赛事资讯 - 第 28 页 - AIME数学邀请赛官网

2012年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2012年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

$（m，n）$ 求出方程的正整数解的有序对的数量 $2000 万美元 + 12n = 2012 美元$ 。

问题 2

两个等比数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 和 $b_1, b_2, b_3, \ldots$ 有相同的公比，即 $a_1 = 27$ ，， $b_1=99$ 和 $a_{15}=b_{11}$ 。求 $a_9$ 。

问题 3

某大学数学系下设数学系、统计学系和计算机科学系，每个系有两名男教授和两名女教授，一个由六名教授组成的委员会应包含三名男教授和三名女教授，并且还必须包含来自三个系的两名教授。求出在满足这些要求的情况下可以组建的委员会的数量。

问题4

Ana、Bob 和 Cao 分别以 $8.6$ 每秒米、 $6.2$ 每秒米和 $5$ 每秒米的恒定速度骑行。他们同时从一个矩形田野的东北角出发，田野的长边朝正西方向。Ana 开始沿着田野边缘骑行，最初向西行驶，Bob 开始沿着田野边缘骑行，最初向南行驶，而 Cao 则沿直线穿过田野骑行到 $D$ 田野南边的某个点。Cao 到达点的时间 $D$ 与 Ana 和 Bob 第一次到达的时间相同 $D$ 。田野的长度与宽度与从点 $D$ 到田野东南角的距离之比可以表示为 $p:q:r$ ，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是正整数 $p$ ，且 $q$ 互质。求 $p+q+r$ 。

问题5

在附图中，外层正方形的 $S$ 边长为。在内部构造 $40$ 一个 $S'$ 边长为的正方形，其中心与相同，边与的边平行。从边的每个中点向的两个最近顶点画线段。结果是一个内接于的四角星形图形。将星形图形剪下来，然后折叠成一个底面为的金字塔。求这个金字塔的体积。 $15$ $S$ $S$ $S$ $S$ $S'$ $S$ $S'$

$[asy] 对 S1 = (20, 20), S2 = (-20, 20), S3 = (-20, -20), S4 = (20, -20); 对 M1 = (S1+S2)/2, M2 = (S2+S3)/2, M3=(S3+S4)/2, M4=(S4+S1)/2; 对 Sp1 = (7.5, 7.5), Sp2=(-7.5, 7.5), Sp3 = (-7.5, -7.5), Sp4 = (7.5, -7.5); 绘制(S1--S2--S3--S4--循环); 绘制(Sp1--Sp2--Sp3--Sp4--循环); 绘制(Sp1--M1--Sp2--M2--Sp3--M3--Sp4--M4--循环); [/asy]$

问题 6

设 $z=a+bi$ 为复数 $\vert z \vert = 5$ ，且使得和 $b>0$ 之间的距离最大化，且令。求。 $(1+2i)z^3$ $z^5$ $z^4 = c+di$ $c+d$

问题 7

设 $S$ 为正整数的递增序列，其二进制表示恰好为 $8$ 1。设 $N$ 为中的第 1000 个数字 $S$ 。求 $N$ 除以时的余数 $1000$ 。

问题 8

复数 $z$ 和 $w$ 满足系统 $z + \frac{20i}w = 5+i$ $w+\frac{12i}z = -4+10i$ 求的最小可能值 $\vert zw\vert^2$ 。

问题 9

设 $x$ 和 $y$ 为实数，且 $\frac{\sin x}{\sin y} = 3$ 和 $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac12$ 。的值 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可以表示为形式 $\frac pq$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 10

$n$ 找出小于的正整数的数量 $1000$ ，使得存在一个正实数， $x$ 使得 $n=x\lfloor x \rfloor$ 。

注意： $\lfloor x \rfloor$ 是小于或等于的最大整数 $x$ 。

问题11

设 $f_1(x) = \frac23 - \frac3{3x+1}$ ，且对于 $n \ge 2$ ，定义。满足 $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x))$ 的值可以表示为的形式，其中和是互质正整数。求。 $x$ $f_{1001}(x) = x-3$ $\frac mn$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 12

对于正整数，如果的绝对值与的所有倍数相差大于，则 $p$ 定义该正整数 $n$ 为 $p$ -安全。例如，-安全数字集为。找出小于或等于的正整数的数量，这些正整数同时为-安全、-安全和-安全。 $n$ $2$ $p$ $10$ $\{ 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 23, \ldots\}$ $10,000$ $7$ $11$ $13$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2012年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2012年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

求出具有三个不一定不同的数字的正整数的数量， $abc$ 其中和 $a \neq 0$ ，并且和 $c \neq 0$ 都是的倍数。 $abc$ $cba$ $4$

问题 2

等差数列的项加起来为 $715$ 。数列的第一项增加 $1$ ，第二项增加 $3$ ，第三项增加 $5$ ，一般来说， $k$ 第项增加 $k$ 第奇数个正整数。新数列的项加起来为 $836$ 。求原数列第一项、最后一项和中间项的和。

问题 3

九个人坐下来吃饭，有三种餐点可供选择。三个人点了牛肉餐，三个人点了鸡肉餐，三个人点了鱼肉餐。服务员以随机顺序提供九种餐点。求出服务员为九个人提供餐点的方式数量，使得只有一个人收到他点的餐点。

问题4

布奇和桑德斯需要离开道奇。为了尽快出发，他们轮流步行和骑着他们唯一的马斯帕基，如下所示。布奇先步行，桑德斯骑马。当桑德斯到达沿途每隔一英里就有一个拴马桩时，他把斯帕基拴在桩上，然后开始步行。布奇到达斯帕基时，他骑马直到经过桑德斯，然后在下一个拴马桩留下斯帕基，继续步行，就这样继续下去。斯帕基、布奇和桑德斯的步行速度分别为 $6,$ $4,$ 和 $2.5$ 英里每小时。布奇和桑德斯第一次在里程碑处相遇时，他们 $n$ 距离道奇有数英里，并且已经旅行了 $t$ 几分钟。求 $n + t$ 。

问题5

设是所有可以用零和一（允许前导零） $B$ 书写的二进制整数的集合。如果执行所有可能的减法，其中一个元素从另一个元素中减去，求出得到答案的次数。 $5$ $8$ $B$ $1$

问题 6

复数 $z$ 和 $w$ 满足 $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ ，且的虚部为 $z$ ， $\sin{\frac{m\pi}{n}}$ 对于互质正整数 $百万$ ， $n$ 且 $m<n.$ 查找 $n.$

问题 7

下图网络中的 16 个圆圈中，每个圆圈旁边都站着一名学生。16 $3360$ 名学生共分配了 100 枚硬币。所有学生同时将相同数量的硬币传递给网络中的每位邻居，从而将所有硬币赠送出去。交易后，所有学生的硬币数量与开始时相同。求出站在中心圆圈的学生最初拥有的硬币数量。

$[asy] 导入cse5；单位尺寸（6mm）；默认笔（线宽（.8pt））；点因子 = 8；路径笔=黑色；对 A = (0,0)；对 B = 2*dir(54)，C = 2*dir(126)，D = 2*dir(198)，E = 2*dir(270)，F = 2*dir(342)；对 G = 3.6*dir(18)，H = 3.6*dir(90)，I = 3.6*dir(162)，J = 3.6*dir(234)，K = 3.6*dir(306)；对 M = 6.4*dir(54)，N = 6.4*dir(126)，O = 6.4*dir(198)，P = 6.4*dir(270)，L = 6.4*dir(342)；对[]点状 = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P};D(A--B--H-- M); D(A--C--H--N); D(A--F--G--L); D(A--E--K--P); D(A-- D--J--O); D(B--G--M); D(F--K--L); D(E--J--P); D(O--I-- D); D(C--I--N); D(L--M--N--O--P--L); 点（虚线）；[/asy]$

问题 8

$ABCDEFGH,$ 如下所示的立方体，其边长为，被一个通过顶点和中点和的 $1$ 平面切割。该平面将立方体分成两个立体。两个立体中较大立体的体积可以写成如下形式，其中和是互质正整数。求 $D$ $M$ $N$ $\overline{AB}$ $\overline{CG}$ $\tfrac{p}{q},$ $p$ $q$ $p+q.$

$[asy]import cse5; unitize(10mm); pathpen=black; dotfactor=3; pair A = (0,0), B = (3.8,0), C = (5.876,1.564), D = (2.076,1.564), E = (0,3.8), F = (3.8,3.8), G = (5.876,5.364), H = (2.076,5.364), M = (1.9,0), N = (5.876,3.465); pair[] dotted = {A,B,C,D,E,F,G,H,M,N}; D(A--B--C--G--H--E--A); D(E--F--B); D(F--G); pathpen=dashed; D(A--D--H); D(D--C); dot(dotted);标签（“$A$”，A，SW）；标签（“$B$”，B，S）；标签（“$C$”，C，SE）；标签（“$D$”，D，NW）；标签（“$E$”，E，W）；标签（“$F$”，F，SE）；标签（“$G$”，G，NE）；标签（“$H$”，H，NW）；标签（“$M$”，M，S）；标签（“$N$”，N，NE）； [/asy]$

问题 9

设 $x,$ $y,$ 和 $z$ 为满足的正实数， $2\log_{x}(2y) = 2\log_{2x}(4z) = \log_{2x^4}(8yz) \ne 0.$ 的值 $xy^5z$ 可以表示为其中 $\frac{1}{2^{p/q}},$ 和 $p$ 为 $q$ 互质正整数。求 $p+q.$

问题 10

设 $\mathcal{S}$ 为底数最右边三位为的所有完全平方数的集合 $10$ 。 $256$ 设 $\mathcal{T}$ 为所有形式为的数的集合 $\frac{x-256}{1000}$ ，其中 $x$ 为中的 $\mathcal{S}$ 。换句话说， $\mathcal{T}$ 是截断中每个数的后三位后所得的数的集合 $\mathcal{S}$ 。求的第十小元素 $\mathcal{T}$ 除以后的余数 $1000$ 。

问题11

一只青蛙从开始 $P_0 = (0,0)$ ，按照以下规则进行一系列跳跃：从开始， $P_n = (x_n, y_n),$ 青蛙跳到， $P_{n+1},$ 可以是中的任何点 $（x_n + 7，y_n + 2），$ $（x_n + 2，y_n + 7），$ $（x_n-5，y_n-10），$ 或 $(x_n - 10，y_n - 5).$ 有 $M$ 点可以通过一系列这样的跳跃到达。当除以时，求 $(x, y)$ 余数 $|x| + |y| ≤ 100$ $M$ $1000 美元$

问题 12

设 $\三角形ABC$ 是直角三角形，直角位于设 $C.$ 和 $D$ 是 $E$ 上的点， $\overline{AB}$ 位于和 $D$ 之间，使得和三等分如果则可写成其中和是互质正整数，并且是不能被任何素数的平方整除的正整数。求 $A$ $E$ $\overline{CD}$ $\overline{CE}$ $\角度C.$ $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ $\tan B$ $\frac{m \sqrt{p}}{n},$ $百万$ $n$ $p$ $m+n+p.$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2013年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2013年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

假设将一天的时间测量转换为公制，这样每天有 $10$ 公制小时，每个公制小时有 $100$ 公制分钟。然后就可以生产出可以 $\text{9:99}$ 在午夜前、 $\文本{0:00}$ 午夜时、上午 $\text{1:25}$ 前 $\text{3:00}$ 和 $\text{7:50}$ 下午前读数的数字时钟 $\text{6:00}$ 。转换后，想要在上午前醒来的人 $\text{6:36}$ 可以将他的新数字闹钟设置为 $\text{A:BC}$ ，其中 $\text{A}$ ， $\text{B}$ 和 $\text{C}$ 是数字。求 $100\text{A}+10\text{B}+\text{C}$ 。

问题 2

正整数 $a$ ，并 $b$ 满足条件 $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ 求出所有可能值的总和 $a+b$ 。

问题 3

一根大蜡烛 $119$ 高厘米。它被设计成在刚点燃时燃烧得更快，在接近底部时燃烧得更慢。具体来说，蜡烛 $10$ 从顶部燃烧第一厘米需要秒， $20$ 燃烧第二厘米需要秒， $10,000$ 燃烧第 - 厘米需要秒。假设蜡烛完全燃烧 $k$ 需要秒。那么点燃后几秒，蜡烛的高度（以厘米为单位）为。求。 $T$ $\tfrac{T}{2}$ $h$ $10小时$

问题4

在笛卡尔平面中设 $A = (1,0)$ 和。构造 $B = \left( 2, 2\sqrt{3} \right)$ 等边三角形，使得位于第一象限。设是的中心。则可写成，其中和是互质正整数，是不能被任何素数的平方整除的整数。求。 $ABC$ $加元$ $P=(x,y)$ $\三角形ABC$ $x \cdot y$ $\tfrac{p\sqrt{q}}{r}$ $p$ $r$ $q$ $p+q+r$

问题5

在等边形中 $\三角形ABC$ 设点 $D$ 和 $E$ 三等分 $\overline{BC}$ 。则可 $\sin(\angle DAE)$ 表示为形式 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 为互质正整数，为 $b$ 不能被任何素数的平方整除的整数。求 $a+b+c$ 。

问题 6

寻找最小正整数，使得以开头的连续整数 $N$ 集不包含整数的平方。 $1000$ $1000\cdot N$

问题 7

一组办事员被分配了整理文件的任务 $1775$ 。每个办事员每小时以恒定的速度整理 $30$ 文件。在第一个小时结束时，一些办事员被重新分配到另一项任务；在第二个小时结束时，相同数量的剩余办事员也被重新分配到另一项任务，在第三个小时结束时也会进行类似的分配。该组在 $3$ 几小时和 $10$ 几分钟内完成了整理工作。求在第一个半小时内整理的文件数量。

问题 8

一个内接于圆的六边形的边长依次为 $22$ 、 $22$ 、 $20$ 、 $22$ 、 $22$ 和 $20$ 。圆的半径可以写成 $p+\sqrt{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为正整数。求 $p+q$ 。

问题 9

棋盘上 $7\乘以 1$ 完全铺满了 $m\times 1$ 没有重叠的瓷砖；每块瓷砖可以覆盖任意数量的连续方格，每块瓷砖都完全位于棋盘上。每块瓷砖要么是红色的，要么是蓝色的，要么是绿色的。设 $N$ 为棋盘上至少使用过一次三种颜色的瓷砖的数量 $7\乘以 1$ 。例如， $1\乘以 1$ 红色瓷砖后面跟着 $2\乘以 1$ 绿色瓷砖、 $1\乘以 1$ 绿色瓷砖、 $2\乘以 1$ 蓝色瓷砖和 $1\乘以 1$ 绿色瓷砖，这是有效的瓷砖。请注意，如果 $2\乘以 1$ 用两个蓝色瓷砖替换蓝色瓷砖 $1\乘以 1$ ，则会导致不同的瓷砖。当 $N$ 除以时，求余数 $1000$ 。

问题 10

给定一个半径为的圆 $\sqrt{13}$ ，设 $A$ 为距圆心的点 $4 + \sqrt{13}$ 。 $O$ 设 $B$ 为圆上离点最近的点 $A$ 。过该点的直线与 $A$ 圆相交于点 $K$ 和 $L$ 。的最大可能面积 $\三角形BKL$ 可以写成的形式 $\frac{a - b\sqrt{c}}{d}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 为正整数， $a$ 且 $d$ 为互质，且不 $c$ 能被任何质数的平方整除。求 $a+b+c+d$ 。

问题11

设，设为集合中函数的个数，使得 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 为常数函数。求除以时的余数。 $N$ $f$ $A$ $A$ $f(f(x))$ $N$ $1000$

问题 12

设 $S$ 为所有形式为的多项式的集合 $z^3 + az^2 + bz + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为整数。求出中的多项式个数 $S$ ，使得其每个根 $z$ 满足 $|z| = 20$ 或 $|z| = 13$ 。

问题 13

在中 $\三角形ABC$ ，，且上的 $AC = BC$ 点为，使得。设为的中点。已知和，的面积可表示为的形式，其中和为正整数，且不能被任何素数的平方整除。求。 $D$ $\overline{BC}$ $CD = 3\cdot BD$ $E$ $\overline{AD}$ $CE = \sqrt{7}$ $BE = 3$ $\三角形ABC$ $m\sqrt{n}$ $百万$ $n$ $n$ $m+n$

问题14

对于正整数 $n$ 和 $k$ ，设为除以 $f(n, k)$ 时的余数，设为。求除以时的余数。 $n$ $k$ $n> 1$ $F(n) = \max_{\substack{1\le k\le \frac{n}{2}}} f(n, k)$ $\sum\limits_{n=20}^{100} F(n)$ $1000$

问题15

设 $A,B,C$ 是锐角三角形的内角， $\begin{align*} \cos^2 A + \cos^2 B + 2 \sin A \sin B \cos C &= \frac{15}{8} \text{ 和} \\ \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \sin B \sin C \cos A &= \frac{14}{9} \end{align*}$ 有正整数 $p$ ，，，和，其中和互质， $q$ 不能被任何质数的平方整除。求。 $r$ $s$ $\cos^2 C + \cos^2 A + 2 \sin C \sin A \cos B = \frac{pq\sqrt{r}}{s},$ $p+q$ $s$ $r$ $p+q+r+s$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2013年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2013年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

AIME 铁人三项赛包括半英里游泳、30 英里自行车骑行和八英里跑步。汤姆以恒定的速度游泳、骑自行车和跑步。他的跑步速度是游泳速度的五倍，骑自行车的速度是跑步速度的两倍。汤姆在四个半小时内完成了 AIME 铁人三项赛。他骑自行车花了多少分钟？

问题 2

$n$ 求出满足以下条件的五位正整数的数量：

（a）该数字 $n$ 可以被整除 $5,$ （b）的首位数字和末位数字 $n$ 相等，并且（c）的数字 $n$ 之和可以被整除 $5 美元$

问题 3

设 $ABCD$ 是一个正方形，设和 $E$ 分别是和 $F$ 上的点。过平行线和过平行线的线将正方形分成两个正方形和两个非正方形的矩形。两个正方形的面积之和为正方形的面积求 $\overline{AB}$ $\overline{BC},$ $E$ $\overline{BC}$ $F$ $\overline{AB}$ $ABCD$ $\frac{9}{10}$ $ABCD.$ $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

问题4

在下面显示的正方形数组中 $13$ ， $8$ 正方形被涂成红色，其余 $5$ 正方形被涂成蓝色。如果随机选择所有可能的颜色之一，则所选颜色数组在 $90^{\circ}$ 围绕中心正方形旋转时出现相同的概率为 $\frac{1}{n}$ ，其中 $n$ 为正整数。求 $n$ 。

$[asy] 绘制((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--(0,0)); 绘制((2,0)--(2,2)--(3,2)--(3,0)--(3,1)--(2,1)--(4,1)--(4,0)--(2,0)); 绘制((1,2)--(1,4)--(0,4)--(0,2)--(0,3)--(1,3)--(-1,3)--(-1,2)--(1,2)); 绘制((-1,1)--(-3,1)--(-3,0)--(-1,0)--(-2,0)--(-2,1)--(-2,-1)--(-1,-1)--(-1,1));绘制（（0，-1）--（0，-3）--（1，-3）--（1，-1）--（1，-2）--（0，-2）--（2，-2）--（2，-1）--（0，-1））；大小（100）；[/asy]$

问题5

该方程的实数根 $8x^3-3x^2-3x-1=0$ 可以写成的形式 $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 为正整数。求 $a+b+c$ 。

问题 6

梅琳达有三个空盒子和 $12$ 教科书，其中三本是数学教科书。一个盒子可以装她的任意三本教科书，一个盒子可以装她的任意四本教科书，一个盒子可以装她的任意五本教科书。如果梅琳达以随机顺序将她的教科书装入这些盒子，那么所有三本数学教科书最终都装在同一个盒子中的概率可以写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 7

一个矩形盒子的宽度为 $12$ 英寸，长度为 $16$ 英寸，高度为 $\frac{m}{n}$ 英寸，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。盒子的三个面在盒子的一个角相交。这三个面的中心点是面积为 $30$ 平方英寸的三角形的顶点。求 $m+n$ 。

问题 8

函数的定义域 $f(x) = \arcsin(\log_{m}(nx))$ 是长度为的一个闭区间 $\frac{1}{2013}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数和。求除以 $m> 1$ 后的最小可能和的余数。 $m+n$ $1000$

问题 9

一个纸质等边三角形， $ABC$ 边长为 $12$ 。将纸质三角形折叠起来，使顶点与距离的 $A$ 边上的一点相切。折叠三角形所沿的线段长度可以写成，其中、和为正整数，和互质，且不能被任何质数的平方整除。求。 $\overline{BC}$ $9$ $B$ $\frac{m\sqrt{p}}{n}$ $百万$ $n$ $p$ $百万$ $n$ $p$ $m+n+p$

$[asy] 导入 cse5; 大小(12cm); 笔 tpen = defaultpen + 1.337; 实际 a = 39/5.0; 实际 b = 39/7.0; 对 B = MP("B", (0,0), dir(200)); 对 A = MP("A", (9,0), dir(-80)); 对 C = MP("C", (12,0), dir(-20)); 对 K = (6,10.392); 对 M = (a*B+(12-a)*K) / 12; 对 N = (b*C+(12-b)*K) / 12; 绘制(B--M--N--C--cycle, tpen); 绘制(M--A--N--cycle); 填充(M--A--N--cycle, mediumgrey); 对 shift = (-20.13, 0);对 B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); 对 A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); 对 C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]$

问题 10

有非零整数 $a$ 、 $b$ 、 $r$ 和， $s$ 使得复数 $r+si$ 是多项式的零点。对于和 $P(x)={x}^{3}-a{x}^{2}+bx-65$ 的每种可能组合，设为的零点之和。求和的所有可能组合的之和。 $a$ $b$ ${p}_{a,b}$ $P(x)$ ${p}_{a,b}$ $a$ $b$

问题11

Math 女士的幼儿园班级有 $16$ 注册学生。教室里有非常多的积木， $N$ 满足以下条件：

（a）如果班上有、或名学生，则在每种情况下，所有的积木都可以平等地分配给每个学生 $16$ ， $15$ 并且 $14$

(b) 有三个整数 $0<x<y<z<14$ ，当有 $x$ 、 $y$ 或名 $z$ 学生在场，并将积木数量相等地分配给每个学生时，恰好剩下三块积木。

$N$ 找出满足上述条件的最小可能值的不同素因数的和。

问题 12

设 $\bigtriangleup PQR$ 为三角形， $\角度 P = 75^o$ 且。在内画 $\角度 Q = 60^o$ 一个边长为 1 的正六边形，使边位于上，边位于上，其余顶点之一位于上。有正整数和，使得的面积可以表示为的形式，其中和互质，且 c 不能被任何质数的平方整除。求。 $ABCDEF$ $\三角PQR$ $\overline{AB}$ $\overline{PQ}$ $\overline{CD}$ $\overline{QR}$ $\overline{RP}$ $a,b,c,$ $d$ $\三角PQR$ $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ $a$ $d$ $a+b+c+d$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2014年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

Abe 可以在 15 小时内粉刷完房间，Bea 的粉刷速度比 Abe 快 50%，而 Coe 的粉刷速度是 Abe 的两倍。Abe 开始粉刷房间，前一个半小时他独自工作。然后 Bea 加入 Abe，他们一起工作，直到粉刷完一半的房间。然后 Coe 加入 Abe 和 Bea，他们一起工作，直到粉刷完整个房间。求出 Abe 开始工作后他们三个人完成粉刷房间所需的分钟数。

问题 2

阿诺德正在研究男性群体中三个健康风险因素（分别表示为 A、B 和 C）的流行程度。对于这三个因素中的每一个，在群体中随机选择的一名男性只具有这一个风险因素（而没有其他风险因素）的概率为 0.1。对于这三个因素中的任意两个，随机选择的一名男性恰好具有这两个风险因素（但没有第三个风险因素）的概率为 0.14。假设一名随机选择的男性具有 A 和 B，则他同时具有所有三个风险因素的概率为 $\frac{1}{3}$ 。假设一名男性没有风险因素 A，则他同时不具有这三个风险因素中的任何一个的概率为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 3

一个矩形的边长为 $a$ 和 36。在矩形的每个顶点以及每条边长为 36 的中点处都安装了一个铰链。 $a$ 可以将长度为的边压向彼此，使这两条边保持平行，这样矩形就变成了如图所示的凸六边形。当图形为六边形，且长度为的边 $a$ 平行且相距 24 时，六边形的面积与原始矩形相同。求 $a^2$ 。

$[asy] 对 A、B、C、D、E、F、R、S、T、X、Y、Z；dotfactor = 2；unitsize(.1cm)；A = (0,0);B = (0,18);C = (0,36);//不要看这里D = (12*2.236, 36);E = (12*2.236, 18);F = (12*2.236, 0);draw(A--B--C--D--E--F--cycle);dot(" ",A,NW);dot(" ",B,NW);dot(" ",C,NW);dot(" ",D,NW);dot(" ",E,NW);dot(" ",F,NW);//不要看这里R = (12*2.236 +22,0); S = (12*2.236 + 22 - 13.4164,12); T = (12*2.236 + 22,24); X = (12*4.472+ 22,24); Y = (12*4.472+ 22 + 13.4164,12); Z = (12*4.472+ 22,0); draw(R--S--T--X--Y--Z--cycle); dot(" ",R,NW); dot(" ",S,NW); dot(" ",T,NW); dot(" ",X,NW); dot(" ",Y,NW); dot(" ",Z,NW); // sqrt180 = 13.4164 // sqrt5 = 2.236[/asy]$

问题4

循环小数 $0.abab\overline{ab}$ 并 $0.abcabc\overline{abc}$ 满足

$0.abab\overline{ab}+0.abcabc\overline{abc}=\frac{33}{37},$

其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是（不一定是不同的）数字。求三位数 $abc$ 。

问题5

实数 $r$ 和 $s$ 是的根 $p(x)=x^3+ax+b$ ，而 $r+4$ 和 $s-3$ 是的根 $q(x)=x^3+ax+b+240$ 。求出所有可能值的和 $|b|$ 。

问题 6

查尔斯有两个六面骰子。其中一个骰子是公平的，另一个骰子有偏差，因此它出现六的概率为， $\frac{2}{3}$ 而其他五个面的概率均为 $\frac{1}{15}$ 。查尔斯随机选择两个骰子中的一个并掷三次。假设前两次掷出的都是六，那么第三次掷出的也是六的概率为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 7

设 $f(x)=(x^2+3x+2)^{\cos(\pi x)}$ 。求出所有正整数的和， $n$ 满足 $\left |\sum_{k=1}^n\log_{10}f(k)\right|=1.$

问题 8

半径 $加元$ 为2的圆直径为 $\overline{AB}$ 。圆 $D$ 在处内切于圆 $加元$ 。 $A$ 圆 $E$ 内切于圆 $加元$ ，外切于圆 $D$ ，并切于 $\overline{AB}$ 。圆的半径 $D$ 是圆半径的三倍 $E$ ，可以写成的形式 $\sqrt{m}-n$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 为正整数。求 $m+n$ 。

问题 9

十把椅子围成一圈。求这组椅子中至少包含三把相邻椅子的子集的数量。

问题 10

设 $z$ 为复数，且。 $|z|=2014$ 设 $P$ 为复平面上的多边形，其顶点为， $z$ 且， $w$ 使得 $\frac{1}{z+w}=\frac{1}{z}+\frac{1}{w}$ 。则所围面积 $P$ 可写成的形式 $n\sqrt{3}$ ，其中 $n$ 为整数。求 $n$ 除以后的余数。 $1000$

问题11

在中 $\triangle 红色$ ， $\measuredangle DRE=75^{\circ}$ 且 $\measuredangle RED=45^{\circ}$ 。 $RD=1$ 设 $M$ 为线段的中点 $\overline{RD}$ 。点 $加元$ 位于边， $\overline{ED}$ 使得 $\overline{RC}\perp\overline{EM}$ 。延伸线段 $\overline{DE}$ 至 $E$ 点， $A$ 使得 $CA=AR$ 。则 $AE=\frac{a-\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 和 $c$ 为互质正整数，且 $b$ 为正整数。求 $a+b+c$ 。

问题 12

假设的角 $\三角形ABC$ 满足 $\cos(3A)+\cos(3B)+\cos(3C)=1$ 。三角形的两条边的长度分别为 10 和 13。存在一个正整数 $百万$ ，使得剩余一条边的最大可能长度为 $\三角形ABC$ 。 $\sqrt{m}$ 求 $百万$ 。

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2014年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

问题 1

运动鞋鞋带的 8 个鞋眼都位于一个矩形上，长边上各有 4 个鞋眼，间距相等。矩形宽 50 毫米，长 80 毫米。矩形的每个顶点都有一个鞋眼。鞋带本身必须沿着矩形的一条宽边穿过顶点鞋眼，然后在连续的鞋眼之间交叉，直到到达矩形另一条宽边的两个鞋眼，如图所示。穿过最后的鞋眼后，鞋带的每一端必须延伸至少 200 毫米，以便打结。求出鞋带的最小长度（以毫米为单位）。

$[asy] 尺寸（200）；默认笔（线宽（0.7））；路径 laceL=（-20，-30）..张力 0.75 ..（-90，-135）..（-102，-147）..（-152，-150）..张力 2 ..（-155，-140）..（-135，-40）..（-50，-4）..张力 0.8 ..原点；路径 laceR=reflect（（75,0），（75，-240））*laceL；绘制（原点--（0，-240）--（150，-240）--（150,0）--循环，灰色）； for(int i=0;i<=3;i=i+1) { path circ1=circle((0,-80*i),5),circ2=circle((150,-80*i),5); unfill(circ1); draw(circ1); unfill(circ2); draw(circ2); } draw(laceL--(150,-80)--(0,-160)--(150,-240)--(0,-240)--(150,-160)--(0,-80)--(150,0)^^laceR,linewidth(1));[/asy]$

问题 2

一个瓮里有 $4$ 绿球和 $6$ 蓝球。另一个瓮里有 $16$ 绿球和 $N$ 蓝球。从每个瓮中随机抽取一个球。两个球颜色相同的概率是 $0.58$ 。求 $N$ 。

问题 3

求有理数的数量 $r$ ， $0<r<1,$ 当 $r$ 写成最低项的分数时，分子与分母的和为 $1000$ 。

问题4

乔恩和史蒂夫沿着一条与东西方向两条并排的火车轨道平行的路径骑自行车。乔恩以 $20$ 每小时英里的速度向东骑行，史蒂夫以 $20$ 每小时英里的速度向西骑行。两列长度相等的火车以恒定但不同的速度向相反的方向行驶，每列火车都经过这两名乘客。每列火车经过 $1$ 乔恩的时间恰好是分钟。西行的火车经过 $10$ 史蒂夫的时间与东行的火车一样长。每列火车的长度为 $\tfrac{m}{n}$ 英里，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题5

假设集合 $S = \{P_1, P_2, \dots, P_{12}\}$ 由一个正边形的十二个顶点组成 $12$ 。如果存在一个圆，使得的所有点都在圆内，而的所有不在圆内的点都在圆外，则 $Q$ 的子集被称为公有子集。有多少个公有子集？（请注意，空集是公有子集。） $S$ $Q$ $S$ $Q$

问题 6

图 $y = 3(xh)^2 + j$ 和的 $y = 2(xh)^2 + k$ y 截距分别为 $2013$ 和 $2014$ ，且每个图都有两个正整数 x 截距。求 $h$ 。

问题 7

设 $w$ 和 $z$ 为复数，且 $|w| = 1$ 和 $|z| = 10$ 。设 $\theta = \arg \left(\tfrac{wz}{z}\right)$ 。的最大可能值 $\tan^2 \theta$ 可以写成 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 。（注意 $\arg(w)$ ，对于，表示从到 $w \neq 0$ 的射线与复平面中的正实轴所成的角度的度数。） $0$ $w$

问题 8

正整数 $N$ 和以十进制表示时， $N^2$ 结尾都是相同的四位数序列，其中数字不为零。求三位数。 $abcd$ $a$ $abc$

问题 9

设 $x_1<x_2<x_3$ 是方程的三个实根 $\sqrt{2014} x^3 - 4029x^2 + 2 = 0$ 。求 $x_2(x_1+x_3)$ 。

问题 10

半径为的圆盘与 $1$ 半径为的圆盘外切 $5$ 。设 $A$ 为圆盘切点， $加元$ 为小圆盘中心， $E$ 为大圆盘中心。大圆盘保持不动，小圆盘可以沿大圆盘外侧滚动，直到小圆盘旋转的角度。 $360^\circ$ 也就是说，如果小圆盘中心移动到点 $D$ ，小圆盘上从开始的点 $A$ 现在移动到点 $B$ ，则 $\overline{AC}$ 平行于 $\overline{BD}$ 。然后 $\sin^2(\angle BEA)=\tfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题11

$(0,0)$ 一个标记从 - 坐标网格的点开始 $xy$ ，然后进行六次移动。每次移动都是在与其中一个坐标轴平行的方向上移动 1 个单位。每次移动都是从四个可能的方向中随机选择的，并且与其他移动无关。标记在图形上某个点结束的概率 $|y|=|x|$ 是 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 12

设 $A=\{1,2,3,4\}$ ，和 $f$ 和是从到 $g$ 随机选取的（不一定不同）函数。的范围和的范围不相交的概率为，其中和是互质正整数。求。 $A$ $A$ $f$ $g$ $\tfrac{m}{n}$ $百万$ $n$ $百万$

问题 13

在正方形上 $ABCD$ ，点 $E,F,G$ 、和分别 $H$ 位于边 $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},$ 和上 $\overline{DA},$ ，使得 $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ 和 $EG=FH = 34$ 。线段 $\overline{EG}$ 和 $\overline{FH}$ 相交于点，四边形和 $P$ 的面积比为求正方形的面积。 $AEPH、BFPE、CGPF,$ $DHPG$ $269:275:405:411.$ $ABCD$

$[asy] 对 A = (0,sqrt(850));对 B = (0,0)；对 C = (sqrt(850),0);对 D = (sqrt(850),sqrt(850));绘制（A--B--C--D--循环）；点因子 = 3；点(“$A$”,A,dir(135));点(“$B$”,B,dir(215));点(“$C$”,C,dir(305));点(“$D$”,D,dir(45));对 H = ((2sqrt(850)-sqrt(306))/6,sqrt(850));对 F = ((2sqrt(850)+sqrt(306)+7)/6,0);点(“$H$”,H,dir(90));点（“$F$”，F，dir（270））；绘制（H--F）；对 E = (0，（sqrt（850）-6）/2）；对 G = (sqrt（850） ,(sqrt(850)+sqrt(100))/2); 点("$E$",E,dir(180)); 点("$G$",G,dir(0)); 绘制( E--G); 对 P = 扩展（H，F，E，G）；点（“$P$”，P，dir（60））；标签（“$w$”，交点（A--P , E--H )); 标签("$x$", 交点( B--P, E--F )); 标签("$y$", 交点( C--P, G--F ) ); 标签("$z$", 交点( D--P, G--H ));[/asy]$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2015年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2015年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

设为既比一个整数小百分之几又比另一个整数大百分之几 $N$ 的最小正整数。求除以时的余数。 $22$ $16$ $N$ $1000$

问题 2

在一所新学校中， $40$ 百分之的学生是新生， $30$ 百分之是二年级学生， $20$ 百分之是三年级学生， $10$ 百分之是四年级学生。所有新生都必须选修拉丁语， $80$ 百分之的二年级学生、 $50$ 百分之的三年级学生和 $20$ 百分之的四年级学生选择选修拉丁语。随机选择的拉丁学生是二年级学生的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 3

设 $百万$ 为能被整除的最小正整数， $17$ 其各位数字之和为 $17$ 。求 $百万$ 。

问题4

等腰梯形的两条平行底边的长度分别 $\log 3$ 为和 $\log 192$ ，两条底边的高的长度分别为 $\log 16$ 。梯形的周长可以写成的形式 $\log2^p3^q$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为正整数。求 $p + q$ 。

问题5

从单位正方形网格中随机不重复地选择两个单位正方形 $n \乘以 n$ 。找出最小正整数 $n$ ，使得两个选定的单位正方形水平或垂直相邻的概率小于 $\frac{1}{2015}$ 。

问题 6

史蒂夫对乔恩说：“我正在考虑一个多项式，它的根都是正整数。这个多项式的形式 $P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)xc$ 为一些正整数 $a$ 和。你能告诉我和 $c$ 的值吗？” $a$ $c$

经过一番计算，乔恩说：“这样的多项式不止一个。”

史蒂夫说：“你说得对。这是的值 $a$ 。”他写下一个正整数并问：“你能告诉我的值吗 $c$ ？”

Jon 说：“ 仍然有两个可能的值 $c$ 。”

求出的两个可能值的总和 $c$ 。

问题 7

三角形 $ABC$ 的边长 $AB = 12$ 为、 $BC 美元 = 25 美元$ 和 $加元 = 17美元$ 。矩形的 $PQRS$ 顶点 $P$ 在 $\overline{AB}$ ，顶点 $Q$ 在 $\overline{AC}$ ，顶点 $R$ 和 $S$ 在 $\overline{BC}$ 。就边长而言 $PQ = w$ ，的面积 $PQRS$ 可以表示为二次多项式

$\text{面积}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.$

然后系数 $\beta = \frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 8

设 $a$ 和 $b$ 为满足的正整数 $\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$ 。的最大可能值为 $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ ， $\frac{p}{q}$ 其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 9

一个圆柱形桶，桶半径为 $4$ 英尺，高度为英尺，桶内 $10$ 装满水。将一个边长为 $8$ 英尺的立方体放入桶中，使立方体的对角线垂直。这样排出的水的体积为 $v$ 立方英尺。求 $v^2$ 。

$[asy] 导入三个；导入固体；尺寸（5cm）；当前投影=正交（1，-1/6,1/6）；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,360）），白色，无光）；三重A =（8*sqrt（6）/3,0,8*sqrt（3）/3），B = (-4*sqrt（6）/3,4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），C = (-4*sqrt（6）/3,-4*sqrt（2），8*sqrt（3）/3），X = (0,0，-2*sqrt（2））；绘制（X--X+A--X+A+B--X+A+B+C）；绘制（X--X+B--X+A+B）；绘制（X--X+C--X+A+C--X+A+B+C）；绘制（X+A--X+A+C）；绘制（X+C--X+C+B--X+A+B+C，线型（“2 4”））；绘制（X+B--X+C+B，线型（“2 4”））；绘制（表面（旋转（（0,0,0），（-2，-2*sqrt（3），0）--（-2，-2*sqrt（3），-10），Z，0,240）），白色，无光）；绘制（（-2，-2*sqrt（3），0）..（4,0,0）..（-2,2*sqrt（3），0））；绘制((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..( 4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0));绘制((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4")); [/asy]$

问题 10

如果对于每个，则称 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 整数的排列 $1, 2, \ldots, n$ 为准增排列。例如，和是整数的准增排列，但不是。求整数的准增排列的数量。 $a_k \leq a_{k+1} + 2$ $1 \leq k \leq n-1$ $53421$ $14253$ $1、2、3、4、5 美元$ $45123$ $1, 2, \ldots, 7$

问题11

锐角的外接圆 $\三角形ABC$ 有中心 $O$ 。通过点的 $O$ 垂直线与线和分别在和 $\overline{OB}$ 相交。此外，，，和，其中和是互质正整数。求。 $AB$ $BC$$ $P$ $Q$ $AB=5$ $BC=4$ $BQ=4.5$ $BP=\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 12

$2^{10} = 1024$ 可能存在 $10$ -字母字符串，其中每个字母都是 A 或 B。找出此类字符串中不包含超过个 $3$ 相邻相同字母的数量。

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2015年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2015年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

表达式 $A$ = $1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + \cdots + 37 \times 38 + 39$ 和 $B$ =是通过在连续整数之间交替写入乘法和加法运算符而得到的。求整数和 $1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times 39$ 之间的正差。 $A$ $B$

问题 2

经济合作会议的九名代表包括 $2$ 墨西哥、 $3$ 加拿大和 $4$ 美国的官员。在开幕式上，有三名代表睡着了。假设三名睡着者是随机确定的，那么恰好两名睡着者来自同一个国家的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 3

存在一个素数 $p$ ，使得 $16p+1$ 是某个正整数的立方。求 $p$ 。

问题4

点 $B$ 位于线段 $\overline{AC}$ 和 $AB=16$ 上 $BC=4$ 。点 $D$ 和 $E$ 位于线的同一侧， $AC$ 形成等边三角形 $\三角形ABD$ 和 $\triangle BCE$ 。设 $M$ 为的中点 $\overline{AE}$ ， $N$ 为的中点 $\overline{CD}$ 。的面积 $\三角形BMN$ 为 $x$ 。求 $x^2$ 。

问题5

桑迪的抽屉里有 $5$ 几双袜子，每双颜色不同。星期一，桑迪 $10$ 从抽屉里的袜子中随机挑选两只袜子。星期二，桑迪随机挑选 $2$ 剩下的 $8$ 袜子，星期三，桑迪 $6$ 随机挑选剩下的两只袜子。星期三是桑迪第一次挑选匹配袜子的概率是 $\frac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 6

点 $A,B,C,D,$ 和 $E$ 等距分布在一个圆的优弧上。点 $E,F,G,H,I$ 和 $A$ 等距分布在第二个圆的优弧上，圆心 $加元$ 如下图所示。角度 $\角度ABD$ 超过 $\角度AHG$ 。 $12^\circ$ 求度数 $\角度袋$ 。

$[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,I,O; O=(0,0); C=dir(90); B=dir(70); A=dir(50); D=dir(110); E=dir(130); draw(arc(O,1,50,130)); real x=2*sin(20*pi/180); F=x*dir(228)+C; G=x*dir(256)+C; H=x*dir(284)+C; I=x*dir(312)+C; draw(arc(C,x,200,340)); label("$A$",A,dir(0)); label("$B$",B,dir(75)); label("$C$",C,dir(90)); label("$D$",D,dir(105));标签(“$E$”,E,目录(180));标签(“$F$”,F,目录(225));标签（“$G$”，G，目录（260））；标签(“$H$”,H,目录(280));标签(“$I$”,I,dir(315));[/asy]$

问题 7

下图中， $ABCD$ 为正方形。点 $E$ 为的中点 $\overline{AD}$ 。点 $F$ 和 $黄金$ 分别位于上 $\overline{CE}$ ，和 $H$ 分别 $J$ 位于 $\overline{AB}$ 和上 $\overline{BC}$ ，故为 $FGHJ$ 正方形。点 $K$ 和 $L$ 分别位于上 $\overline{GH}$ ，和 $M$ 分别 $N$ 位于 $\overline{AD}$ 和上 $\overline{AB}$ ，故 $吉隆坡$ 为正方形。的面积 $吉隆坡$ 为 99。求的面积 $FGHJ$ 。

$[asy] 对 A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N; B=(0,0); real m=7*sqrt(55)/5; J=(m,0); C=(7*m/2,0); A=(0,7*m/2); D=(7*m/2,7*m/2); E=(A+D)/2; H=(0,2m); N=(0,2m+3*sqrt(55)/2); G=foot(H,E,C); F=foot(J,E,C); draw(A--B--C--D--cycle); draw(C--E); draw(G--H--J--F); 对 X=foot(N,E,C); M=extension(N,X,A,D); K=foot(N,H,G); L=foot(M,H,G);画(K--N--M--L);标签（“$A$”，A，NW）；标签（“$B$”，B，SW）；标签（“$C$”，C，SE）；标签（“$D$”，D，NE）；标签（“$E$”，E，目录（90））；标签（“$F$”，F，NE）；标签（“$G$”，G，NE）；标签（“$H$”，H，W）；标签（“$J$”，J，S）；标签（“$K$”，K，SE）；标签（“$L$”，L，SE）；标签(“$M$”,M,目录(90));标签(“$N$”,N,dir(180)); [/asy]$

问题 8

对于正整数 $n$ ，设 $s(n)$ 表示的数字之和 $n$ 。找出满足的最小正整数 $s(n) = s(n+864) = 20$ 。

问题 9

设为 $S$ 所有的有序整数三元组的集合。中的每个有序三元组都根据的规则生成一个序列。求出其中某些的序列的数量。 $(a_1,a_2,a_3)$ $1 ≤ a_1,a_2,a_3 ≤ 10$ $S$ $a_n=a_{n-1}\cdot | a_{n-2}-a_{n-3} |$ $n\ge 4$ $a_n=0$ $n$

问题 10

设是满足Find 的 $f(x)$ 实系数的三次多项式。 $|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=|f(5)|=|f(6)|=|f(7)|=12.$ $|f(0)|$

问题11

三角形的 $ABC$ 边长为正整数，且 $AB=AC$ 。设为和 $我$ 的角平分线的交点。假设。求的最小可能周长。 $\角度B$ $\角度C$ $BI=8$ $\三角形ABC$

问题 12

考虑集合的所有 1000 个元素子集 $\{ 1, 2, 3, ... , 2015 \}$ 。从每个这样的子集中选择最小元素。所有这些最小元素的算术平均值为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $p + q$ 。

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2016年 AIME II 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME II 数学邀请赛真题

问题 1

最初，亚历克斯、贝蒂和查理共有 $444$ 花生。查理的花生最多，亚历克斯的花生最少。每个人拥有的三个花生数量形成一个等比级数。亚历克斯吃掉 $5$ 他的花生，贝蒂吃掉 $9$ 她的花生，查理吃掉 $25$ 他的花生。现在每个人拥有的三个花生数量形成了一个等差级数。求出亚历克斯最初拥有的花生数量。

问题 2

$40\%$ 周六有下雨的概率， $30\%$ 周日也有下雨的概率。但是，如果周六下雨，周日下雨的概率是周六不下雨的两倍。本周末至少有一天下雨的概率是 $\frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。求 $a+b$ 。

问题 3

设 $x,y,$ 和 $z$ 为满足系统实数 $\begin{align*} \log_2(xyz-3+\log_5 x)&=5,\\ \log_3(xyz-3+\log_5 y)&=4,\\ \log_4(xyz-3+\log_5 z)&=4。\end{align*}$ 求出的值 $|\log_5 x|+|\log_5 y|+|\log_5 z|$ 。

问题4

一个 $a \乘以 b \乘以 c$ 矩形盒子由单位立方体构成 $a \cdot b \cdot c$ 。每个单位立方体的颜色为红色、绿色或黄色。与盒子表面平行 $a$ 的每层大小恰好包含红色立方体、绿色立方体和一些黄色立方体。与盒子表面平行的每层大小恰好包含绿色立方体、黄色立方体和一些红色立方体。求出盒子的最小可能体积。 $1 \乘以 b \乘以 c$ $(b\乘以c)$ $9$ $12$ $b$ $a \times 1 \times c$ $(a \times c)$ $20$ $25$

问题5

三角形 $ABC_0$ 在处有一个直角 $C_0$ 。其边长是两两互质的正整数，其周长为 $p$ 。设 $C_1$ 为的高脚到 $\overline{AB}$ ，对于 $n \geq 2$ ，设为中 $C_n$ 的高脚到。和。求。 $\overline{C_{n-2}B}$ $\三角形 C_{n-2}C_{n-1}B$ $\sum_{n=2}^\infty C_{n-2}C_{n-1} = 6p$ $p$

问题 6

对于多项式 $P(x)=1-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x^{2}$ ，定义 $Q(x)=P(x)P(x^{3})P(x^{5})P(x^{7})P(x^{9})=\sum_{i=0}^{50} a_ix^{i}$ 。然后 $\sum_{i=0}^{50} |a_i|=\dfrac{m}{n}$ ，其中 $百万$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 。

问题 7

正方形 $ABCD$ 和 $EFGH$ 有共同的中心和 $\overline{AB} || \overline{EF}$ 。的面积 $ABCD$ 是2016，的面积 $EFGH$ 是较小的正整数。正方形 $IJKL$ 的构造使得它的每个顶点都位于的边上 $ABCD$ ，而的每个顶点都 $EFGH$ 位于的边上 $IJKL$ 。求出面积的最大值和最小值之间的差值 $IJKL$ 。

问题 8

$\{a,b,c\}$ 求出具有以下性质的三个不同正整数集的数量： $a,b,$ 和的乘积 $c$ 等于 $11,21,31,41,51,$ 和的乘积 $61$ 。

问题 9

正整数序列 $1，a_2，a_3，...$ 和 $1,b_2,b_3,...$ 分别是递增的等差序列和递增的等比序列。设 $c_n=a_n+b_n$ 。存在一个整数 $k$ 使得 $c_{k-1}=100$ 和 $c_{k+1}=1000$ 。求 $c_k$ 。

问题 10

三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$ 。点 $P$ 和 $Q$ 位于边 $\overline{AB}$ 。 $AP<AQ$ 射线 $CP$$ 和分别在和处再次 $CQ$ 相交（除外）。若和，则，其中和为互质正整数。求。 $\omega$ $S$ $T$ $加元$ $AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,$ $AS=7$ $ST=\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题11

对于正整数 $N$ 和 $k$ ，如果存在一个正整数，并且恰好有正因数，则定义 $N$ 为-nice 。找出小于的正整数的数量，既不是-nice的也不是-nice的。 $k$ $a$ $a^{k}$ $N$ $1000$ $7$ $8$

问题 12

下图显示了一个由六个小部分组成的环，您要将其涂在墙上。您有四种油漆颜色可供选择，您将为六个部分涂上纯色。如果相邻的两个部分不能涂上相同的颜色，请找出您可以选择的涂漆方式的数量。

$[asy] 绘制（圆（（0,0），4））；绘制（圆（（0,0），3））；绘制（（0,4）--（0,3））；绘制（（0，-4）--（0，-3））；绘制（（-2.598，1.5）--（-3.4641，2））；绘制（（-2.598，-1.5）--（-3.4641，-2））；绘制（（2.598，-1.5）--（3.4641，-2））；绘制（（2.598，1.5）--（3.4641，2））；[/asy]$

以下是我们为您整理的全英版pdf真题：

扫码免费获取完整版真题+解析~~~

还可免费下载1983-2025年AIME I&II中英文真题+解析+各类题库&解析+书单等⇓

2016年 AIME I 数学邀请赛真题和答案解析

2016年 AIME I 数学邀请赛真题

问题 1

对于 $-1<r<1$ ，设 $S(r)$ 表示几何级数的和 $12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .$ 设和 $a$ 之间满足。求。 $-1$ $1$ $S(a)S(-a)=2016$ $S(a)+S(-a)$

问题 2

两个骰子看起来是普通骰子，其面数从 $1$ 到 $6$ ，但每个骰子都有权重，因此掷出数字的概率 $k$ 与成正比。这对骰子 $k$ 掷出的概率是，其中和是互质正整数。求。 $7$ $\frac{m}{n}$ $百万$ $n$ $m+n$

问题 3

正二十面体是一种 $20$ 面体，每个面都是等边三角形，五个三角形在每个顶点处相交。下图所示的正二十面体顶部有一个顶点，底部有一个顶点，上部五边形有五个顶点，所有顶点都与顶部顶点相邻且位于同一水平面上，下部五边形有五个顶点，所有顶点都与底部顶点相邻且位于另一个水平面上。求从顶部顶点到底部顶点的路径数，使得路径的每一部分都沿着二十面体的一条边向下或水平延伸，并且没有重复的顶点。 $[asy] 尺寸(3cm); 对 A=(0.05,0),B=(-.9,-0.6),C=(0,-0.45),D=(.9,-0.6),E=(.55,-0.85),F=(-0.55,-0.85),G=B-(0,1.1),H=F-(0,0.6),I=E-(0,0.6),J=D-(0,1.1),K=C-(0,1.4),L=C+KA; 绘制(A--B--F--E--D--A--E--A--F--A^^B--G--F--K--G--L--J--K--E--J--D--J--L--K);绘制（B--C--D--C--A--C--H--I--C--H--G^^H--L--I--J^^I--D^^H--B，虚线）；点（A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H^^I^^J^^K^^L）；[/asy]$

问题4

一个直棱柱，其高为， $h$ 底面为正六边形，边长为 $12$ 。 $A$ 棱柱的一个顶点和其三个相邻顶点是三角锥的顶点。棱柱底面的棱锥面与不包含的棱锥面形成的二面角（两个平面之间的角度）为 $A$ 。 $60^\circ$ 求 $h^2$ 。

问题5

Anh 读了一本书。第一天，她在几分钟 $n$ 内读完了页数 $t$ ，其中 $n$ 和 $t$ 是正整数。第二天，Anh 读了 $n + 1$ 几分钟 $t + 1$ 。此后的每一天，Anh 都比前一天多读了一页，并且她花的时间比前一天多一分钟才读完这 $374$ 本书。她总共花了 $319$ 几分钟读完这本书。求 $n + t$ 。

问题 6

在 $\三角形ABC$ 设 $我$ 是内切圆的圆心，设的角平分线 $\角度ACB$ 交 $\overline{AB}$ 于 $L$ 。过和的直线 $加元$ 与 $L$ 的外接圆相交 $\三角形ABC$ 于和两点 $加元$ 。 $D$ 若 $LI=2$ 和 $LD=3$ ，则 $IC= \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。

问题 7

对于整数 $a$ 并 $b$ 考虑复数， $\frac{\sqrt{ab+2016}}{ab+100}-\left(\frac{\sqrt{|a+b|}}{ab+100}\right)i.$ 查找有序整数对的数量， $(a,b)$ 使得该复数为实数。

问题 8

$p = (a_1,a_2,\ldots,a_9)$ 对于数字的排列 $1,2,\ldots,9$ ，设 $s(p)$ 表示三位数 $3$ 、 $a_1a_2a_3$ 和 $a_4a_5a_6$ 的和 $a_7a_8a_9$ 。设 $百万$ 为的最小值，但 $s(p)$ 的个位数为 $s(p)$ 。 $0$ 设 $n$ 表示的排列数。求。 $p$ $s(p) = m$ $|m-n|$

问题 9

三角形 $ABC$ 有 $AB=40,AC=31,$ 和。此三角形 $\sin{A}=\frac{1}{5}$ 内接于矩形，且和 $AQRS$ 。 $B$ 求的最大可能面积。 $\overline{QR}$ $加元$ $\overline{RS}$ $AQRS$

问题 10

一个严格递增的正整数序列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\cdots$ 具有以下性质：对于每个正整数 $k$ ，子序列 $a_{2k-1}$ ， $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ 是几何序列，而子序列 $a_{2k}$ ， $a_{2k+1}$ ， $a_{2k+2}$ 是算术序列。假设 $a_{13} = 2016$ 。求 $a_1$ 。