正整数 $r$ 。当 $412$ 、 $722$ 和分别 $815$ 除以正整数 $n$ 时，余数始终为正整数 $s \neq r$ 。求 $m+n+r+s$ 。

问题 3

对于正整数 $n$ ，设 $d_n$ 为的个位数。求除以 $1 + 2 + \dots + n$ 时的余数。 $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ $1000$

问题4

一个金字塔有一个三角形底座，边长分别为 $20$ 、 $20$ 和 $24$ 。金字塔的三条边从底座的三个角到金字塔的第四个顶点的长度均为 $25$ 。金字塔的体积为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数，并且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 。

问题5

以八进制表示的有理数为 $\下划线{a} \下划线{b} .\下划线{c} \下划线{d}$ ，其中所有数字都非零。以十二进制表示的相同数字为 $\下划线{b} \下划线{b} .\下划线{b} \下划线{a}$ 。求十进制数 $\下划线{a} \下划线{b} \下划线{c}$ 。

问题 6

一个圆外接一个等腰三角形，该三角形的两个全等角的度数为 $x$ 。在圆上随机选取两个独立且均匀的点，并在它们之间画一条弦。弦与三角形相交的概率为 $\frac{14}{25}$ 。求的最大可能值与最小可能值之间的差值 $x$ 。

问题 7

对于非负整数 $a$ 和，令 $b$ 。令表示所有的总和，其中和是非负整数，令。求当除以时的余数。 $a + b \leq 6$ $T(a, b) = \binom{6}{a} \binom{6}{b} \binom{6}{a + b}$ $S$ $T(a, b)$ $a$ $b$ $a + b \leq 6$ $S$ $1000$

问题 8

从区间中独立均匀随机选取两个实数 $a$ 和。设和是平面上的两个点，且。设和位于直线的同一侧，且的度数分别为和，且和均为直角。等于的概率，其中和是互质正整数。求。 $b$ $(0, 75)$ $O$ $P$ $OP = 200$ $Q$ $R$ $OP$ $\角度 POQ$ $\角度POR$ $a$ $b$ $\角度OQP$ $\角度ORP$ $QR \leq 100$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m + n$

问题 9

令 $a_{10} = 10$ ，且对于每个正整数 $n> 10$ 令 $a_n = 100a_{n - 1} + n$ 。找出最小正数 $n> 10$ ，使得 $a_n$ 是的倍数 $99$ 。

问题 10

设 $z_1 = 18 + 83i$ ， $z_2 = 18 + 39i,$ 且 $z_3 = 78 + 99i,$ 其中 $i = \sqrt{-1}$ 。设 $z$ 为具有以下性质的唯一复数：为 $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ 实数，的虚部 $z$ 为最大的虚部。求的实部 $z$ 。

问题11

考虑数组中 $9$ 数字的排列。对于每个这样的排列，设、和分别为行、和中数字的中位数，设为的中位数。设为的排列数。当除以时，求余数。 $1, 2, 3, \dots, 9$ $3 \乘以 3$ $a_1$ $a_2$ $a_3$ $1$ $2$ $3$ $百万$ $\{a_1，a_2，a_3\}$ $Q$ $m = 5$ $Q$ $1000$

问题 12

$S$ 如果不存在 $a, b, c \in S$ （不一定不同）使得，则称集合为无积集合 $ab = c$ 。例如，空集和集合 $\{16, 20\}$ 是无积集合，而集合 $\{4, 16\}$ 和 $\{2, 8, 16\}$ 不是无积集合。求集合中无积集合子集的数量 $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 7, 8, 9, 10\}$ 。