2017年 AIME II 数学邀请赛真题

2017年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 找出既不是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 也不是的子集的子集的数量 $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ 。

问题 2

$T_1$ 、 $T_2$ 、 $T_3$ 和队 $T_4$ 进入季后赛。在半决赛中， $T_1$ 比赛 $T_4$ ，和 $T_2$ 。 $T_3$ 这两场比赛的获胜者将在决赛中对决，争夺冠军。当时 $T_i$ ，获胜 $T_j$ 的概率为，且所有比赛的结果都是独立的。成为冠军的概率为，其中和是互质正整数。求。 $T_i$ $\frac{i}{i+j}$ $T_4$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题 3

一个三角形有顶点 $A(0,0)$ 、 $B(12,0)$ 和。三角形内随机选取的点距离顶点比距离顶点或顶点 $C(8,10)$ 更近的概率可以写成，其中和是互质正整数。求。 $B$ $A$ $加元$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题4

找出小于或等于的正整数的数量， $2017$ 其以三进制表示的数不包含等于的数字 $0$ 。

问题5

一个集合包含四个数字。该集合中不同元素的六对和（无特定顺序）分别为 $189$ 、 $320$ 、 $287$ 、 $234$ 、 $x$ 和 $y$ 。求的可能最大值 $x+y$ 。

问题 6

求出所有正整数的和， $n$ 使得 $\sqrt{n^2+85n+2017}$ 为整数。

问题 7

$k$ 找出闭区间内整数值的个数 $[-500,500]$ ，使得方程 $\log(kx)=2\log(x+2)$ 只有一个实数解。

问题 8

$n$ 找出小于 $2017$ 整数的正整数的数量 $1+n+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^5}{5 !}+\frac{n^6}{6!}$ 。

问题 9

一副特殊的纸牌包含纸牌，每张纸牌都标有从到 $49$ 的数字，并用七种颜色中的一种着色。每种数字-颜色组合只出现在一张纸牌上。Sharon 将从纸牌中随机选择一组八张纸牌。假设她得到每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌，Sharon 可以丢弃一张纸牌并拥有每种颜色至少一张纸牌和每个数字至少一张纸牌的概率为，其中和是互质正整数。求。 $1$ $7$ $\textit{仍然}$ $\frac{p}{q}$ $p$ $q$ $p+q$

问题 10

矩形的 $ABCD$ 边长 $AB=84$ 为和 $AD=42$ 。点 $M$ 是的中点 $\overline{AD}$ ，点 $N$ 是的三等分点， $\overline{AB}$ 更接近于 $A$ ，点是和的 $O$ 交点。点位于四边形上，并将的面积平分。求的面积。 $\overline{CM}$ $\overline{DN}$ $P$ $BCON$ $\overline{BP}$ $BCON$ $\三角CDP$

问题11

五个城镇由一套道路系统连接。每对城镇之间只有一条道路相连。求有多少种方法可以将所有道路都变成单向的，并且仍然可以使用这些道路从任何城镇到达其他城镇（途中可能经过其他城镇）。

问题 12

圆的 $C_0$ 半径为 $1$ ，点 $A_0$ 是圆上的一点。圆 $C_1$ 的半径为 $r<1$ ，并在 $C_0$ 点处与内切 $A_0$ 。点 $A_1$ 位于圆上， $C_1$ 即 $A_1$ 位于上， $90^{\circ}$ 从逆时针方向延伸。圆的半径为，并在点处与内切。这样就构造了一系列圆和一系列圆上的点，其中圆的半径为，并在点处与内切，点位于上，从点逆时针延伸，如下图所示。所有这些圆内都有一个点。当时，从中心到的距离为，其中和是互质正整数。求。 $A_0$ $C_1$ $C_2$ $r^2$ $C_1$ $A_1$ $C_1,C_2,C_3,\ldots$ $A_1,A_2,A_3,\ldots$ $C_n$ $r^n$ $C_{n-1}$ $A_{n-1}$ $A_n$ $C_n$ $90^{\circ}$ $A_{n-1}$ $B$ $r = \frac{11}{60}$ $C_0$ $B$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

$[asy] 绘制（圆（（0,0），125））；绘制（圆（（25,0），100））；绘制（圆（（25,20），80））；绘制（圆（（9,20），64））；点（（125,0））；标签（“$A_0$”，（125,0），E）；点（（25,100））；标签（“$A_1$”，（25,100），SE）；点（（-55,20））；标签（“$A_2$”，（-55,20），E）；[/asy]$