2018年 AIME II 数学邀请赛真题

2018年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

点 $A$ 、 $B$ 和按照该顺序位于直线路径上，从到的 $加元$ 距离为米。Ina 的跑步速度是 Eve 的两倍，而 Paul 的跑步速度是 Ina 的两倍。三名跑步者同时开始跑步，Ina 从出发并跑向，Paul 从出发并跑向，而 Eve 从出发并跑向。当 Paul 遇到 Eve 时，他转身跑向。Paul 和 Ina 同时到达。求从到的米数。 $A$ $加元$ $1800$ $A$ $加元$ $B$ $加元$ $加元$ $A$ $A$ $B$ $A$ $B$

问题 2

设 $a_{0} = 2$ ， $a_{1} = 5$ ，和 $a_{2} = 8$ ，和为，递归 $n> 2$ 定义 $a_{n}$ 为 $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ 除以时的余数 $11$ 。求 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$ 。

问题 3

求出所有正整数的和 $b < 1000$ ，使得底数 $b$ 整数 $36_{b}$ 是完全平方数并且底数 $b$ 整数 $27_{b}$ 是完全立方数。

问题4

在等角八边形中 $卡罗琳$ ， $CA = RO = LI = NE =$ $\sqrt{2}$ 和 $AR = OL = IN = EC = 1$ 。自相交八边形 $科妮莉亚$ 包围六个不重叠的三角形区域。设 $K$ 是包围的面积 $科妮莉亚$ ，即六个三角形区域的总面积。则 $K = \frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。求 $a + b$ 。

问题5

假设 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 为复数 $xy = -80 - 320i$ ，且 $yz = 60$ 、和 $zx = -96 + 24i$ ，其中 $我$ $=$ $\sqrt{-1}$ 。则有实数 $a$ 和， $b$ 且 $x + y + z = a + bi$ 。求 $a^2 + b^2$ 。

问题 6

$a$ 从区间中随机均匀地选择一个实数 $[-20, 18]$ 。多项式根的概率

$x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2$

均为实数，可以写成的形式 $\dfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。

问题 7

三角形的 $ABC$ 边长为 $AB = 9$ 、 $BC =$ $5\sqrt{3}$ 和 $AC = 12$ 。对于， $A = P_{0}, P_{1}, P_{2}, ... , P_{2450} = B$ 线段上的点 $\overline{AB}$ 位于和之间 $P_{k}$ ，而对于，线段上的点位于和之间。此外，每个线段、都平行于。这些线段将三角形划分为由梯形和三角形组成的区域。每个区域的面积相同。求出有理长度的线段、的数量。 $P_{k-1}$ $P_{k+1}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $A = Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, ... , Q_{2450} = C$ $\overline{AC}$ $Q_{k}$ $Q_{k-1}$ $Q_{k+1}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $\overline{P_{k}Q_{k}}$ $k = 1, 2, ..., 2449$ $\overline{BC}$ $2450$ $2449$ $1$ $2450$ $\overline{P_{k}Q_{k}}$ $k = 1, 2, ..., 2450$

问题 8

一只青蛙位于坐标平面的原点。从点开始，青蛙可以跳到、、或中 $(x, y)$ 的任意一点。求出青蛙从开始并到结束的不同跳跃序列的数量。 $(x + 1, y)$ $(x + 2, y)$ $（x，y + 1）$ $(x, y + 2)$ $(0, 0)$ $(4, 4)$

问题 9

$ABCDEFGH$ 边长为的八边形 $AB = CD = EF = GH = 10$ 由 $BC = DE = FG = HA = 11$ 一个长方形的角上去掉 6-8-10 个三角形得到，长方形的 $23$ $\times$ $27$ 边长 $\overline{AH}$ 为该长方形的短边，如图所示。设 $J$ 为的中点，通过画出线段、、、、和， $\overline{AH}$ 将八边形分成 7 个三角形。求以这 7 个三角形的质心为顶点的凸多边形的面积。 $\overline{JB}$ $\overline{JC}$ $\overline{JD}$ $\overline{JE}$ $\overline{JF}$ $\overline{JG}$

$[asy] unitize(6); 对 P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); 对 A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark));填充绘制（H--G--Q--循环，灰色（深色））；填充绘制（F--EE--R--循环，灰色（深色））；填充绘制（D--C--SS--循环，灰色（深色））；点（A）；点（B）；点（C）；点（D）；点（EE）；点（F）；点（G）；点（H）；点（J）；点（H）；defaultpen（fontsize（10pt））；real r = 1.3;标签（“$A$”，A，W*r）；标签（“$B$”，B，S*r）；标签（“$C$”，C，S*r）；标签（“$D$”，D，E*r）；标签（“$E$”，EE，E*r）；标签（“$F$”，F，N*r）；标签（“$G$”，G，N*r）；标签（“$H$”，H，W*r）；标签（“$J$”，J，W*r）；[/asy]$

问题 10

$f(x)$ 找出从 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 到的函数个数，使得其中所有都 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 满足。 $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ $x$ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

问题11

求出的排列数， $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 使得对于每个 $k$ ， $1$ $\leq$ $k$ $\leq$ $5$ 至少有一个 $k$ 排列的第一个项大于 $k$ 。

问题 12

设 $ABCD$ 为凸四边形 $AB = CD = 10$ ，有 $BC=14美元$ 、和 $AD = 2\sqrt{65}$ 。假设的对角线 $ABCD$ 交于点 $P$ ，且三角形和的面积之 $APB$ 和等于三角形和 $成本价差$ 的面积之和。求四边形的面积。 $BPC$ $APD$ $ABCD$