2018年 AIME I 数学邀请赛真题

2018年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

设为有序整数对 $S$ 的数量，且使得多项式可以分解为两个（不一定不同）具有整数系数的线性因子的乘积。当除以时，求余数。 $(a,b)$ $1 \leq 至 \leq 100$ $b \geq 0$ $x^2+ax+b$ $S$ $1000$

问题 2

该数在 $n$ 进制中可以写成，在进制中可以写成，在进制中可以写成，其中。求的进制表示。 $14$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{b}\文本{ }\下划线{c}$ $15$ $\下划线{a}\文本{ }\下划线{c}\文本{ }\下划线{b}$ $6$ $\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }\underline{a}\text{ }\underline{c}\text{ }$ $a > 0$ $10$ $n$

问题 3

Kathy 有 $5$ 红牌和 $5$ 绿牌。她洗牌并按随机顺序将牌 $10$ 排成 $5$ 一排。当且仅当所有放出的红牌都是相邻的，并且所有放出的绿牌都是相邻的，她才会高兴。例如，牌的顺序 RRGGG、GGGGR 或 RRRRR 会让 Kathy 高兴，但 RRRGR 不会。Kathy 高兴的概率是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

问题4

在 $\三角形 ABC, AB = AC = 10$ 和中 $BC=12美元$ 。点 $D$ 严格位于 $A$ 和 $B$ 之间 $\overline{AB}$ ，点 $E$ 严格位于 $A$ 和 $加元$ 之间， $\overline{AC}$ 使得 $AD = DE = EC$ 。则 $AD$ 可以表示为的形式 $\dfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题5

$(x,y)$ 对于满足的每对有序实数， $\log_2(2x+y) = \log_4(x^2+xy+7y^2)$ 存在一个实数 $K$ 使得， $\log_3(3x+y) = \log_9(3x^2+4xy+Ky^2)。$ 求出所有可能值的乘积 $K$ 。

问题 6

设为具有属性 $N$ 的复数的数量，为实数。求除以时的余数。 $z$ $|z|=1$ $z^{6!}-z^{5!}$ $N$ $1000$

问题 7

一个直立六角柱的高为 $2$ 。底面是边长为的正六边形 $1$ 。任意 $3$ 一个 $12$ 顶点都可以确定一个三角形。求出这些等腰三角形（包括等边三角形）的数量。

问题 8

设 $ABCDEF$ 为等角六边形 $AB=6, BC=8, CD=10$ ，且 $DE=12$ ，。表示 $d$ 六边形内最大圆的直径。求 $d^2$ 。

问题 9

求具有以下性质的四元素子集的数量 $\{1,2,3,4,\dots, 20\}$ ：一个子集的两个不同元素的和为 $16$ ，而一个子集的两个不同元素的和为 $24$ 。例如， $\{3,5,13,19\}$ 和 $\{6,10,20,18\}$ 就是两个这样的子集。

问题 10

下图所示的轮子由两个圆圈和五根辐条组成，辐条与圆圈相交的每个点都有一个标签。一只虫子从点开始沿着轮子行走 $A$ 。在此过程的每一步，虫子都从一个标记点走到一个相邻的标记点。沿着内圈，虫子只以逆时针方向行走，沿着外圈，虫子只以顺时针方向行走。例如，虫子可以沿着路径行进 $阿贾ABCHCHIJA$ ，该路径有 $10$ 台阶。设为以点为起点和终点的有台阶 $n$ 的路径数。当除以时，求余数。 $15$ $A.$ $n$ $1000$

$[asy] 尺寸(6cm); 绘制(单位圆); 绘制(比例(2) * 单位圆); for(int d = 90; d < 360 + 90; d += 72){ 绘制(2 * dir(d) -- dir(d)); } 点(1 * dir( 90), 线宽(5)); 点(1 * dir(162), 线宽(5)); 点(1 * dir(234), 线宽(5)); 点(1 * dir(306), 线宽(5)); 点(1 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(378), 线宽(5)); 点(2 * dir(306), 线宽(5)); 点(2 * dir(234), 线宽(5)); 点(2 * dir(162), 线宽(5));点（2 * dir（90），线宽（5））；标签("$A$", 1 * dir( 90), -dir( 90));标签("$B$", 1 * 目录(162), -dir(162));标签(“$C$”, 1 * 目录(234), -dir(234));标签(“$D$”, 1 * 目录(306), -dir(306));标签("$E$", 1 * 目录(378), -dir(378));标签(“$F$”, 2 * 目录(378), 目录(378));标签(“$G$”, 2 * 目录(306), 目录(306));标签(“$H$”, 2 * 目录(234), 目录(234));标签(“$I$”, 2 * 目录(162), 目录(162));标签("$J$", 2 * 目录( 90), 目录( 90)); [/asy]$

问题11

寻找最小正整数， $n$ 使得当以 $3^n$ 为底数写入时 $143$ ，其底数最右边的两位数字 $143$ 为 $01$ 。

问题 12

对于的每个子集，设为元素的和，定义为。如果在 $T$ 的所有子集中随机选择，则能被整除的概率为，其中和是互质正整数。求。 $U = \{ 1,2,3,\ldots,18 \}$ $s(T)$ $T$ $s(\空集)$ $0$ $T$ $U$ $s(T)$ $3$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $百万$

问题 13

设 $\三角形ABC$ 边长 $AB=30$ 为 $BC=32$ 、和 $AC=34$ 。点 $X$ 位于的内部 $\overline{BC}$ ，点 $I_1$ 和分别是和的 $I_2$ 内心。求当沿变化时的最小可能面积。 $\三角形ABX$ $\三角形ACX$ $\三角形AI_1I_2$ $X$ $\overline{BC}$